Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 103
Текст из файла (страница 103)
') Возможность решения относительно е векового уравнения получается хак следствие того факта, что функция г" будет целой функцией от своих трах переменных. В самом деле, будем в уравнении (3.11) считать у комплексной величиной, так же как и все трп параметра а, Р, с, Примем лля сг(у), которая определена лишь для действительных значений у, для других значений — аналитическое продолжение. Тогда уравнение (3.11), для в случае П У (О) = у' (О) = О, у' (1) + аг (1) = О, у'(со) < со.
(3,13) Ход решения нашей задачи об устойчивости можно представить далее следующим образом. Уравнение (3.11) содержит кроме заданной функции (г'(у) еще три параметра с, а, 'гс; два из них: а и !т характеризуют длину волны возмущенна и число Рейнольдса основного потока соответственно и суть величины действительные; третий — с — может быть, вообгце говоря, комплексной величиной. Четыре линейно независимые решения уравнения (3.11) в случае 1 должны быть связаны однородными соотношениями (3.12); три конечных на бесконечности линейно независимых решения того же уравнения в случае П связаны тремя однородными условиями (3.13).
Вековое уравнение, получающееся в том и другом случае, будет связывать три параметра а, (т и с соотношением вида Э1ЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСП! 570 1гл, еи Отделив действительную и мнимую часть с(=с,.+!с!), получим далее с,= с,(а, Й) и с,=с;(а, гт). Кривая с,1а, )ч)=0 (3.14) будет отделять область устойчивости от области неустойчивости. Задача определения характеристических чисел, связанная с решением уравнения (3.11), была предметом исследования ряда авторов Одними из первых были Орр ') и Зоммерфельд з), которые исследовали устойчивость движения между двумя пластинками и не нашли потери устойчивости.
К тому же выводу приходили и такие авторы как: Мизес, Хопф (Нор!), Гольдп!Теин !Оо!бз!е1п), Пекерис (Рейебз) и многие другие, Если не считать теории Гейзенберга а), которая считалась неполной и неточной и не была поэтому общепризнана, все теоретические работы до сравнительно недавнего времени давали отсутствие возможности потери устойчввости движения между двумя пластинками. Первое строгое доказательство того, что движение между параллельными пластинками может оказатьсн неустойчивым при некоторых значениях Я, было дано в работе Линя ').
В этой же работе дается попутно анализ ошибок, илн неточностей, из-за которых ни один из предыдуших авторов не мог добиться верного результата. Прандтльз) в 1921 г. и Тнтьенсз) в 1925 г. впервьге рассмотрели вопрос об устойчивости пограничного слоя; при этом они предположили, что профиль скорости основного потока может быть составлен из нескольких, различным образом наклоненных прямочинейных кусков "), Авторы этя пришли к парадоксальному выводу: пограничный слой везде неустойчив. Позднее Толлмиен з) показал, что вывод получился благодаря предпэложеншо, что кривизна профиля скоростей основного потока всюду равна нулю. Принимая, что кривизна профиля скоростей хотя бы в отдельных частях этого профиля отлична от нули, которого все точки в любой конечной области регулярны и коэффициенты которого суть целые функнин от параметров и, с н а!7, будет, по известной теореме теории дифференциальных уравнений, иметь систему четырех независимых ретеннй, являющихся аналитическими функциямн у н параметров с, а, «й и целыь и функциямн зтнх параметров.
') О г г, Ргос. йоу. !гМЬ Асаб., 27, 1900, 1907. а) Яо т п1 ег1е)Ш Ргос. 4!Ь. !и!. Соппгеза Ма!Ь., Роте, !908. ') Н е ! з е п Ь е г Р. Апп. б. РЬуз!К. 74 (1924). ') 5!в С., Оп гйе 5!аЬШ!у о) Туго — 1)!шепа!Опа! Рагайе! Р)ожз. Опаг1- ег!у АРР1. Ма!Ьетансз, т 01, № 2, № 3, № 4, 1945, 1946. а) Р г а в д ! ! Е.„Веп1егкппееп ЕЬег б!е Еп!з!ейвпе бег ТцгЬц!епю ЛаММ, 1921. а) Т1е1!епз О., Венгая авг Епине1шпй бег ТвгЬв1епа, ЛаММ, 1925. ') Предположение это было связано ' желанием описать тот факт, что в местах, находящкксч около ч очки отрыв лаиинарного слоя.
профиль снсростей имеет на не отором расстовнив от стенки точку перегиба. ') То!1гп ! ел, 1)еЬег гйе Еп!з!ейной бег ТшЬц!епа, Обй!пйеп Насйг!ЕЬ- !еп, 1929, стр. 24. УСТОГгт1!!ВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ МЕЖДУ ПЛАСТИНКАМ!! 671 '1'оллмиен получил, что коль скоро числа Рейнольдса не превосходят некоторой величины, изучаемое движение устойчиво. Толлмиен рассмотрел конкретно лишь профиля (1, состоящие из кусков прямых и парабол.
В более поздней работе') Толлмисн вернулся к случаю произвольного профиля в пограничном слое. Розенбрук Я) применил метод Толлмиена к исследованию движении в днффузоре, аппроксимируя профиль скоростей в виде полинома шестой степени. В упомянутой работе Линя даэтся также и решение задач об устойчивости в пограничном слое для произвольного распределения скоростей (7.
Мы расскажем в общих чертах о работе Линя, отправляясь от изложенной выше постановки задачи, параллельно проводя рассуждения для случая 1 н случая 11, Путь построения решения, принятого Линем, заключается в следующем. Уравнение (3.1!) содержит три параметра: а, с, 1(ай. Параметр 1/ай можно считать малым, ибо устойчивость теряется при больших числах Рейнольдса. Поэтому для целей подсчетов удобно искать четыре независимых решения нашего уравнения четвертого порядка в виде рядов по малому параметру 11агт.
Однако при построении этих рядов встретится принципиальное аатруднение. Дело в том, что параметр 1/ай входит в наше уравнение при старшей производной. Если просто отбросить член с 1/аЯ в (3.11), то мы придем к уравнению второго порядка, имеющему особенность в той точке, где (3.15) Пусть это будет точка У= У,. Для точного уравнения четвертого порядка у=у, не будет особой точкой. При построения наших асимптотических рядов надо тщательно проследить за проявлением этой особенности, вводимой лишь математическим методом интегрирования.
Это можно будет сделать, если мы получим возможность сравнения наших асимптотических разложений по 1/ай, удобных для практических расчетоз, с точными решениями уравнения четвертого порядка (3.11). Начнем с построения решения (3.11) в виде: у(у)= учв!(у)+~%(у) ' +у1м(у)( — '1~'+ ... (3.18) Подставляя это в (3.! 1) и сравнивая члены при одинаковых степенях 1/ай, получим следующую систему дифференциальных ') Т о ! ! ш ! е и йт., Е1п аннаеве!яез Кгиег!ивт бег 1пзгаЫ1иа1 !апт!пагег Сгечсйтч!вй!дкензгегте!!ипйеп Оогнпяеп Ыаснг1сЫеп, 1935. ') йозепьгоок, 1пзгаь!ша1 бег бгепгзсь!сы !т зсьчас!т цгуегдепгеп !Сава!, 23 зяя. Ма!Ь. и, Мес!ь, 17 (!937), вып. 1, стр. 8 — 24. 672 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ (гл. !и уравнений: ((у с) (у(е)" „ау(ю) (у у(о) (3.17) ((У вЂ” с) (У(Ю вЂ” из У ив) — (У7 (41 = 1[у(ь-(У" 2ееу(1 -(у+а(у(а-11~ (3 18) Уравнение (3,17) это просто уравнение, отвечающее колебаниям а идеальной жидкости.
Его можно решить при помощи рядов по степеням аз. При этом мы получим два независимых решения: у(о( (у) ((у с) [ло(у) + аал (у)+(44(( (у) (3.19) ут(д( (у) = ((у — с) [Ф (у) + сРуга ((() + а4л (у) + ...[, где "о (у) = 1 У 4 .,Ы = У (Р— У [У 1Р— У й Й О~ О. о о У У(1(У) = ( о ((у — с)' У У й,„„(у) = 1 — — ~ 1 ((у — са) д,„„(у) уу (у. (1У вЂ” с)' (3,20) Определив два независимых решения для У(е(, получим дальше л(обое у(а> при помощи квадратур.
При конкретных расчетах достаточно бывает ограничиться функциями у'(е(. Уравнение (3.11) можно рассматривать в комплексной плоскости у (см. сноску на стр. 669) и считать, что агч, е — комплексные числа, а Г(у) — аналитическое продолжение функции (у, определанной лишь для действительных у. Тогда у" будет целой функцией от а[(( и а[я = сю будет особой точкой (если у зависит от а[я).
Поэтому ряды (3.16) суть асимптотические ряды (или полипомы) по 1/и[я. Далее, решения (3.17) будут целыми функциями от аа и ряды (3.19) равномерно сходятся для любой конечной области комплексной плоскости аа, для закрепленного у, за исключением того случая, когда у = у,. В точке у = у, уравнение (3.17) имеет логарифмическую особенность, и это затрудняет выбор пути интегрирования от 0 до у в (3.20) (прн интегрировании приходится переходить через точку, где (у = с).
Выбор этот 4 з1 устоичивость течения мвждр пластинками 673 получается путем сравнения, с асимптотическими представлениями для больших еагч точных решений полного уравнения (3.11). К этому мы вернамся ниже, а сейчас построим другую пару решений уравнения четвертого порядка (3.11) непосредственно для больших 1(слет. На этот раз будем искать у' в виде г"=ее л и.
(3,2!) Тогда для у мы получим следующее нелинейное уравнение: (Π— с) (де+ д' — иг) — Г" = = — — (де+ блги'+ Зд' + 44гли+ пи — 2аг(дг+ д') + аа~. (3 22) Представим д в виде следующего ряда: К(у) = Ура(1~ко(у)+ а (у)+ — й'гЫ+ — КзЫ+ . (3 23) Мы получим тогда уравнения: (У вЂ” с) йг~л = — 1До~, (à — с) (д„'+ 2д д,) = — 1 (а~у, + будд'); (à — с) (у,'+ дг1+ 2ал д — аг) — Г" = ' (4~оК + ~'"'Ф1~+ 65'~Фа+ 2А"о~Юо+ ~Ко + ~4о~о ' ~агф (3.24) Последовательно, без интеграций, мы моягем определить отсюда все наши функции. Выпишем первые две: 5 ло А' = — — — „ 1= а.= ч 1"(à — ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
