Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 87
Текст из файла (страница 87)
е. окончательно решим задачу. На внешней границе пограничного слоя, т. е. в наших новых независимых переменных при ф= со, составляющая о, должна переходить в У (х); поэтому получаем второе пограничное условие: г †» 0 при ф †!.оз. движгн!!е вязкой Ж!!дкост!! 1гл !! ~ («7 — пх) ду = о*(/. о (30.1) Если прямая АВ на рис.
175 пересекает кривую распределения скоростей ОК7. так, что площадь ОАК равна площади КВ(., то ясно, ЧтО 6*= ОА. ЯСНО, ЧтО В ОбщЕМ СЛ)ЧаЕ Оо будЕт фуНКцИЕй От Х И Г. Проинтегрируем теперь обе части первого из уравнений (29.9) по у в пределах от 0 до о и рассмотрим по отдельности все получающиеся при этом члены. Мы имеем прежде всего по правилу дифференцирования интегралов с переменными пределами: о 7 до« до — г1у = — 1 —" «ту+и (х, о, Г) —.—, нг,7 -г,! дГ к ' ' ду' (30.2) о о ф 30. Интегральное соотношение Кармана и его обобщения. Нри детальном изучении какого- або дана<ения жидкости приходится всегда исходить нз дифференциальных уравнений движении жидкости.
Но если мы хотим рассматривал движение только в общих чертах, то тут часто большую помощь оказывают общие теоремы гидромеханики, а именно закон количеств движения, закон моиентов количеств движения н закон энергии. Настоящий параграф будет посвящен прнмененшо законз количеств движения к теорш! пограничного слоя. Для ясности мы будем исходить сначала из основных уравнений теории пограничного слоя (29.9).
Прн этом мы введем в рассмотрение толщину пограничного слоя о. Мы знаем уже, что понятие толщины пограничного слоя есть несколько пеопределанная величина, так как в пограничном слое скорость о изменяется от нуля на контуре С до скорости «7, имеющей место в потенциальном потоке, аснмптотически приближаясь к этой последней вели!т .=': чине (рис.
175). Можно было бы, например, определять о как то расстояние от контура О, о на котором величина о отличается от «7 на 1",4~. Для нас будет несущественно то или Рис. 175. иное определение величины о, лишь бы при этом соблюдались следующие два условия: во-первых, скорость и при у=о должна мало отличаться от скорости У (т. е. разность и, — У должна быть мала в сравнении с характерной скоростью )7), и, во-зторых, значение пронаводной дп„./ду должно быть мало (опять-таки в сравнении с (7/1). Наиболее точным с математической стороны представляется введение так называемой толщины вытеснения 3", определяемой условяем: о интеплльпов соотнопгение илвмлнл и гио ововщенин ббт следовагельно, док д дз дт дт / ~к ~у — рх(Х, о, а) —.
(ЗО.З) Мы имеем далее: ю — 'гг'у=о ю ~ "— о — ау= ду . г х г-о / к ду о доу к)ок(х о к) — / "х 'гу О. Но из второго уравнения (29.9) имеем: в р до„ ю (х, 3, г)= — / — ду; дх о =о (х ибо ох=о =О при у= до дох ду дх заметим, что дх,/ к у / дх у+ ох(х» г) д дв о о поэтому ( ' о' ~)= / У+ (х, о, Г) д (ЗО.4) д Р дз и, значит, а до„ д дз Г дик дг- ну= — ок(». о г) — / о г)у+о' (х, Ь Г) — + о оу о Вычислим интеграл з =,/ " = ./'' двк Г > док г о а дв ки, к,~ оьг оо(» 9 к) дх 2,/ дх 2 дх ./ к 2 к ' ' дх ' о о о Собирая все полученные результаты, придем и выводу, что ( — +о — +ю — )ду= .й г д"к до ° д„; дт к дх У ду ) о о о 6 — -д)- / ЮхИУ+ д — / О~ К)У вЂ” Ох(Х, В, С) — / О»~У-Ок(х, 3, Г) —, о о о движение вязкой жидкости н.л, н Вычислим теперь интеграл от правой части уравнения !29.9).
Здесь мы имеем: "у=о— др , др дх дх ' о так как р не зависит от у. Далее, ~" д'о« „(«)о«) (до«) о поэтому 1 др дго«1 1 др / до«'г / до«1 о В итоге, первое уравнение системы (29.9) дает нам следующее равенство: ь ь д д д до — и с/у+ — 1 ог агу — о (х, 3, Г) — / о ду — о.(х, 3, !) — =— д/ ./ дх./ «« ' ' дх,l " " ' ' д/ о о о Это равенство справедливо при любом значении о; примем теперь что 3 есть как раз толщина пограничного слоя, тогда, как было выше указано, мы можем принять о«(х, Ъ, Г) равным //(х, Г), а (до /ду) ь можем заменить пулам. В результате получается ггн/негра.гьнае соотношение Кармана ь 4 ь д /' д д до д/ ./ " дх,/ « — — / о г/у+ — 1 о ь/у — //(х, /) — 1 о «/у — //(х, Г) — = дх,/ дг о о 1 др /до„т = — — — 3 — у ! — «) (30 6) г ду 1,д. ),,' которое в частном сл)чае установившегося движения имеет вид: — 1 тр ду — //(х) — 1 о Иу= — — Ь вЂ” ) — ") . (30.7) п /' ! др /до, дх ./ дх О ду ду у-о Подчеркнем еше раз приближенный характер этих соотношений, вывод которых основывался на отбрасывании некоторых малых величин.
э ы> и>п'еГРАльпое сООтиошение кАРИАИА и его ОБОБшении 559 Сам Карман получил уравнение (30.6) путем применения закона количеств движения '). Вывелем этим методом уравнение (30.6), Пусть кривая КК, уравнение которой есть у= 3(х, !), (30. 8) ограничивает область пограничного слоя от области внешнего потенциального течения (рис. 176). Рассмотрим объем жидкости, вырезаемый из пограничного слоя ордннатами АВ н А,В, (как всегда, толшину жидкого слоя в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, принимаем равной единице). Пусть АА> — — с(х.
Количество движения вырезанного слоя (в направлении оси Ох), очевидно, равно К=~ ро с(ус(х. (30.9) о Па закону количества движения, изменение количества движения какой-либо системы точек равняется импульсу всех внешних снл, действовавших на точки Рнс 1тз. с>штсмы. Изменение за время с>! количества движения системы частиц, заполнявших в начале этого промежутка времени объем АВВ,АР склалывается из двух частей. Прежле всего, з случае нестационарного течения, происходит изменение скорости в каждой точке пространства; в силу этого обстоятельства мы получаем за время с>г прнрашенне количества движения рассматриваемого объама жидкости на величину »> К =- г(х ! р — »>' с>у дек .I дг е Но, кроме того, нужно иметь в виду, что за время г(! некоторые частицы, составля>ошие наш объем в начале этого промежутка времени, уйдут нз пределов области АВВ,А,; количество движения этих частиц нужно причислить к»1>К.
Йаоборот, количество движения тех частиц, которые вошли внутрь области АВВ,А, за время д1, пало вычесть нз сг>К или, что то же самое, считая количества вхоляшей в область жидкости отрицательными, нужно за»>аК принять количество движения, выносимое через контур АВВ,А,. Через АА, протекания жидкости нет совсем, через А,В, выносится с ~ рок ' о.»»"у с>! е /кчзк ') К а г ш а п, ()ейег 1апнпаге нпд !чгЬн1еп!е йе!Ьзнд, 2еи. (аг аяя, Ма!Ь. нчд Меси., т. 1, 1921, стр.
233 †2. 1гл 11 ЦВИЖСНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ через АВ: ~ рок ох 11у г~т 0 Итого через АВ и А,В, выносится количество движения жидкости — йоз ду л11 гаях. д о Ясно, далее, что через А,В, и АВ вытекает количество жидкости — 1 ло 11'у йт 11х; д следовательно, такое же количество жидкости должно втекать через контур ВВЙ Но на контуре ВВ, мы имеем равенство ок=1У, ибо на границе пограничного слоя КК скорость о переходит в скорость 11' внешнего потенциального потока. Итак, через ВВ, выносится количество движения — и — 1 ро иу1ттг1л д /' дх,l и, значит = д ! р~', 11 у а 11л — и д, ~ 'го, 11у 111 ТУ .
д Р д /' Итак, полное изменение количества движения рассматриваемой системы точек равно: Полсчитаем теперь импульс внешних сил. Прежде всего, на отрезке АА, действует сила трения, величина которой, отнесенная к единице площади, равна (ЗОВ О) причйм знак минус бератся потому, что те есть напряжение на стенке, а нас интересует сейчас обратная по направлению сила воздействия на частицы жидкости. Умножая предыдущее выражение на величину л рг! ИнтегглльнОе соотношение клгмлнл и еГО ОБОБшенни 36! нлошади ! гтх и на промежуток времени Ж, получим выражение импульса силы трения l дох~ -~одхЖ=-,В,' .~ дхЯ .ду у, 3!ы имеем, далее, силы давления, приложенные к АВ, ВВ и А В (соответствующими силами вязкости можно пренебречь). Проекции этих снл на ось Ох равны соответственно (Ро)х, Р гй — = Р йь, — (Ро), = — (РЗ) — т((РЗ), (30,11) гге где гта = ВВ, и т(3/гй есть синус утла, который ВВ, составляет с осью Ох.
Сумма этих проекций равна (РЗ)в+РаЗ вЂ” (РЪ)х ЯР3) = — 31(Р = — 3 — Р г!Х, импульс 1ке этих сил будет равен — 3 — ггх г!Г. др дх Приравнивая г(К полному импульсу всех сил — то с(х г!! — 3 — с(х й1, др дх приходим к требуемому равенству р — ду+ — ! ро ду — и — ! ро ду= — -. — 3 —. (ЗО.!3) "ох д д Р др дт дх,l дх.г' ' "' о дх ' о о о Если теперь воспользоваться формулами (30.10) и (ЗО.З), то получим соотношение д Р д /' д де —, ! ро ду+ — ! роя ду — и — ! ро ду — ри — = дх,l дг о о т. е.
Мы вновь докажем формулу (30.6) Приладим полученному интегральному соотношению еша иную форму, а именно такую, в которую входят интегралы по у, взятые "О всему бесконечному интервалу от 0 до со. В этом случае, чтобы обеспечить сходимость интегралов, надо рассматривать вместо ох его отклонение от предельного значения и, а именно пусть будет (30.14) Зб Т ерегннеелвн гндреггеввнггнв, н. Н движение вязком жидкости нл. н 562 тогдз будем, очевидно, иметь: о о ~ ног(у= ~ (У' — 2дУ+ф)ггу= У'о — 2У ~ дду+ ~г1'тру, о о о о ,. «у.= / (У вЂ”,р)гру =Уй — — ~огр», поэтому равенство (30.13) принимает, после простых вычислений, форму: о др где 1 = — — — — ч ( — ' / р дх 1 ду Но для потенциального течения мы имеем соотношение дУ дУ ! др — +и — = — — —, др дх р дх ' (30.15) являющееся следствием первого нз уравнений гидромеханики идеальной жидкости.
Поэтому в предыдущем уравнении члены, содержащие множителем 3, взаимно сокращаются. В оставшихся членах мы можем положить 3= — со, тогда получим точное равенство: дт / ч у+Уд /чгу+2д / гру д / 1~у= д Г д Г, дУ Г д Г о о о а ч~ "~::.):о (3016) В стационарном случае пропадает первый член левой части равенства (30.16), и уравнение это принимает вид; Г и — / дну+ 2У' //)ду — / д ау= — '. (30.17) дх,/ ./ их,/ р а а о Введем вновь толщину вытеснения по формуле (30.1), а также некоторую длину 3*", которую называют «толщиной потери импульса»; дУ д Г дУ д Г дУ Г . д Г 3 — — / дгРу+3У вЂ” — У вЂ” / ~у гРу — 2 — / дду+ — / грогту=— др дт ./ дх дх ./ дх,/ дх ./ а 12 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
