Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 106
Текст из файла (страница 106)
ув д) л.—.! ') Не представляет никакого труда обобщить операцию сглаживания ча случай функций любого числа аргументов. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ сГЛ. ИГ или, что то же, У (х) = ~ г (х — 1) ы(1) г(;'. (4.1) Обычно в качестве ес(!) берут четную, неотрицательную функцию, не возрастающую с ростом модуля аргумента. Заметим, что операция сгласкива>щя линейка по отношению к сглаживаемым функциям, так что результат сглаживания суммы двух функций Дс(х) н )'а(х) равен сумме результатов сглаживания этик функций: Лс )+Л( )= ~ !Л( — 1)+У ( — 1)) (1)г('-= / ус(х — !)Ы(1)с)!+ / уз(х — 1)с»()г(1= у,(х)+у (х). гс*с= 1" [ ( тс* — — сс.ссс«1.,с и— = ~ У(х — 4) ~ () — с) ыс (с) г(1 1), что равносильно одному сглаживанию со сглаживающей функцией (): ыа И) = [ ы (Ч вЂ” 1) ыс (1) ве (4.2) При этом ест(тс) «ь ы(т)) и Ф асс (и).
Одним из наиболее распространенных видов сглаживания является «осреднение» в некотором интервале 1. Здесь в качестве св(1) принылсаетсяс 1 ес(":) = — прн 1 — —.(:<-, ~ 2 (4.3) ! с ! 2 ' ес(1) = О Прн повторном сглаживании некоторой функции г при помощи какой-лабо другой сглаживающей функции ы,(1) получим, очевидно. СГЛАЖИВАНИЕ 689 При этом — 1 Г 1 у (х) = — / у'(х — !)е(с = — / у'(1) е(к (4.4) к-— 2 что сглаживаемые функции и сглаживание таковы, равенства: дУ дУ дг дУ дх дх ' ду ду ' у>+ л 7У'=б, Л~,= ЛУ, н предполо>ким, что выполняются д7 дУ 1) — — =— д) д( дУ дУ дг де 2) Л+У~= З) К=УН Условия 1 и 2 можно считать выполняющамнся вполне точно. Условия 3 будут, вообще говоря, иметь место лишь приближенно. Чтобы установить характер этих последних условий, заметим, что по самому смыслу описания турбулентных процессов функция у должна быть представлена в виде у (х) = — Г (х)-+ «(х), ') Повторное косредненне» приводит по (4.2), как нетрудно убеди>.ься, к сглаживанию с функцией 1 е>(6) = —, (1 — (;-~), когда (1~ с (, е,(1) —.О, когда (1(~д Как правило, повторное осреднение не будет простым осредиением, Нетрудно убед>жься, что, повторяя простое осреднение, в интервале ( л раз, получим составную операпию сглаживания, функция ь„(1) которой будет аснмптотн- '>ески подходить к закону / б «н м (1) к> — е кл Тнп сглажнаа>ошей функции ы 1 (а) встретится нам в теории псреяешивания.
Сглаживание с этой функцией яазывак т иногда сгла;кнваннем по Гауссу [ы ~":) имеет вн,т гауссовой кривой шибок). (среднее значение функции у в интервале 1)'). Прежде чем обратиться к уравнениям гидромеханики, обозначим равность г' — Г(г' †как-либо гндродинамический элемент) через у', так что ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 1гл ги где Р1х) — слабо меняющаяся функция своего аргумента, а ~(х), напротив, — функция, представляющая очень быструю изменяемость и неупорядоченность гидродннамического элемента г в турбулентном процессе; иначе говоря, ~у изображает пульсацию нашего элемента около его значения Р и очень часто переходит через нуль.
Тогда Пусть для конкретности мы имеем дело с простым осредненнем; так как Р (х) слабо меняется, то, беря интервал осреднения 1 не слишком большим, можем приближенно написать; 2 2 — 1 1 Л Р= — ! Р(х — ':)с11 — / Р(х) Ж = Р(х); (4.5) если все же 1 будет настолько велико, что внутри интервалз функция О много раз будет обрагцаться в нуль, то приближенно будет: 1 96) !=О. Таким образом приближенно получим г Р' (4.6) но тогда, осредняя ещд раз, получим: Р, или, на основании (4.5) Р т.
е. по (4.6) У-У н мы получим первое из условия 3. Из этого условия, в частности, следует, что О, ибо и у' = г — г' = 1 — г = О. Также можно разъяснить требование гьгз = О. В самом деле, Р я=уз — уе, т. е. 22 имеет характер ~у, а Г, имеет характер Р, но ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА $51 функция вида Р'. р будет в интервале очень часто переходить через нуль и Р~р О. Аналогичныв1 образом установим, что ~, уз У, у'з'). В заключение этого раздела заметим, что если под 1 разумеется случайная функция в том смысле, как это понимается в теории вероятностей, и если под знаком г' разумеется математическое о,кпдание.
то паши «постулаты» выполнятся совершенно стро|о сами собой. В 5. Основные уравненич Рейнольдса. Обращаясь к уравнениям гидродинамики, рассмотрим сперва случай несжимаемой жидкости (р = сонэ(.). Напишем уравнение неразрывности и уравнения Навье— Стокса и произведвм сглаживание над правыми и левыми частямп этих уравнений, пользуясь всегда одной и той же сглаживающей функцией (например, произведйм осреднение в одном и том же интервале)'), удовлетворяющее перечисленным выше условиям.
Уравнение неразрывности даст вследствие условий 2 и Н дох деу дел — + — У+ — = О. дх ду дг ') Вместо трех постулатов 3 мы можем формально принять одни постулат: Луг =-1.1н понимая здесь под 1, к Г; любые величины, например, постоянные. Действительно, при 1э = 1 получим, вследствие этого равенства, 1, = 1д далее, 1,1г— 1,г' = 1,1 . Наконец, условие 1,1 з — — О следует нз того, что 1, (1,— У',) =111у — 1,1, =1,, г', — 1,1ь так что. по нашемУ постУлатУ и ко )словню 111э=1,1э, будет 111з — — О.
Вопрос о возможности точного, а н» приближенного выполнения условий 3 при разных формах сглаживания, так же как н вопрос о независимости наших постулатов, разобран в статье Изаксона А. «К определению турбулентности» Ж. Р. Ф.— Х.
О., 61 (1929), 3. т) Мы говорили о сглаживании функции 1(х) одного аргумента. Если есть функция 1(х, у, л, г), можно определить соответствующую сглаживающую функцию ч(ч, т„"., ), так что — / ~ ( 1(л — Еу — т,.л — ",à — т)о~(ЕЕ,",-.)дбдддбг(т, Р е й и о л ь д с осредняет уравнения гцдродинамики по одному лишь аргументу в по времени. 692 ВЛЕЗ!ЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [гл. НН Уравнения Навье — Стокса дадут: др, де, / де, де, дик! — = рР—; — ' — р ! о — — ' -!- о — '-.
-т- о — — х ) + дх ' " ' д! ( к дх ' У ду ' М дккх дкку дкк, — — — +— дх ' ду дк аР дку ( д , ' д у д у' ду У д! ', 'дх ду — = екч — в У вЂ” р (о . — У+ о — '- + о ' ) + дкук дк»у дкук дк ' к д! '( кдк У ду к дк / дк ду дк .у!Л = (Л -Ч- Ы(1 + уз) = Л уз+ 1ьуз-+ у! Л+ у~!т а потому у!у'т может быть записано, на основании свойств 2 и 3 в виде У'А = У! Ук = УА Таким образом, например: дек дех дкх о —" + о — '- + о. — "- = к дх У ду дк де д»„ дек де, , де, , де . =-о. - -у о +о — +о' — "+о', ' +о' —; дх у ду ' дк к дх у ду к дк но , д!', дх ' !' ду ' дх д,,~до', д„' д,' д- - ' «( дх д«дк Р, д = —,о' «- —, о о -тдх ' оу п,к д = — о + — оо .к =д.к ' ду 1» о — — о 7/, дк ибо вследствие линейности урзвнення неразрывности будет де, до ду дк их (считаем, что Р„= Р', и т. д.). Преобразуем входящие в ускорение нелинейные по отношению к скоростям члены; заметим, что вообще ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА 693 Мы можем, таким образом, переписать уравнения Навье — Стокса в виде др (' до„— до» вЂ” док — дох ') дх к ~ дт х дк У ду * дх — = рР— р ~ — "+ о — х+ о — '+ е — х1+ д —,у д —,, д + (т Рех)+ д ( к Р к )+ д (т Реке) др ~ де де — де до„1 г1» ' У ~дт х дх У ду х дх! —,=ЯР, — р~ — '+ — + — '+е — '-1+ д д — у д + — (т — ео''е )+ — (; — ло )+ — (т — ье'о') др ! де» вЂ” дох — до — до х дх Р х 9~ да х дк У ду+ х дх)+ д д д ,х +д ('хк Роков)+ д (~ху Р~ к)+ д (ткк Рок )' гб.!) Мы видим, что уравнения для средних скоростея и для среднего давления имеют тот же вид, что и уравнения Навье — Стокса, с той лишь разницей, что к компонентам тензора напряжений прибавлены величины — ро', — ро'е', ...
соответственно. Шесть величин х' х Р х= 9~к рек ' Р, = — ре'о'; ху х у' Р = — ро'; Уу У ' (5. 2) Р, = — ро'о'; ух у х' носЯт название Добавочных напРЯжений. Так как тхх, ... сУть линейные функции от производных е„, еу, е, по координатам, то тк,, ... так же выразятся через средние скорости, как тхх, ... выражаются через точные скорости, и мы получаем следующий замечательный результат: если ввести в уравнения гидромеханики вместо истинных скоростей их средние значения, то одновременно с этим надлежит ввести новые поверхностные силы, изображающиеся в виде тензора с компонентами Р, .
Р„...,. Рео Добавочные напряжения прелставляют как бы суммарный эффект всех беспорядочных отклонений скоростей от их среднего значения. Смысл величин Рко ..., Р„станет особенно выпуклым, если вспомним, как в кинетической теории газов получаются уравнения Навье — Стокса. Мы знаем, что ряд свойств газа, тзкие, как вязкость, диффузия, теплопроводность, обязан своим происхождением суммарному эффекту молекулярных движений, каковые в деталях мы описать не можем. Более того, в кинетической теории газов показывается что компоненты тензора напряжений в уравнениях Навье — Стокса ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ игл.
~н ПОЛУЧаЮтСЯ ИЗ аЕЛИЧИН С вЂ” Сх, Су — С, С,— С,(С«, С, С, — СКОРОСТИ движения молекул, сх, с, с,— средние значения скоростей — скорости всего потока) совершенно так же, как наши Рх, Рх, ..., Р„по. лучались из о„', о', о,'. И там и здесь мы суммарно описываем эффект беспорядочных движений. Отметим, что при формальном введении величии Рх„... вязкость р никакой роли не играет: уравнения для средних элементов турбулентного движения идеальной жидкости отличаются от построенных нами уравнений для вязкой жидкости отсутствием членов т„, члены же, даюшие добавочные напряжения, имеют в обоих случаях одинаковый вид.
Кинетическая энергия турбулентного движения будет для единицы объема: (ог + ог + ог) — (Ох+Ох+Ох)+РГх'«Ох+ну~У+ Ох)+ 2 ( «+ у + х )' Рассмотрим некоторый конечный объем (т) нзшей жидкости и найдем скорость изиенения средней кинетической энергии этого объема, т. е. величину д / 2 (~«+~У+~ ) Пю гз Для простоты рассуждений предположим сперва, что объем наш ограничен твердыми стенками и что внешние силы отсутствуют (Р=О). Умножая уравнения Навье-Стокса на о, о, о, соответственно н складывая их, получим: ( д д д д 1 о~~+за+за — +и — +о — +о — ) р дт «дх Уду хдх/ 2 др др др г' дтхх духу дтхх ) = — о — — о — — о — +о ~ — + — У+ — /+ хдх У ду *дх х~, дх ду дх / Беря интеграл от обеих частей по всему нашему закрепленному объему, внося ох, ... Нод знаки производных, применяя формулу Грина и замечая.
что иа стенках всюду о=О, мы получим, после 695 основныв вялзнения вьинольдсл з 51 простых преобразований: „з+ з+ з («1 де« дв« де« до = — Г ~т — +т — -)-т — +т т+ ) ««дх «У ду «» д«У» дх дту дев до«де«до«1 +т — +т — +т — +т — ' +т — '~дт, 'гг ду у* д« ° д «дЗ,' *«д« ~ Введем обозначения: е . + еу + е 2 2 2 Ф >+ -з+ „з (5А) 2 э 3 о«+от + ел и) тогда для скорости изменения средней кинетической энергии Т нашего объема получим, очевидно; дТ дТ, дТ' дт дт + дг / (' ~ .).: )» — / ('„~-~-...)Г . (5.5) тле т' = т, — т „, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
