М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.9 и 2.10, то увидим, что, так как у течения, изображенного на рис. 2.9, вся втекающая через сечение НН жидкость вытекает через щель, в этом течении нет раздваивающихся линий тока. Наоборот, получим, что областью изменения 1 служит полукруг (рис.
2.11), которыи обозначим через 6; рис. 2.2 и рис. 2.9 можно считать частными случаями рис. 2.10 и 2.11, когда точки 0 и С сливаются (или критическая точка В совпадает с й2~ бесконечно удаленной точ- о~1г кой С). Найдем теперь функцию з(1) тем же методом, каким о ~ с мы находили ее в ~ 6. Если .У' Ю Р А расход в сечении НН (рис. 2.10) обозначить через о, а расход в струе — через О~= д/и, то расхоп, в сечении СС должен, очевидно, равняться у — у = у (и — 1). так как через сечение СС должна протекать вся жидкость, втекшая через сечение НН и не вытекшая через сечение ЕЕ.
Таким образом, внутри полукруга б функция з(1) имеет соответствующие источнику и стокам логарифмические особенности в точках Н(1=Й), С(1=с) и Е(1=е'Р). После продолжения функции з (1) на нижний полукруг единичного радиуса и затем на всю плоскость переменного 1 убеждаемся в том, что такие же особенности функция в(1) будет иметь и в точках Е' (1=е '~); С' (8 =1/с) и Н' (И=1(й).
Зная все особенности функции в (1), легко построить ее с точностью до несущественного постоянного слагаемого: в (Е) = — 1п (Ю вЂ” й)+ — 1п — — ~ — 1п (~ — с)— О 1 Ч вЂ” Чь Я а Ь й — ~~ 1п — — ~ — ~~1п (Š— е'Р) — ~~1п (~ — е-'"). (10.2) П с д Д истеченИе из сОсудА ИГЛ. 11 10 — 1 -1 д Ю дЬ й Ке —,, — +— ~~ой ~ — ~1 ~~о ~ — Ь 1 1 — 1 — й лоос 1 — с 1 -1 (д — дд) с Ж поа 1 -1 -1 2у~ 1 — сов ~ 2ур ~Й тщ> ~ 1' — 21 сов Р+1 яо~ ~ Р— 21 сов р+1 1 1 Все получающиеся интегралы являются табличными, и поэтому можно после элементарных вычислений выписать окончательную формулу для Ь: 2 сов ~1п 1Π— + и в1п ~~, +ф[ откуда, учитывая (10.9), получаем Ь Ь 1 1+а и — 1 1 1+с — — й+ — 1п = — — Й с+ — 1п — + к Ь 1 — Ь пп с 1 — с 2соя~!п$д 2+пяп~~.
(10;12) Система расчетных формул дополняется, наконец, формулой для коэффициента Й =Ь|Ь= уе((ооЬ), или ~ь= (10.13) Расчеты могут производиться в следующем порядке. Задаемся значениями а/Ь, и и Ь. Из (10.11) определяем с. Из (10.5) находим Р. Заметим, что из (10.12) находится Ь/Е, а из (10.13) йь. В случае и=1 в упомянутые формулы входят неопределенные выражения, которыми нетрудно раскрыть. Заметим также, что при и=1 расход сквозь сечение СС равен нулю, откуда ос=О и, согласно (10.6), с=0. Из (10.11) следует, что 11п1 — = — 1— (10.14) с Ь Ь Отсюда, задаваясь значениями и=фд~ и а/Ь; можно для каждого й найти соответствующее значение с. Найдем теперь Ь вЂ” проекцию на горизонтальную ось х (рис.
2.10) отверстия между нижними стенками канала. Для этого проинтегрируем выражение (10.8) от точки А(1=1) до точки 8(1= — 1) и возьмем' действительные части от правой и левой частей полученного равенства: -1 Ь=йе — й= 6Ь й 1 ~гл. ц ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОСУДА 72 по истечению более плотной жидкости в менее плотную (напри- мер, воды в воздух). ТАБЛИЦА 1У 1,98 0,15 0,62 0,32 0,2 0,4 0,6 0,422 0,406 0,8 1,0 Частным случаем истечения из канала постоянного сечения является случай симметричного течения (рис. 2.12, 1122~), когда Рис. 2.12. с= — Ь, уе = 2у, и = /„~ = я/2.
При этих условиях в формулах (10.20) и (10.21) возникают неопределенности и оказывается удобнее вернуться к (10.12) и (10.13). 4 ОД 0,540 0,535 0,590 0,616 0,602 0,653 0,606 0,675 0,609 0,714 0,414 0,400 0,544 0,541 0,580 0,597 0,594 0,615 0,604 0,660 0,278 0,279 0,445 0,440 0,524 0,522 0,566 0,560 0,584 0,597 0,186 0,185 0,330 0,331 0,436 0,433 0,506 0,500 0,546 0,544 0,128 0,127 0,242 0,241 0,342 0,335 0,489 0,461 0,100 0,101 0,196 0,196 0,287 0,282 0,370 0,356 0,432 0,411 ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОСУДА С ОТВЕРСТИЕМ ВНИЗУ И СБОКУ Формулы эти, очевидно, упрощаются: 1 6+1 1П1+а+1 (10.22) 2Ь й1,— — —.
Ь/Ь ' На рис. 2.12 приведены результаты расчетов й„сделанных по формулам (10.22). $ 11. Истечение из прямоугольного сосуда с отверстием внизу и сбоку Хорошо поддается расчету случай симметричного прямоугольного сосуда, изображенного на рис. 2.13. Если заменить среднюю линию тока твердой стенкой, то получится течение, изображенное на рис.
2.14. Эта последняя схема является частным Рис. 2.14. Рис. 2.13. случаем схемы Мизеса (рис. 2.1) и подробно им рассчитана 15561. Задача решается формулами ~ 6 при р ='/„что позволяет легко вычислить все необходимые интегралы. После замены в формулах (6.11) — (6.13) р, через '!, и переменных интегрирования 1 и $ через и' получаем, — =1 — —, (11.1) 1 о 2(из+соз р) и4+2из соз р+1 (11.2) 1 Ь 2)/й ' 1 1 и. и' — Ь+ и' — Ь-~ О 2 (и2 — соз ~) и4 — 2из соз ~+ 1 ди. (11.3) 1гл. и ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОСУДА Интегралы в (11.2) и (11.3) вычисляются путем разложения подынтегральных функций на элементарные дроби: 1 ! 2 1~а !' [ ! ! иа!и!1!/21 — !+2в!а~11!!2) Г.
а,) [и~+а+и~+А-1+ и~-!-2иа!п11!!21-!-! + о + — и з1п ф/2) — 1+ 2 з1п2 ф/2) 1 о ~ Ь 1 1 и соз (~/2) — 1+ 2соР ф/2) 2 — 1/~l Ь и+1/1Г Ь '+2 (И2)+1 — и соз (~/2) — 1+ 2соз~ ф/2) ий — 2и соз ф/2)+1 Отсюда легко получаем — агс1а — +)/й агс1п)/'Й+ з1п ф/2) 1 1+ з1п ф/2) я соз ф/2) 2 1 — з1п ф/2) 2 1+ )Гй соз /2) 1+соз( /2 (11.4) 1 1 ф ) 2 ~/т„ — =+1/й 1п= — 1п у" ~~ 2 1 — соз ф/2) + я з1п ф/2) 2 (11.5) Из (11.1) и (11.4) следует равенство а 21~а ! — = — )/Й агс1д)ГЙ— Е. а ~а з1пф/2)1 1+з(пф/2) д Я 2 1 — з1пф/2) 2 2 ~ ° (11.6) (11.7) (11.8) где 1, О/Й) = — — ' — )/'Й) агс1д1/й, я ~/д Я~ ~ з(п ф/2) 1+ з(п ф/2) ~ Д хс ~ .. Д соз ф/2) 1 1 — созф/2) Формулы (11.5) и (11.6) можно сокращенно представить в виде з ~1 ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОСУДА С ОТВЕРСТИЕМ ВНИЗУ И СБОКУ ТАБЛИЦА Ч Ь/Е= О струи Й,Ь при ЬЯ, - .3 мало отличается от ширины канала Ь (при Ь/1.
= оо эти величины совпадают). В указанном случае в качестве характерного размера следует брать величину Ь. ~) Эти вычисления были проверены и уточнены П. М. Белоцерковским и М. М. Кузнецовым при помощи метода наискорейшего спуска. Расхождения между результатами графического и численного методов расчета не превосходят 1Ц. Задаваясь значениями й и Р, можно вычислить а~~. и Ь!Е, а затем по формулам (6.14) и коэффициенты истечения Й, и Й~ (см. ~5561). Обычнс~ геометрические параметры а/Е и Ь!1. заранее известны. Тогда соотношения (11.7) и (11.8) представляют собой систему уравнений для определения параметров Й и Р, которые в такой постановке задачи являются неизвестными.
В работе ~556~ эта система решалась графическим методом. Следует отметить, что графический метод не обеспечивает высокую точность решения и при этом связан со значительной затратой времени. В настоящее время более эффективными являются численные методы (например, метод наискорейшего спуска) с выполнением расчетов на ЭДМ. Особый интерес представляют рассмотренные в работе ~5561 случаи а/Е=О (отверстие в стенке) и Ь/Ь=О (отверстие в дне).
В первом случае коэффициент Й~ превращается в коэффициент сжатия струи, а во втором коэффициентом сжатия является Й,. При помощи графического метода в работе ~387~ был вычислен также угол отклонения струи 8,(= — ~р); результаты приведены в таблицах 'Ч и И '). Как видно из последней таблицы, ширина 76 истечение из сосудА 1ГЛ. 11 ТА Б ЛИЦА Ч1 а/Ь=О Случай Ь!Ь=О ~табл. У) представляет интерес и для струй-. ной автоматики, являющейся новой областью применения теории струй (см. гл.
ИИ, ф 36). Задача состоит в регулировании направления струи (угла О,) изменением положения задвижки, установленной поперек канала. Зависимость угла О,,от а/Ь, рассчитанная в работе ~3871, была проверена экспериментально. Подтвердился тот интересный факт, что при Ь/Е = О и а/Ь вЂ” О угол О, ж 22'. Наблюдавшийся разброс экспериментальных точек при малых а~Е объясняется тем, что при а/Х, — О следует ожидать повышенного влияния таких не учтенных в изложенной теории факторов, как вязкость и капиллярность. Существенное влияние может также оказывать в этом случае и геометрическое несовершенство выполнения кромок задвижки и канала. ~гл.
ш овтеклния палигонлльных препятствий потока, то в точке Н скорость будет бесконечной (рис. 3.4). Если клин установлен раствором против набегающего потока (рис. 3.5), то скорость в точке Н останется равной нулю. Задачи, схемы которых изображены на рис. 3.4 и 3.5, могут быть решены. Однако если схема рис. 3.5 имеет непосредственный физический смысл, то применимость схемы рис. 3.4 остается под вопросом из-за бесконечной скорости в точке Н. Рис. 3.4. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
