М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Отсюда формула (4.4) дает Ф ~ГЛ. 1 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СТРУЙ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ или, согласно (4.3), ~о~ что совпадает с (3.5). Дальнейшие вычисления длины пластинки и давления на пластинку могут проводиться или так же, как в ~ 3, или нейосредственным интегрированием по параметрическому переменному 1. Наметим, например, путь вычисления длины пластинки с помощью непосредственного интегрирования по 1. Из (4.4) и (4.11) следует, что Интегрируя вдоль Ас (рис. 1.1), находим половину длины пластинки. Как было отмечено выше (см.
также рис. 1.6), значения 1 в точках А и С равны соответственно 1 и О. Отсюда Эта формула совпадает с формулой (3.10), и после вычисления интеграла дает, как было указано в ~ 3, для длины пластинки выражение 4 'Ро 1+~~ Так же просто, пользуясь интегралом Бернулли, найти и суммарное давление Р на пластинку. В самом деле, из ормул (3.12), (3.14) и (4.8), учитывая симметрию течения, имеем -1 о Р = (р — р) — — й=2 — 1 — — — ~ — й ~г Йд ~10о 1 1 Йо Йо Ю 2 ~2 у Щ 1 1 откуда, комбинируя различные выражения для ~, даваемые (4.11), получаем Р=20ЦЯо 1 1 — Р+ 1 Ж, 0 или 1 Р =4ро,~р ~ 1/1 — Р со=яро ~р о МЕТОД ЖУКОВСКОГО обстоятельство, что при обходе точки 1=а (или 1 оо) аргумент- в меняется на л, причем если 1 — а (или 1- оо); то и я) — + оо.
' -2'-. Если набегающий поток заполняет все пространство сверху донизу, как, например, в первой из рассмотренных задач об обтекании пластинки бесконечным потоком (следует мысленно повернуть -рис. 1.1), то М=~О и Р(~) имеет полюс второго порядка. При обходе такого полюса .аргумент и меняется на 2я, а при.1 — ' а (или 1 — оо) и — оо; -.
3';- Каждой точке 1 =у соответствует бесконечно .удаленная точка струи с конечным расходом жидкости (см. формулу (4,16) в задаче о ~глиссирующей пластинке')). При обходе логарифмической точки мнимая часть логарифма возрастает на 2ж, что приводит к соответствующему приращению функции ф, равному расходу жидкости в струйке. Формуле (4.20) можно придать следующий гидродинамический смысл.
Поскольку и(1) является аналитической функцией комплексного переменного 1 и на всех отрезках действительной оси между особыми точками 1та принимает постоянные значения, функцию „'ы можно рассматривать как комплексный потенциал течения в плоскости 1, вызванного источниками и стоками с конечными или бесконечными расходами. Источники и стоки помещены, очевидно, на действительной оси. В методах Леви-Чивиты и Чаплыгина, которые будут рассмотрены ниже, в качестве областей изменения параметрического переменного 1 берутся области, отличные от верхней полуплоскости (например,'~в методе Леви-Чивиты берется полукруг единичного радиуса).
В этих методах функции э(1) можно придать тот же гидродинамический смысл, т. е. представлять себе а (1) как комплексный потенциал течения в области параметрического переменного. Теперь ~перейдем к формуле (4.21). В этой формуле ~(1) представляет собой алгебраическую рациональную. функцию с действительными коэффициентами, которая может иметь простые полюсы на действительной оси 1 или в бесконечно удаленной точке: Б' последнем случае порядок ее бесконечности должен быть меньше порядка бесконечности, радикала в знаменателе йе менее чем на единицу, так как в силу своего физического. смысла й(1) может иметь бесконечные-особенности только логарйфмического порядка, соответствующие угловым и критическим точкам 'на "~'контурах (см.
ниже анализ, формул (4.24), (4.25)). Величины с„с„с„... действительны; т — величина,"равная 1 или ~. ') о случае глиссирующей пластинки в бесконечности (точка И) соединяются две струи: одна конечной, а другая бесконечной толщины. ' МЕТОД ОСОБЫХ ТОЧЕК ЧАПЛЫГИНА задачи. Если область изменения функции тоже ограниченачастями прямых и дугами окружностей, то, выбрав одну 'из указанных -выше областей 'изменения параметрического переменного и воспользовавшись принципом сймметрии, находят все нули и особенности искомой функции, аналитически продолженной на всю йлоскость параметрического переменного. Далее остается построить функцию по нулям и особенностям. При этом следует заметить, что если особые точки — полюсы и нам известны все-'главные части разложений функции в окрестностях полюсов; то построение функции можно провести и не зная ее нулей.
Теорема Лиувилля ~2041 дает уверенность в единственности получейного решения. Легко видеть, что метод особых точек применим, когда стенки, ограничивающие течение жидкости, представляют собой отрезки прямых («полигональные контуры»). В этом случае, как уже отмечено выше (см. ~ 4), границы изменения ж и в будут состоять из прямых. В случае ~полигональных контуров' грани-' цы сЬ~~(о,дг) будут состоять из прямых, соответствующих стенкам'), и дуг окружностей единичного радиуса, на которых ~йо/(о,ф) ~ = 1. Полезно заметить, что С.
А. Чаплыгин выбирал искомые функции с известной свободой; Так, иногда он пользовался функцией в, а иногда йо/(о,Иг). Вместо и С. А..'~Чаплыгин нередко искал только производную и по параметрическому переменному, что оказывалось достаточным для вычнслення~всек геометрических и гидродинамических характеристик. 36ВФ -'~ ~ Нетрудно заметить, что, введя формулы (4.20), (4.21) и (4.22), Н. Е. Жуковский фактически пользовался частным видом метода особых точек.
Прежде чем перейти к конкретному решению задач методом особых точек, полезно перечислить типы особых точек, наиболее часто встречающиеся в теории струй. Фактически мы со всеми этими особенностями уже познакомились в предыдущем параграфе; следует- только подчеркнуть, что в ~большинстве случаев типы особых точек, лежащих на границах, будут одинаковыми для прямолинейных и криволинейных границ областей параметрических переменных. Итак, пусть функция' ы(1) дает отображение области измененйя в на область изменения параметрического переменного 1.
Тогда: 1'; Струе с бесконечным расходом соответствует у функции в® полюс первого или второго порядка (ср. 1' и 2' ~ 4). 1) Так как на прямолинейных стенках аргументы Йи/(оотг) постоянны, стенкам в области изменения Йа((оотг) соответствуют части лучей, выходящих нз начала координат. МЕТОД ОСОБЫХ ТОЧЕК ЧАПЛЫГИНА Таким образом, О„= 2 агс$д д, и мы, вообще говоря, получаем косое обтекание пластинки (см. ~144, 5791) с углом атаки а,=О„.
В случае 0=1 имеем О„=я/2 и обтекание пластинки будет симметрично. При этом рис. 1.12 и 1.13 могут быть заменены рис. 1.1 и 1.4. Положим в (5.1) И=1, что да- ~ ет ') )/й~~р, = 1 = (т' — 1)/(т' + 1), а в (5.2) Йв/(о,дг) =1/~; тогда эти форму- У лы сводятся к формулам (3.3) и (3.4), .У с помощью которых получается решение задачи в виде (3.5). Формула (5.2) для определения Йо/(о, Ж) оказалась довольно простой. В значительной степени мы обязаны у этим выбору в качестве области параметрического переменного не верхней полуплоскости, а квадранта с прямыми углами в граничных точках В и А, соответствующих точкам схода струй.
Так как гра- ница области йи((о,дг) в этих точках тоже образует прямые углы, при отображении не происходит нарушения конформности.. Функции ж и йи/(о,дг) оказались найденными без вычисле- ний. При некотором навыке в нахождении нулей и особенно- р У р стей этих или других подходящих У гидродинамических функций общие решения многих задач могут находиться почти в уме и затем только проверяться на бумаге. В дальнейшем методом особых точек будет решен ряд задач, здесь мы ограничимся еще одним примером.
Рассмотрим задачу об истечении струи из отверстия в стенке (рис. 1.14). Стобразим области изменения в и сЬ/(о,дг) на верх- ний правый квадрант плоскости параметрического переменного ~ (рис. 1.12). Положение трех точек В, С и А на границе мы можем выбрать произвольно. Функция и имеет логарифмические Рис. 1.14. 1) Знак при извлечении корня выбран из того соображении',- что на ВС (рис. 1.2) 3/~о < О.
ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОСУДА С КОСЫМИ СТЕНКАМИ конечности (точка Н). По формуле (6.1) и рис. 2.2 имеем ~= ( †, ~) = !!!'; (6.4) таким образом, й определяет скорость в сосуде на бесконечности. Теперь вычислим геометрические элементы 1, Ь, Ь. Очевидно, у=1и~, откуда, согласно (6.4), (6.5) о 1Р Для вычисления 1 и Ь нужно найти функцию г(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
