Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Законы трения, имеющие место при наличии смазки, резко отличаются от обычных законов сухого трения. В первом приближении сухое трение определяется законом Кулона, по которому на единицу поверхности трущихся тел при их скольжении лруг по другу действует касательная сила Т, определяемая формулой Т = — 7едг, (27.1) (27.2) А1 = 7еРг.
В 1883 г. Н. П. Петров высказал положение, что в трении подшипников основную роль играет внутреннее трение смазочного слоя, и установил соответствующий закон трения для простейшего случая. Он исходил из рассмотренного нами в й 15 движения вязкой жидко- причйм коэффициент трения )г принимается не зависящим от величины нормзльного давления д7, величины трущихся поверхностей и их относительной скорости. Обозначим для случая трения в подшипнике через Р нагрузку, приходящуюся на цапфу, через г — радиус цапфы и через М— момент сил трения относительно оси цапфы.
Если бы для этого случая можно было применить закон сухого трения, то сила трения была бы равна ВР, плечо этой силы относительно оси цапфы равняется г, и следовательно, момент сил трения определялся бы фор- мулой 535 ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ $2П стн в области между двумя цилиндрами. Он предполагал, правда, „то жидкость может скользить по поверхности этих цилиндров, причвм развивается внешнее трение, пропорциональное относительной скорости скольжения жидкости вдоль поверхности цилиндра, Если принять, как это всегда теперь делается, условие прилипания жидкости к ограничивающим стенкам, то решение Н.
П. Петрова совпадает с решением, изложенным в й 15. Для теории смазки имеет значение случай, когда внутренний цилиндр радиуса г, =а вращается с угловой скоростью а! и, следовательно, с окружной линейной скоростью У = з!а, а наружный цилиндр радиуса г,= а+о (Ь вЂ” толщина смазочного слоя) остается неподвижным. Для момента сил трения мы получим в этом случае формулу (15.5) М= (27.3) Г2 Г! величина о всегда очень мала; поэтому мы имеем приближенно: 2 2 г2 — г! = (га+ г,) (г — г,) 2а6, отсюда 2зпа аа 3 Так как мы рассматриваем момент, отнесснный к единице длины цапфы, то площадь смоченной смазкой поверхности г — — 2ка; введйм далее вместо а! линейную скорость У, тогда предыдущая формула примет вид: (27.4) эта формула и должна заменять формулу (27.2) для случая трения смазанного подшипника.
Из нее видно, в противоположность формуле (27.2), что момент снл трения не зависит от нагрузки на цапфу, но зато растет вместе со скоростью У. Однако все это справедливо только з первом приближении. В самом леле, основное допущение Н. П. Петрова о том, что цапфу и подшипник можно рассматривать, как соосные пилиндры.
не может соответствовать действительности, ибо при этом допущении силы трения будут распределены симметрично относительно оси цилиндра н очевидно, что главный вектор этих сил трения сведатся к нулю; 22о означает, что цапфа не может нести никакой нагрузки. Решение Н. П. Петрова соответствует, таким образом, случаю очень малой нагрузки, Более общее решение мы получим, если примем, что цапфа расположена относительно подшипника эксцентрически, причйм смазка чожет заполнять или все пространство между цапфой и подшипни! ом, нли же часть этого пространства, 336 двнжзыив Вязкой жидкОсти <гл.
ы Мы рассмотрим, следуя А. Зоммерфельду, приближенное решение плоской задачи о смазке для случая, когда жидкость заполняет все пространство между цапфой и подшипником, длину которых будем считать очень большой. В соответствии с этим под цапфой и подшипником будем понимать их сечения, нормальные к осн.
Пусть 0 обозначает центр цапфы С, 0' — центр подшипника С' 1рис. 170). Расстояние 00' обозначим через е и примем прямую 00' за ось полярных координат г, 8, а точку 0 — за центр этих полярных координат. Радиус цапфы С обозначим через а, внутренний радиус подшипника — через а + Е. уравнение окружности С' можно написать в виде г= а+Ь, причЕм с достаточной степенью точности можно припять, что Ь = й+ е соз д, Рнс. !70 как показывает простое геометрическое вычисление. Обозначзя, наконец, окружную скорость точек цапфы через 77, легко можем написать следующие граничные условия: о,=О, о,=77 при г=а, и,=О, оч=О» г=а+/п 127.5) Примем теперь во внимание, что величина Е/а очень мала, отсюда следует, что величина доз/дг будет очень велика в сравнении с величиной 1(гдо,(дд.
В самом деле, о~ изменяется от О до У на очень малом расстоянии Ь, имеющем порядок Е, поэтому производная де,/дг имеет порядок У/Е, в то время как производная дтг,(дй имеет порядок 7/, и следовательно, 1/г до,(дд имеет порядок 77(а. Точно так же порядок производной дто,(дга ранен 77/У. Рассмотрим теперь второе уравнение 15.14). В этом уравнении мы пренебрегаем, прежде всего, левой частью, определяющей инерционные члены; мы полагаем далее Гз — — О, так как считаем внешние силы отсутствующими или пренебрежимыми; наконец, из членов, содержащих множителем ж мы сохраняем только первый, так как только он один будет иметь порядок 77(ез, все же остальные члены булут иметь меньшие порядки. При этих допущениях рассматриваемое уравнение примет вид: 1 др д'оь — — =и— г да ' дг' ГИДРОД!!НАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ а 2;1 Мы можем, наконец, заменить в левой части г на а; тогда получим окончательно следующее простое уравнение: 1 др дРв! =Р а дз дгя (27.6) г=а+г; в результате интегрирования уравнения (27.6), получим: о = — — 02+А:+В, 1 др 2аи да где А и В в постоянные, не зависящие от ь, но могущие зависеть от 6 и определяющиеся из граничных условий (27.6): О,=У при ч=0, в,=0 при ь=д.
Таким образом мы получаем: др „ у (ь — с) о! = — — Р„(1 — 72) 2аи дз л (27.7) Через всякое сечение между цапфой и подшипником протекает одно и то же количество жидкости, которое мы обозначим через У)гд/2! арл =Г др Л (ГД ив, оа 27г = оз а!Я = — — — — + — = — — '. 2аи да 6 2 2 Отсюда находим равенства: дд бан СГ (Д вЂ” Ьр) дв ЛР в 2 р(р)=р!р)-1-6 ~ у ! ~ — р !' (о о (27.8) Но в с.тучае замкнутого слоя смазки давление р должно быть непрерывной периодической функцией от угла 9, т.
е, должно иметь место условие р (22!) = р (О), (27,9) е ер зр 1'" =,/ —" в / др' 'аз !" (27.10) Мы будем считать левую часть не зависящей от г; тогда предыдущее уравнение легко может быть проинтегрировано но г. Удобнее, однако, ввести вместо г новую независимую переменную Г, положив движвиие вязкоп жидкости (гл, и откУда находим 720, после чего ние р, последнее, впрочем, с ного р (О).
Введем обозначение мы полностью будем знать ов и давлеточностью до произвольного постоян- а= — (1 ~(а (со); 0 (27.11) тогда 72 = е (а+ соз О). (27.12) Положив ещв =2 до )" У (а+сов 0)г ' о до о (а+ сов 0 будем иметь: 72 до=е 7 з (27.13) Так как в Нз 2 а — 1 агс 15 (в. —, о а+сов 0 )'аг — 1 (~а+1 2)' то 2а 72 = )Газ — 1 Дифференцирование под знаком интеграла показывает, что д), 2.2 1 И, а(22Л 1) ~2 2 Ла Г' (аз 1)з ' 2 да ~Г(аг 1)2 ' откуда 32 соз 0о 2„2 (27,15) Таким образом, места наибольшего и наименьшего давления лежат на той половине цапфы, которая ближе к подшипнику.
Чтобы получить силу трения, применим формулу (5.15) /1 дог дов 2'в'. Из (27.13) найдвм теперь, что 720 22 (27.14) В точках цапфы, характеризуемых углом 0, где давление имеет максимум или минимум, производная др/д0 обращается в нуль, следовательно, по уравнению (27.8) 72=00, т. е. 2еа (а' — 1) е (а+ соя 00) 222+ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СМАЗКИ 539 но на поверхности цапфы О,=У, О,=О, поэтому формула упрощается: 1(де,1 У) И др Ур Ур 11, д" /с=е а) 2а дз И а отбрасывая здесь последний член, малый по сравнению с предыдущим, и подставляя значение тгр барУ (И вЂ” Ир) де И' баРУ Г 1 2е (е' — 1) 1 еэ 'ь (а+сов 0)е 2ее+1 (а+сов 0)а 1 ( ) получим: У (4И вЂ” ЗИо) Рт0= Р Ит 2ИУГ 2 З (е — 1) 1 е (а+сов В 2ат-(-1 (а+созе)т ~' (27.17) Чтобы получить нормальное давление р„на цапфе, воспользуемся первой из формул (5.15).' р„= — р+ 2р —,"', но из уравнения неразрывности (последнее из уравнений (5.14)) дат 1 дот, ет — -+ — — + — = О дг г дВ следует, что на поверхности цапфы, где о,=-О, оз= У, будет 2рУа' Г Зе (ее — 1) М= — 7' рте(6) а'т(6= (27' 2 е 1 4 о 2рУат 2е (ае + 2) е (2ае + 1) 'фт а' — 1 и поэтому нормальное давление на цапфе определяется величиной р.
Подсчитаем теперь, каковы будут силы гидродинамического воздействия на цапфу, причем будем все силы относить к единице длины цапфы. Из вышесказанного ясно, что на элемент ат(6 будет действовать нормальная сила, направленная к центру цапфы и равная ар(6)атб, и касательная сила, направленная в сторону возрастания угла 6 и равная ар...(6)атб. Главный момент этих сил относительно центра цапфы, считаемый положительным в направлении, противоположном направлению вращения цапфы, будет, очевидно, Равен дВижение ВязкОЙ жидкости !гл, гг Ле~ко видеть, что для двух точек, симметричных относительно оси 00', касательные силы имеют составляющие вдоль этой оси, одинаковые по величине, но противоположные по знаку; то же самое относится к переменной части нормальных сил ]р!О) — р!О)] а г)0 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
