Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 2 (1123855), страница 108
Текст из файла (страница 108)
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБУЛГИТИОСТИ % а1 ференцпальному уравнению (6,1). Трулность заключается в определении коэффициента м '). Желая определить (е. заметим прежде всего, что если субстанция переносится жидкостью пассивно и своим присутствием на движение существенно не влияет, то величину (е естественно считать не зависящей ни от рола субстанции, ни от ее мгновенного распределения; 14 опрелеляется исключительно состоянием неупорядоченного турбулентного движения жидкости. При ланном движении рассеяние любой субстанции описывается одним и тем же уравнением (6.1). Прелположим, что 14 не меняется ни в пространстве, ни во времени (зто . статистическая характеристика некоторого состояния движения). Рассмотрим также еще случай, когда р = сопИ.
Тогда (6.1) обращается в простое уравнение теплопроводности, и мы можем написать решение его в виле; (» - »ап е(з () — 1 а 4ап — 4»1 о(х ( ) г(л (6.2) 2у .я (т — е,) где а(я, (а) прелставляет среднее распределение плотности субстанции на уровне г в момент времени г = ге. Мы вялим, что турбулентность действует па начальное распределение а (яа, г ) по высоте яа как сглаживание со сглаживающей функцией 1 ю(8) = 4» р — 4»ь 2 г яд (г — г,) Мы уже говорили выше о сглаживающей функции такого типа (формула (а), 9 4). Возьмем теперь некоторый уровень г и посмотрим, какая сульба постигнет в момент г частицы жидкости, лежавшие в момент Тз на уровне гэ.
Обозначая через ((х, у, () значение г для разных точек нашего уровня в момент Т, мы, очевидно, должны иметь, на основании самого определения турбулентности, (,(х, у, () — да = О. Рассчитаем, однако, величину (6.3) ~) Уравнение (6.1) по своему обоснованию тесно примыкает к аналогичному уравнению, построенному Фнкком (Г ~ с К, йпп. Риуэ. С14егп., 1885, т. 49) для молекулярной лиффузни; поэтому в английской литературе по турбулентности оио называется уравнением Фикка. Вывод его, так же как способ нахождения (см.
ниже), мы заимствуем нз главы Келлера по атмосферной турбулентности в книге «Линамическая метеорология» под редакцией Извекова н Кочина, ч. П, 1936. элементы теОРии тугвулгнтности (гл гп то2 где интеграл взят по элементу бг плошали у, достаточно большой и расположенной в плоскости (х, у), Величину эту можно выразить через (о. Чтобы это сделать, заме~им сперва, что, рассматривая частицы, лежащие в момент 1 на уровне зо илн, точнее, в слое от ло ло хо+ бзо, как примесь, н прелполагая, что онн к моменту времени 1 разбросаются по различным уровням з от — со ло со, можно применить интеграл (6.2) (вернее один элемент этого интеграла, ибо ч (зо, 1о) сосредоточено у нас на элементе ало) к определению того количества наших частиц, которое погшдает в момент 1 на уровень з; на единицу площади их будет 1 (о — оов 2 1' оое (à — 1,) а на единицу массы и = — ' (очевилно, следует положить а (зо, (о) = ро).
Ро Но теперь, вместо того, чтобы вычислять интеграл (2.!8) интегрированием величины (ч — зо)г по плошади, мы можем разбить вычисление (6.3), беря сперва для кажлого з по(ч — зо)г, умноженное на соответствующую площадь, а затем, интегрируя это по е от — со до+со (частицы распределятся, по предположению, во всдм промежутке от — со до †, со). Но тогда получим: (о- ооя 1 ((. — зо)г = / е оо((-(,1 (в — зо)гйз 2 )Р зд (à — Г~) Интеграл в правой части вычисляется и дает 2я(à — (о).
Отсюда (с — ео)о 2 (( Го) (6. 4) Таким образом, нами найден гидродинамический смысл величины я. Имея в зилу этот смысл, величину я называют мерой рассеяния. Одновременно с я часто вволят ещд величину А=-ой, где под р разумеется средняя плотность; величина эта носит название меры обмани. Размерность А совпадает с размерностью коэффициента вязкости р, размерность же я булет 1г(Т, что совпадает с размерностью кинематического коэффициента вязкости Покажем ещЕ, как можно иначе выразить величину й. Пусть по-прежнему перемешнванне происходит лишь в направлении з, сосредоточим внимание на олной какай-либо частице и будем обозначать значения ее скорости в моменты времени Г через о,(1).
С.задуя Тейлору (1ос. сйл), привлечйм к рассмотрению коэффициент корреляции (или момент связи) между значениями ео(Г) и о (Г+е), где т рас- хАРАКТГРистики тупвулентностп я б] сматривается как произвольный постоянный параметр, и выразим я через этот коэффициент. Строгий вывод был дзн Л. Келлером '). Мы укажем лишь путь получения строгого вывода, отсы.чая за подробностями к статье Келлера.
Вместе с Келлером полчиним и, следующим четырем требованиям. Предположим: 1) что существует прелел для среднего значения п,(1) при увеличении интервала осреднепия до бесконечности, и этот предел ранен нулю (мы считаем, что у нас нет срелнего переноса, а есть лишь турбулентное лвижение, так что т>, = О); 2) что существует предел при увеличении до бесконечности интервала осрелнения, для срелпего значения п,(1)г и, более обще, для среднего значения выражения п,(1)п,(1.+т); эти пределы будем обозначать п,(1)г и п,(1)п,(1+с) соответственно (иа основании свойства 1 можно положить п,=п,); 3) что по мере того, как мь> будем увеличивать интервал изменений 1 до со величина Р (х ( п,(1) С 3), равная вероятности того, что п,(1) заключается во взятом интервале изменения 1 между п и р, стремится к какому-то определанному пределу; 4) что если через Й (т) обозначить коэффициент корреляции между пг(1) н о,(1+ т); л() г( г вг (1) интеграл ) И(т)>Хт имеет определенное конечное значение (мы харак- а теризуем турбулентное движение как неупорядоченное, а в таком случае естественно потребовать, чтобы корреляция ме>клу п,(1) и п,(1-1-т) при возрастании т дальше некоторого предела быстро стремилась к нулю).
Рассмотрич затем некий, конечной длины 1, интервал оси 1 и обозначим среднее значение от п,(1) в этом интервале через п,(1, 1); г п,(1, 1)= — — / п„(ч)пп, Величина п,(1, 1) булет, вообще говоря, ! г отлична от нуля.
Можно теперь доказать слелующую теорему '): вероятность Р(з ( п,(1, 1) ~ >>) суц1ествования неравенства г ( п,(1, 1) (3 ') К ел л е р Л., Распространение предельных теорем теории вероятности на интегралы н средине значения фупкц>тй сплошного аргумента, Труды Главной географической обсерватории, вып 4, 1935 Лзлее, статья Келлера по теории турбулентности, нз книги «Линамнческая метеорология». г) К е л л е р Л., 1ос. сп. Теорема эта является обобщением на случай функций сплошного аргумента известной предельной теоремы теории вероятности, применяющейся обы >но к ляскретной последовательности случайных величин. 704 элементы теОРии туРБулентиОсти !гл.
Тм при увеличении 1 к сл стремится к выражению: ,! УТ с 'гс2ч = е где 2 ' ) Й1т)с.. о Рассмотрим, в частности, осредненне вида — ! о,(1)с(г. И11еем: ! /' а ст А ( ос(~)л1г С 8 — == ( е г ' т(т, )2 А с 1'Т а если перейти под знаком интеграла справа от переменного т) к переменному и = т~с'гс(, то получим в Р А ( 1 о,(с)Б (  — — ~ е тсн 12п.
/ с3 "2г( Примем теперь (.==г — га. Тогда ~ о,(!)с!с=с — га представит веро тикальное уклонение частицы от ее первоначального положения в некоторый момент 1, и мы придвм к статистическому закону рас- пРеделениЯ Уклонений " — га! К- сся Г) — . Е тсс11-си с) 2'с(1 Тс) Непосрелственным дифференнированнем убеждаемся, что р улов..- творяст уравнению дт С' дст дт 2 д Заметим, что величина с будет, вообще говоря, разной лля разных частиц. Предполагая турбулентность олнородной, можем, однако, считать, что с для всех частиц одинаково.
При атом условии осреднение по большому промежутку времени, примененное к смене составляющих скорости одной частины; может быть заменено осреднением 705 ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРВУЛГНТНОСТИ уже не по времени, а по массе — для всей совокупности частиц, содержащихся в рассматриваемой массе. Можно тогла сравнить ез наше уравнение для» с уравнением Фикка (6.2) и написать (а= — . Мы прпдвм таким образом к формуле: л = о,' ~ (т(т) г(т, а а это и есть выражение, предложенное Тейлором для меры рассеяния. Мы уже говорили, что приведднное здесь рассуждение можно отнести лишь к тому случаю, когла турбулентные процессы происходят лостаточно однородно внутри достаточно протяженной во всех направлениях массы, т.
е. когла речь идет об однородной турбулентности. В том случае, когдз имеется турбулентность, так сказать, разных масштабов (как, например, это имеет место в земной атмосфере), процесс турбулентного рассеяния будет существенным образом зависеть от размеров области, занимаемой рассматриваемой примесью.
Чтобы пояснить эту мысль, посмотрим, как будет рассеиваться дым в свободной атмосфере. Представим себе две молекулы ацетилена, находящиеся на расстоянии 1О ' с.и друг от друга; по истечении олной секунды они, полвергнувшись лействню молекулярноп лиффузии, разойдутся, но все еще будут друг от лруга на расстоянии порядка 10' см. Совсем иная судьба постигнет две молекулы ацетилена, находящиеся на расстоянии 1Оз см = 1О' »г друг от друга; здесь появляется диффузия турбулентная (порывистость ветра), наши частицы могут быть подхвачены разными порывами ветра, так что через секунду расстояние межлу ними может измениться на несколько метров, а не на величину порядка 10' с.н — !О з см 1О' схи как это и было в первом случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
