Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Й !1римем далее, что скорость каждой частицы направлена параллельно граничным плоскостям, так что и,= — О. Заметим, наконец, что ввиду малости й изменение скоростей пл и о по направлению оси Ог будет происходить гораздо быстрее изменения этих величин в направлении осей Ох и Оу; это означает, что порядок производной др„/дг велик по сравнению с порядками производных дп /дх и до /ду; точно так же порядок производНОй дзп,/доз ВЕЛИК ПО СРаВНЕНИЮ С ПОРЯДКаМИ ПРОИЗВОДНЫХ дтпл/дХЗ и дзп2/ду2. Прп этих условиях уравнения (21.1) принимают вид: др деял др дев др де 2 дья — = !2 — ', — -= р — — 2-, — =О, — — + — ' — =О, (21.2) Третье пз полученных уравнений показывает, что р зависит только от х и у; но тогда первое уравнение легко может быть проинтегрирована: а2 др р~.=--;д —.
+яЛ(- у)+ (~ ), функции Л и В могут быть определены из граничных условий О,=О при г=-0 и а=гк эта условия сразу дают нам Л(х, у) = — —— 6 др 2 дх В(у, х)=0, и, следовательно, др о = — —, — — г()1 — а). 2И дх (2! .3) Точно так же легко получим, что (21,4) Наконец, последнее уравнение системы (21.2) сразу дает, после подстановки значений (21,3) и (21.4), уравнение для определения фтнкции р (х у)' д'ох, д'2'х дяе д22, Но тогда ясно, что найденное нами решение строго удовлетворяет уравнениям (21.11, ибо те члены, которыми мы пренебрегли в этих уравнениях, тождественно обращаются в нуль. (21.5) Оаметим, что из формул (21.3), (21.4) и (2!.5) сразу следует, что ЯО1 плоског течен!!г мегкду двумя пластинкам!! ь тн Вяедвь! вместо пх и пт средине скорости но высоте: с(д; п„(х, у) = †„ / и (х, у, г)с(г.
(21.6) О л з(л — а) дз =- —, б ' I' п„(х, у) =-. — ) ох(х, у, г) о Так как то для средннк скоростей пх н и получаем формулы; дл --, В' др пдх, у)=-- — —, о,(х, у)=- 12Н дх' у ' - !2Н ду' Введет! !еперь вместо р(х, у) функцшо йд!ч у(х, ч) == 12я ' (21.7) тогда ясно видно, что т(х, у) есть потенциал средних скоростей Пх (., у) = д~т, Пт (Х, ) ) = — „т, (21.8) прячем функция у, отличающаяся от гармонической функции р лишь полояю!ым множителем.
сана является гармонической функцией дь. д2„ ду = — "-+ — — = о. дх! ду' (21.9) Формулы (21,8) н (21.9) показывают, что в рассматриваемом случае среднее движение жидкости происходит так же, как безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости, для которого потенциалоя скорости является функция е(х, у). Конечно, в эп!х звук движениях давление р определяется по соверше>шо различныы формулам. рассмотрим теперь следующий конкретный пример движения вязкой жидкости: пусть между пластинками вставлен цилиндр с образующими, параллельнь|ми <теи Оз, сечение которого плоскостью Оху есть некоторая кривая С.
Пусть далее поток набегает на этот цилиндр со скоростью О на бесконечности, направленной пс положительной осн Ох. Допустим, что обтеканию цилиндра С потоком идеальной жидкости соответствует потенциал !!!(х, у), тогда формула (21.7) определит соответствующее давление в вязкой жидкости, а формулы (21.3) н (21.4) определят соответствующие скорости течения. Однако полученное движение вязкой жидкости, помимо того, что для него основные уравнения гидромеканики выполняются лишь прнб.н!жанно, обладает ещв тем недостатком, что для него условие прн- 1гл. ц движения вязком жидкости липапия к стенкам выполняется только на ограничивающих пластинах, но не выполняется на боковой поверхности цилиндра С, потому что в соответствующем движении идеальной жидкости обращается в нуль только нормальная к поверхности С составляющая скорости, в то время как для вязкой жидкости должна обращаться в нуль также и касательная составляющая.
Можно поэтому ожидать, что среднее течение вязкой жидкости будет очень мало отличаться от соответствующего движения идеальной жидкости только в некотором отдалении от контура С. Лействительно, экспериментальные работы показали, что при обтекании очень вязкой жидкостью цилиндрического препятствия, помещенного между двумя очень близкими пластинками, получается картина линий тока, очень близко напоминающая ту, которая даатся теорией безвихревого потока идеальной жидкости. % 22. Медленное вращение сферы, Рзссмотрим теперь движение вязкой жидкости, вызываемое медленным вращением погруженной в жидкость сферы радиуса а около своего диаметра, причем угловая скорость вращения ранна м.
Так как за характерную скорость в этом случае мы можем принять линейную скорость ма точек экватора сферы, то за число Рейнольдса можно взять аа а аач гс == . = †-.- — . Мы будем считать это число малым, т. е, будем ч считать вращение сферы происходящим достаточно медленно. Применим уравнения движения в сферических координатах (5.16); при этом вследствие малости числа Рейнольдса мы можем отбросить в первых трех из этих уравнений левые части. Получившимся уравнениям мы можем удовлетворить. приняв, что о, и о, тождественно равны нулю, р есть постоянная величина, и, зависит только от г и О, ак о о„=огг, О), причем функция о должна удовлетворять уравнению д'о 1 дао 2 до, с1яз до о дга + га дза + г дг + га дз гэйла В На поверхности сферы частицы жидкости должны двигаться с той же линейной скоростью ма гйп О, что и точки поверхности сферы; поэтому мы получаем следующее, пограничное условие: (22.2) о (а, О) = а а з)п О.
Внд этого условия наводит на мысль искать решение уравнения (22.1) в форме о 1г, 11) = А 1г) з!п О. 122, 3) МЕДЛЕННОЕ ВРАНЦЕНИЕ СФЕРЫ 503 Подстановка этого значения о приводит нас к обыкновенному дифференциальному уравнению Эйлера агА 2 дА 2А — + — — — — =О, дг'+г дг г' ко~орое легко интегрируется и даат нзм, что А (г) = С,г+ —,' .
(22.4) !!остоянные С, и Ст должны определяться из граничных условий В случае бесконечной жидкости нужно, очевидно, принять С,=-О, чтобы скорость жидкости на бесконечности стремилась к нулю; нтзк, в этом случае п(г, 9)=С вЂ”, го граничное условие (22.2) дает нам, что С=Фаз, так что мы получаем окончательную формулу: ~(г 9) г (22. 5) Для поддержания вращения сферы необходимо к ней прикладывать вращающий момент А4. Величину этого момента мы можем рассчитать по формулам (5.17), которые лают в рассматриваемом случае: /до о! )т т = Р ! —,. — — ) = — З(АФЕ!п б; 1, дг (22.
6) такое напряжение действует на каждую единицу площади зоны сферы, расположенной между двумя параллелями сферы; так как площадь этой зоны равна 2яаз!пбадб и так как плечом этих сил напряжения служит, очевидно, а я!п б, то для искомого вращающего момента мы получаем выражение: М = ~ Зргоыйпб аз!пб ° 2яаоз!п9 с(9= о = бя(ьмаз 1 Рйпз 9 г!9 = З.гр азы.
(22.7) о Если бы рассматривалось движение вяакой жидкости между двумя сферами радиусов а, и аз, вращающимися с угловыми скоРостЯми Ф, и Фз около общего диаметРа, то, исходЯ из того же решения (22.4) и определяя произвольные постоянные С, и Са из граничных условий А(г)=агам А(г)= — Фоа, 504 ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОП жИДКОСтн !гл мы пришли бы к следующему решению задачи: 5!и 0 п(г 8) = ~ 5 з (м!а!(г — аз) — 55 а.
(г — а";)1. (22.8) (а, — а,) Если число Рейнольдса !х достаточно мало, т. е. для заданной жидкости либо скорость движения сферы достаточно мала, либо радиус сферы очень мзл, то можно опять применить приблнжвнный метод решения задачи, использованный нами в предыдущих параграфах, а именно при интегрировании уравнений дни>кения отбросить в них инерционные члены. Так именно и поступил Стоке'), впервые решивший в 1851 г. задачу о движении сферы в вязкой жидкости.
Отбрасывая в основных уравнениях движения (5.1) инерционные члены и полагая, что внешние силы отсутствуют, мы получим систему уравнений: д~ д,7 85 к* ау у' бз г де дэч да ! (23.2) Рассматривая, для определйнности, задачу об обтека>ии покоящейся сферы, центр которой находится в начале координат, потоком вязкой жидкости, будем, очевидно, иметь следующие граничные условию тг =а =оп=0 при г=а, (23. 3) где г= глаз+у!а+ля! кроме того, считая, что на бесконечности поток имеет направление, параллельное положительной оси Ох, будем ') 8!о'кез О. О., !. с. й 4 н Оп Ше енес! о! Гйе !вгегпа! 1г!сиоп о! 1!виЬ оп Ше пчо5!оп о1 репдн!зщз, Мабь апй Рвуз.
Рарегз, 3, стр. 1. Для вращающего момента в этом случае получаем выражение Л! = 8пр (ы! — я!5) (22.9) агз ф 28. Медленное движение сферы, Рассмотрим теперь задачу о течении вязкой жидкости, вызываемом движением сферы радиуса и, перемещающейся прямолинейно и рлвномерно со скоростью У. Сразу же о!метни, что задача, очевидно, эквивалентна задаче об обтекании сферы радиуса а потоком вязкой жидкости, имеющим на бесконечности постоянную по зелнчзне и направленшо скорость !l. За чисто Рейнольдса в рассматриваемом случае можно, очевидно, взять й=— Уа (23.1) ч медленное. движение сшеоы 505 б 231 иметь следуюшие условия на бесконечности: о„-ьУ, о — лО, о,-ьО при г-э со.
(23 А) Среди различных методов решения поставленной задачи одним из наиболее естественных, хотя, может быть, и несколько громоздким, является метод использования сферических координат, который мы и применим. Совершенно очевидно, что, вводя сферические координаты г. 8, )„вследствие симметрии движения относительно осп Ок, от которой мы будем отсчитывать углы О, мы будем иметь: о,=о,(г, 0), о,=об(г. О), о„=-О. р=р(г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
