М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 9
Текст из файла (страница 9)
3.14). Легко видеть, что область изменения Й представляет собой прямоугольник (рис. 3.15, а), симметричный относительно мнимой 4 м. и. Гуревич «Во всякой задаче о струевом течении жидкости любая критическая точка с нулевой скоростью, образовавшаяся на стенке, может быть заменена конечною массою спокойной жидкости; размеры площади сечения этой массы плоскостью ху зависят вооб це от некоторого произвольного в изеестных пределах количества». В качестве дополнительного примера к задаче С. А. Чаплыгина можно привести схему обтекания клина, предложенную Вилла (рис.
3.13). ~ГЛ. П1 ОБТЕКАНИЕ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ оси . й,. Отображая этот прямоугольник симметричным образом на верхнюю полуплоскость 1 (рис. 3.15, б) и используя формулу Кристоффеля — Шварца (4.5), получаем (13.10) 0 Интеграл в правой части (3.10), очевидно, является эллиптнческнм интегралом первого рода с модулем Й 1204, 305, 3591. Постоянные й и У еще нужно определить. Займемся определением постоянных Й и У через физические параметры. В точке А имеем 1 (13.11) где К вЂ” полный эллиптический интеграл первого рода и 1в = =1п'г'о,/о~. Обходя точку А в верхней полуплоскостн по бес- конечно малой полуокружности, находим, что на АВ (13.11а) Отсюда в точке  — 1в +1пр, (13.12) но интеграл, входящий в (13.12), равняется К' — полному эллиптическому интегралу первого рода ~359~ с дополнительным модулем Й' = 1/ 1 — Й', откуда ЛЖ =яр.
(13.13) Из (13.11) и (13.13) получаем уравнение для определения й: Щ1. —, = 13. К К' (13.14) После определения й величина У находится из (13.13) или (13.11). Однако практически не нужно решать уравнение (13.14). В конечном счете требуется только составить таблицу, связыва10щую значения математического параметра Й со значениями физического параметра и = 1п1Го,~о прн заданных в. Для этого нужно, задаваясь значениями й, найти по таблице эллиптических интегралов К и К', ц тогда (13.14) даст соотретствующи~ ОтРыв стРУЙ с ВЯРхА плАстИИКИ $141 У читателя, наверное, уже давно возник вопрос: какие течения осуществляются в действительности — с критическими точками или с некоторыми областями застойной жидкости вместо них? Очевидно, что тот же вопрос можно задать и в отношении безотрывного обтекания тел, например крыльев.
К этому вопросу мы вернемся в главе 'Ч. $14. Обтекание пластинки с отрывом струй с ее верхней поверхности На пластинку В0 длины 1 набегает поток со скоростью о, в бесконечности (рис. 3.17). Вектор скорости в бесконечности образует с направленной вдоль пластинки осью х угол О,. Поток отрывается от пластинки в точках В и С. Точка 0 расположена на задней кромке пластинки, а точка С, в противоположность рассмотренным ранее задачам (см., например, рис. 3.6), Рис.' 3.18. Рис. 3.1?. лежит где-то на верхней поверхности.
Задача эта была впервые решена С. А. Чаплыгиным и А. Л. Лаврентьевым 139Ц для усовершенствования схемы обтекания крылового профиля. Другое решение и новый анализ этой задачи были даны Я. И. СекержЗеньковичем ~2951. Ниже будет изложено решение С. А. Чаплыгина и А. Л. Лаврентьева. Области изменения комплексного потенциала ж и комплексной скорости Йо/дг отобразим на верхний правый квадрант плоскости вспомогательного переменного и=$+~Ч (рис. 3.18).
Пусть критической точке А соответствует в плоскости и точка и=а, передней кромке пластинки  — точка и — — р, а бесконечно удаленной-точке Š— точка и = г. Положим в=0 в точке А, в которой поток раздваивается. Функция э(и) имеет ь точке А нуль второго порядка (ср.. гл. 1, ~ 5-, 4'). В точке Е(и=~) функция и~(и), очевидно, имеет полюс второго порядка (см. гл. 1, $5, 1'). 104 ОБТЕКАНИЕ ПОЛИГОНАЛЬН ЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ [гл.
гп Пользуясь (14.6) и (14.7), следует иметь в виду, что а, а, р суть действительные положительные величины, причем а«" ~ и ~:> й. Из (14.5) можно, .положив и=а, определить и положение точки А (см. ~3911). Перейдем к определению результирующей силы Х+~У', действующей на пластинку. Для результирующей силы, действующей на обтекаемое с отрывом струй препятствие, можно вывести общую формулу, согласно которой вектор результирующей силы У выражается через контурные ин- тегралы, что значительно упро- К щает расчеты.
На рис. 3.19 изображена произвольная дуга АОВ, обтекаемая с отрывом струй. РассмотФ рим массу жидкости М, ограниченную в рассматриваемый момент времени контуром АОВ, поверхностями струй АС' и ВС и контуром К,,представляющим собой дугу окружности бесконечно большого радиуса с центром Рис. 3.19. в начале координат. При инте- грировании коитур К.
будет обходиться против часовой стрелки. Применим к массе жидкости М теорему количества движения. Известно, что результирующая постоянного давления, действующего на замкнутый контур, равна нулю. Поэтому постоянное давление в бесконечности р, можно вычесть из внешних сил, действующих на М, или даже (для упрощения записи) положить равным нулю. Тогда на струи ВС и АС' силы действовать не будут. Если результирующая давлений, действующих на контур АОВ, равна Х+П', то результирующая сила давления контура на жидкость равна — Х вЂ” ~У.
Длина вектора дг равна дифференциалу дуги ~Ь, и сам вектор направлен по касательной. Чтобы получить из дг вектор, равный по длине сЬ и направленный по внутренней нормали, следует вектор сЬ умножить на 1. Если р — величина давления, то вектор нормального давления на элемент дуги сЬ контура К будет равен ~рог. Суммарное давление на К будет равно ~ ~ рог. к Всего за бесконечно малый интервал времени ЬТ на жидкость М подействует импульс М.
111 ОБтекАЙие полигонАльных ЙРепятстВЙЙ (14.9) будет получена известная в теории струй формула ЛевиЧивиты 15361. Сейчас мы используем другой прием, иногда оказывающийся удобным. КонтУРУ К плоскости.г: (рис. 3.1,9) в плоскости и (рис. 3.18) соответствует полуокружность К„бесконечно малого радиуса е с центром в точке Е(и=~).- При движении по К.против часовой стрелки точка Е будет обходиться по часовой стрелке. Рассмотрим подынтегральное выражение во втором интеграле формулы (14.9). Так как на СЕ0 имеем 1гпйо=0, в точках бесконечно малой полуокружности 'К„-симметричных относительно СЕ0 точкам К„, дифференциал йа будет иметь значение йа.
Далее, на СЕО имеем ~йо~(о,дг) ~=1, откуда, в силу принципа симметрии 1204, 2681, функция йо/(о,дг) принимает в соответствующих точках К„значения о, Ыг/Йв. Таким образом, о,(йо/(о,сЬ))йо на. К„можно заменить через о,(,дг/дэ) йо= = о3дг на К„, причем при обходе К„по часовой стрелке К„обходится против часовой стрелки и второй интеграл в (14.9) может быть представлен в виде — а', ~ дз. Изменив направление Ки обхода в первом интеграле (14.9) на обратное и одновременно поставив перед этим интегралом знак минус, объединим оба интеграла и запишем (14.9) в виде (14.10) где интеграл берется по бесконечно малому замкнутому контуру вокруг точки и = ~ против часовой стрелки. Рассмотрим равенство (14.5), определяющее функцию г (и). Очевидно, что рациональные дроби, входящие в (14.5), будут однозначны. Логарифмическое слагаемое, входящее в (14.5), можно представить в виде — ~1п 1и — г) + 1л.(и+ г) +.1и — „ Очевидно, при обходе точки и = ~ приращение получает только первый из логарифмов, стоящих в квадратных скобках, так что при обходе против- часовой стрелки логарифмическое слагаемое в (14.5) увеличивается на Рж'.
Теперь нам остается рассмотреть только слагаемое, содержащее агс1д и. Имеем [гл. п~ ОБтекАние пОлиГОКАльных пРепятстВий 108 ТАБЛИЦА ХЧ Т А Б Л И Ц.А ХЧ1 совпадает с задней кромкой (рис. 3.21). При этом подъемная сила Р максимальна и мало отличается от подъемной силы Рг ° плоского крыла при обычном циркуляционном обтекании. С, А. Чаплыгин и А. Л. Лаврентьев подробно исследовали Р форму свободной поверхности за ,о пластинкой. Мы сейчас воспользуемся результатами этого исслеРис. 3.21. дования лишь в той мере, в какой это потребуется для дальнейшего. Докажем, что на одной из струй 8 — угол вектора скорости с' осью х — принимает наибольшее значение, Действительно,- из (14.3) следует, что на струях, где и принимает чисто мнимое значение щ, а скорость равна о„ ОБТЕКАНИЕ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
