Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 79
Текст из файла (страница 79)
9). ! дао, , 1 д'о, 2 до, 1~ дг' ' дб' г дг с'и б дог 2 доб 2о, 2 с160 дб г' дб гз га 0)' и), ! д"„1 д'о„2 доз с16 0 доь =р (,—.." + — — "+ — — + — '+ ( дг га дбг г дг га д0 2 до, об гг дб га зпмб'' до, 1 доз + 2о, + о~,с~да дг г дб г г ор дг 1 д,о (23,5) г дб Граничные условия (23.3) заменятся следующими: о,(а, 8)=-0, о„(а, О)=0. (23.6) Что же касается условий на бесконечности, рис. 166, онп примут, очевидно, такой вид: о,-ь У соь 8, о„— ь — У з)п 0 прп то, кзк видно пз .е'-и —.' ва ~ г — оо.
(23.7) Внд граничных условий наводит на мысль попробовать отыскать решения основных уравнений (23.5) в форме: о,(г, О) =у(г) соя О, о,(г, О) = — д(г) з(п О, р (г, 0) == 50 (г) соз 0. Рис. 166. В самом деле, простое вычисление показывает, что для трех функппй г1г\, д(г) и Ь(г) получаются нз (23.5) три обыкновенных Позтому основные уравнения движения (5,16), после отбрасывания в них инерпионных членов, примут вид: движение вязкоп жидкости !гл дифференциальных уравнения: )е «+ 2, 4(у — «) Га 2 (У вЂ” л) г г гя У'+ ) =О, (23.8) причем из (23.6) и (23,7) вытекают следующие граничные условия: ((а) =О, 8(а) =О, 7 (сэ) = У, Л(со) = (У. (23.9) Решение системы (23.8) не прелставляет никакого труда; третье уравнение определяет нам л' (23.!О) после чего из второго уравнения (23.8) после простых дифференцирований находим л: Ь= 2 т"'г~+ ЗКУ" + 2У' (23.11) и, наконец, первое уравнение (23.8) доставляет дифференциальное уравнение для определения у': гзу'~+8гяу"'+8гу" — 87' =О.
(23.12) Но зто последнее уравнение есть уравнение типа Эйлера н потому легко интегрируется; среди его частных решений всегда существуюг ешения вида )! (Ф вЂ” 2) ()г + 1) (Уг +- 3) = О, т. е. 74 должно принимать одно из слелуюших четырех значений: 74 = 2, )г.=- О, )е = — 1. л = — 3. Таким образом, частными интегралами уравнения (23,12) являются 1 1 Л ~ ' Хя !' Уа ' У4 г' г' ' я общим его интегралом будет )' = — т+ —.-т- б -1-1')г А В Р у .а, уравнение будет уловлетворяться, если )а есть решение уравнения четвертой степени 74 (и — 1) (44 — 2) ()4 — 3) + 8)е (й — 1) (й — 2)+ 8й (74 — 1) — 8ь — О МЕДЛЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СФЕРЫ 4 зз! Уравнения (23.10) и (23.11) дают теперь соответствующие значения дид: д = — —, + — + С+ 20гз; 0 = — + 100г. В 2г' 2г гз Постоянные А, В, С и О определяются из граничных условий (23,9), которые дают: 1)==О, С= У, В= — — Уа.
А= — Уа'. 3 1 2 ' 2 Собирая все полученные результаты, приходим к следующему решению задачи: За 1азт 1 2г2гэ)' За 1а'1 4г 4гзз' 3 иа р(г, 0) — 2 р, соя 6. г~ (23.13) Вычислим еща силу, с которой поток воздействует на сферу Дчя этого вычислим Ео формулам (5.17) напряжения, действующие на элементы сферы: дш (1 авг дев Рат Р = Р+2Р Р з='г( + + ' дг ' ' (г да дг г ) Направления этих сил показаны на рис. 166.
Ясно, что направление равнодействующей всех сил, приложенных к элементам сферы, совпадает с направлением потока на бесконечности. Поэтому величина этой равнодействующей определится формулой В'= О(р„соя 0 — р,;з!и 0)45= й = )(ргг соз 6 — рьа з(п 0) 2иаз з(п 6 М =- З-,.ъУа~ з!и 0 ~(0 о е п.ч и Рг = бхрУа, 123.141 На поверхности сферы о, = и, = О, а следовательно, и до,/дб = О, до;,/дб=О; наконеп, из последнего из уравнений (23 б) ясно. чго до,(дг на поверхности сферы тоже обращается в нуль, поз~'ому предыдущие формулы сильно упрощаются и дают для точек сферы следующие соотношения: 3 РУ доз ЗРУ р = — р = — — соя 0, р ° = р.
— = — — з!и !к 2 а ' " дг 2а лвн,кенни Вязкой жидкости 1гл 1! Полученная формула для силы сопротивления, испытываемой сферой в вязкой жидкости, носит название формулы Слгокса. 11нтересно попутно отметить, что та часть силы сопротивления, которая происходит за счет сил давления, равна р„сов 0 2па'51п 0 И =-3ириа~соаа 8 гйп ОИО =2га иа (23,10) о о В нашем случщ для функции тока Ф получается выражение 3 . 1аач 1р (г, г!) ..= ии 5|па 8 (га — — аг + - - — !. 2 2 г!' (23. 17) Приведем еще выражение функции тока аля того случая, когда рассматривается движение сферы в неограниченной жидкости, покоящейся на бесконечности. Это лвижение получается из предыдущего наложением лобавочного потока со скоростью и, направленной по отрицательной оси Ох.
Аналитически это наложение свалится к вычитанию из выражения (23.13) для о, величины и сов О и соответственно из выражения для оа величины — и 5!и 0; поэтому для рассматриваемого случая получим: 1 газ а ==-т-ис 58,— „:- — 3 л-); 2 ~ г"' г!' ~,аз 4 и51пб( — и-г3 — ), г' г 123.! 3) и составляет, таким образом, только третью часть полной силы сопротивления, испытываемого сферой при ее движении з вязкой жидкости, остальные две трети проис= ходят за счет сил вязкости. у « . й дующим образом. Проведем через точку лт с коорлинатамн (г, 0) окружность с центром на оси Ох, расположенную в плоскости.
перпендикуляо- 1 ной к этой оси, и подсчитаем количество жидкости, протекающей через Рнс, !87. сегмент сферы радиуса г с центром в начале координат, ограниченной этой окр)охвостью; это количество можно определить формулой а 'Г(г, 8)= ~ о,(г, 0) 2игзгйп 8г(0. о медленное движение сФеРы в кз1 Рнс. !68. Для величины же — — — н для равной 1 дл а дд шея составляющей сил вязкости мы Формуле (23.13), выражение дл',' сга этой величине соответсзвуюполучнм, согласно последней З~Га и, следовательно, функпия тока будет выражаться уравнением: Ч'(г, 8) = — я(lа'к)п'81 — — 3- ]. ~г а Соответствующие линии тока абсолютного движения сферы показаны на рис. 163. Как этн линии тока, так и линии тока относительного движения (рис.
167) лежат совершенно симметрично относительно плоскости, перпендикулярной к направлению движения сферы и проходящей через пентр сферы. Чтобы получить решение в декартовых координатах, совершим преобразование по известным формулам; х=гсок8, и„= п„сок 8 — п„соа 8, у =гяп Осок)., ю =о,к(п Осок). +пзсок Осок).— ть к(п1, (2320) г = г яп О к(п 1., и, = п„к(п О к(п л+ юк сок 8 к1п 1. -+ и, сок а; в результате получим для случая обтекания сферы: 3 стаху ! а'ч У 4 га ( г' ) ' (23.211 3 Уахх! ак1 и ~1 ! 4 г' ( ге~' Поставим теперь вопрос о том, в каких случаях полученное решение может считаться достаточным приближением к точному решению задачи.
Для этого нужно пос""тР ' " * """ "" Р мы пренебрегли. Обращаясь для такой опенки к уравнениям (5,16) и рассматривая для простоты только точки, лежащие на оси Ох, для которых 8 = О, легко получим следующее выражение для проекции ускорения на направление оси г: ~ ап ' дв,т ( де 1 г — ~ г дГ,)К=Е 1гл. и движиииа вязком жидкости 510 Отношение двух полученных величин имеет значение которое для больших по сравнению с а значений г приближенно равняется (/г/2 .
Отсюда ыы видим, что наше решение пригодно только в той области, в которой число (/г/ч достаточно мало, во всяком случае меньше единицы. Чтобы решение годилось в сфере, радиус которой в несколько раз превышал бы а, необходимо, чтобы величина Й = Уа/ч была бы в соответствующее число раз меньше единицы, При выполнении этого условия то обстоятельство, что вне упомянутой большой сферы члены, которыми мы при решении пренебрегли, становятся большими в сравнении с оставленными членами, не имеет уже значения, так как на больших (по сравнению с а) расстояниях как оставленные, так и выкинутые члены будут очень малы (опять-таки по сравнению со значениями этих величин вблизи сферы радиуса а) и ие смогут повлиять на течение вблизи ограничивающей жидкость сферы. Конечно, все эти рассуждения носят общий характер, и только опыт может подтвердить правильность полученного решения н указать пределы его применимости.
В результате многочисленных экспериментальных исследований иад падением шариков в вязких жидкостях была установлена справедливость формулы сопротивления Стокса (23.14) и формул, ее уточняющих (об одной из которых мы будем говорить ниже, при изложении теории Осееиа), для достаточно малых чисел Рейнольдса, а именно для значений ГС ('/ю Не останавливаясь па численных данных, доставляемых опытом, мы отметим только то обстоятельство, что формула Стокса была использована как для измерения коэффициента вязкости жидкости, так и в других исследованиях, как, например, в исследовании Милликена об измерении заряда электрона.
В заключение этого параграфа рассмотрим следующий характерный для рассматриваемого круга вопросов пример. Пусть капля воды сферической формы падает в воздухе. Кроме силы тяжести на ней будет действовать сила сопротивления воздуха; допустим, что последнюю можно вычислить по формуле Стокса и что указанные две силы взаимно уравновешиваются, так что капля падает равномерно со скоростью У.
Если плотность воды есть р', а плотность воздуха р, и если радиус сферы обозначим через а, то на каплю будет действовать сила тяжести '/зяааэ'д (подъемной силой Архимеда 4/зпазря можно, очевидно, пренебречь), приравнивая эту силу силе сопротивления Стокса бя)гУа, получим равенство 4 — яазр'д = бгр ~(/а 3 ' плРлдокс стокса или 2 ла' р' У= — —— 9 ч р С другой стороны, Уа й= —, ч поэтому легко находим, что цз= — ~ (тз — ' 2 9 8 Р' (23.22) Подставляя численные значения чз = О,!ЗЗ слгз/сел, е = 981 с и/сека, Р'/Р= 770, легко находим 3 .— г— а = 0,0047 )г Я сш, У = 28 )г (тз см/сем. д,е ар бох евч — =ран„, — =ран, — + — =-О, (24, 1) прн граничных условиях ю„=о =0 на С, ох - » (7. Сг --» 0 при г к-» .
з, 124.2 Если Я < 1 2, то а < 0,0037 ем, У < 18 сж/сем, Как видно, размеры тех капель, к которым применима предыдущая теория, равно как и их скорости, очень малы. 9 24. Парадокс Стокса. Как было выше отмечено, решение Стокса задачи о движении сферы, изложенное в предыдущем параграфе, представляется неудовлетворительным, потому что в этом решении отбрасываются члены, которые на достаточно больших расстояниях становятся сколь угодно большими по сравнению с оставленными членами.
В случае плоской задачи с решением дело обстоит гораздо хуже. А именно, оказывается, что задача об обтекании плоским потоком вязкой жидкости кругового цилиндра совсем не имеет решения, если в основных уравнениях отбросить полностью инерционные члены. Форма цилиндра не имеет при этом никакого значения. Высказанное утверждение, как будет сейчас доказано, справедливо для цилиндра произвольной формы. Пусть С есть кривая, содержащая внутри себя начало координат, по которой плоскость Оху пересекает наш цилиндр (образующие которого предполагаются параллельными оси Оз), и пусть рассматривается обтекание цилиндра потоком, имеющим на бесконечности скорость У, направленную параллельно оси Ох.
Тогда, пренебрегая в основных уравнениях движения (5.1) инерционными членами и внешними силами, мы приходим к системе: ПАРАДОкс СТОКСА Обратимся теперь к уравнениям (24,1), Вследствие последнего из этих уравнениИ мы можем написать, что д%" д%" ду ' т дх ' где %' есть функция тока. Тогда предыдущие два уравнения принимают внд: др дч 611' др ди ~%' дх ду ' ду дх и показывают, что р+1рЬГ есть аналитическая функция от г=х+гу.
Заметим прн этом, что »Л совпадает, с точностью до знака, с выражением вихря скорости, ибо до дтх й= — — — = — ЬТ дх ду н есть, следовательно, так же как и р, однозначная функция от х и у. Итак, функция 9(г) = р+11чдЛТ есть однозначная аналитическая функция вне контура С. Производная от этой функции имеет выражение у (г)= — — 1 —. др др дх ду' Поэтому, на основании уравнений (24.1), можем написать: 9'(г) =рд(о — йу,). (24.5) Пусть теперь г=х — )у означает число, комплексно сопряженное с г = х + Еу, тогда »+»» — » х= —, у= —. 2 21 Возьмвм в какой-нибудь функции А(х, у) вместо х и у за независимые переменные г и г, т. е, положим А(х, у)=А( 1, —.) =а(г, г), тогда простое вычисление показывает, что да 1дА 1 дА — = — — + — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
