М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 8
Текст из файла (страница 8)
3.5. С другой стороны, нельзя полностью и отвергать возможность ее практического применения. В теории крыла, например, известна в определенном смысле реальная схема обтекания тонкого крыла с бесконечной скоростью у передней кромки (см. ~292], ср. с работой ~5201). Приведем общее решение задачи для случая, когда критическая точка С, в которой поток разделяется, не совпадает с вершиной клина Н. Схемы, изображенные на рис. 3.4 и 3.5, отличаются только тем, что на рис. 3.4 0 < 2р < 1,, а на рис.--3.5 1 < 2р, < 2; следовачельно, общее решение этих задач будет выглядеть совершенно одинаково.
Обратимся для определенности к рис. 3.4 и отобразим области изменения з и Йо/(о,Иг)=~ ' на одну и ту же область параметрического переменного и — на нижний единичный полукруг рис. 3.3 — так, чтобы точкам А, С, В соответствовали значения и, равные — 1, О, 1 соответственно. Вершине клина Н теперь уже будет соответствовать не точка и=О, а некоторая точка и=л,. Если критическая точка С расположена на щеке НВ (рис. 3.4), то Й< 0; если бы С находилась на НА, то мы имели бы Ь >О.
Очевидно, что область изменения в будет совершенно такой же, как и в том случае, когда поток разделяется в вершине клина С (рис. 3.1). Поэтому формулы (12.2) и (12.3) сохраняются и в общем случае (рис. 3.4 и 3.5). Зато связь между ~ ' и и не будет уже выражаться формулой (12.1). В точке С функ- $123 ОБТЕКАНИЕ КЛИНА Произведя в интеграле замену переменного и на переменное 1, введенное выше, находим о/2 Р =.
рУо —. 1 ° 2 РЛ~Ра6 О ~уп зо в1п' (2~ —.а) Й = —." . 4з1пз о ' -я/2 +а/2 Отсюда, учитывая, что а= О,=а„с помощью ~12.10) приходим к известной формуле Релея ~579~: р Роо1 2л яп ао ~12.11) 2 4+лв~пао ' При а,=я/2 получаем формулу (3.16) гл. 1 для пластинки, поставленной нормально к потоку. Величина С„=2Р~~ри~Г~= = 2яз1па,/(4+яапа,) называется коэффициентом нормального давления на пластинку. Коэффициенты сопротивления и подъемной силы пластинки получаются умножением С„на 81па, и сояа, со- У ответственно. Для плоской пластинки легко также подсчитать координату х центра давления. До сих пор выбор А Р Ю начапа крординат для нас не был Л существенным.~,В приведенных выше формулах для клина фактически использовалось только условие, что У~ ось х идет вдоль щеки клина СВ, а не то обстоятельство, что начало координат на рис. 3 1, 3 4 и 3 5 выбиралось в вершине клина.
В случае плоской пластинки выберем начало - координат на конце А пластинки (рис. 3.6). Тогда координата центра давления будет выражаться интегра-. лрм Рис. 3.6. (р — р,) г — „„4и. д~ (12.12) Вычисление этого интеграла приводит к формуле ~см., напри- мер, ~208~) х= — (1 „„.„'„) . (12.13) Результаты расчетов коэффициента нормального давления и координаты х центра давления для плоской пластинки (см. ~579, 2081) приведены в таблице 'Ч11. Рассмотрим теперь симметричный клин. Пусть длины щек клина ~рис.
3.1) 1, =СВ и 1, =СА равны между ссбой, а скорость ИГЛ. Ш ТАБЛИЦА Х Клин с углом раствора 90'- (р=1/4) 15о 20о 30' 10' 25' 00 6,926 36,89 14,92 8661 567,2 115,4 0,525 0,1285 0,237 0,329 60о 35' 55о 50' 40' 45о 11!12 3,493 0,1443 1,848 0,5411 0,2863 1,0000 0,606 0,637 0,662 0,7 1102 0,0670 0,0271 О,О~Щ7 0,0017 0,0012 0,713 0,724 0,731 0,741 0,737 ТАБЛИЦА Х1 Клин с углом раствора $35' (р=2Я 10' 40о 30о 20о 50о 67'30' 60о 1863 28,05 1,0000 9,334 3,824 1,748 0,2495 0.,417 0,71 0,758 0,787 00 11/12 0,5719 0,0077 0,0357 0,0005 0,2615 0,1071 0,1705 0,81 0,861 0,868 0,8408 0,831 0,873 0,85 Сп, ОБТЕКАНИЕ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПРЕПЯТСТВИИ ОБТЕКАНИЕ КЛИНА у в1 ТАБЛИЦА Х11 Клин с углом раствора 90'(р=зЯ клина СВ при угле атаки (2я — 2яр) — (л — О,) = я+О,— 2яр равен коэффициенту нормального давления С„, на вторую щеку клина СА при угле скорости в бесконечности О„т.
е. при угле атаки первой щеки я — О, (табл. У ХП и ХШ). Кроме того, И. В. Мещерским был рассчитан определенный по длине щеки 1, коэффициент со- Ю противления клина в набегающем вдоль одной из щек потоке (О,=О). Длина щеки клина СВ, ~~Р параллельной скорости потока в бесконечности, бесконечна (табл. Ю Х1Ч). А Заканчивая рассмотрение задачи о струйном обтекании клина, сделаем еще два замечания. Во-первых, отметим, что можно Рис. 3.7. оБтекАние полигонАльных пРепятствий 88 ЕГЛ.
И1 ТА БЛИЦА Х111 Клин с углом Раствора 135' (р=~Я ТАБЛ ИЦА Х1Ч избежать непосредственного вычисления давления на щеки как симметричного, так и несимметричного клина. Как будет показано ниже ~см. ~ 13), результирующая сил, действующих на препятствие, обтекаемое с отрывом струй неограниченным потоком, выражается через контурные интегралы от аналитических функций. Эти интегралы можно вычислить при помощи вычетов. Во-вторых, хотя настоящая книга посвящена только течениям идеальной жидкости, уместно коснуться вопроса о том, $131 О ЗАМЕНЕ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК ЗАСТОЙНЫМИ ОБЛАСТЯМИ В рассматриваемой задаче за область изменения параметрического переменного естественно прйнять также прямоугольник и затем использовать аппарат двоякопериодических (эллиптических) или родственных им функций.
В литературе для решения таких задач применяются различные функции и различные Рис. 3.11. обозначения. В теоретическом отношении наиболее совершенным является аппарат функций Вейерштрасса (который и использует С. А. Чаплыгин). Альтернативной теории эллиптических функций Якоби свойственны красивые формулы, аналогичные формулам тригонометрии, и во мйогих частных случаях решения в этих функциях оказываются наиболее естественными и компактными. Однако для получения конкретных численных результатов обычно приходится переходить к тэта-функциям, представляемым хорошо сходящимися тригонометрическими рядами. Возможно и практически целесообразно пользоваться только этими функциями.
Действия с ними единообразны и сразу нацелены на получение численных результатов. Ниже мы будем преимущественно применять аппарат тэта-функций, придерживаясь в основном обозначений курса Уиттекера и Ватсона ~359$ Для удобства читателей приведем краткую сводку используемых ниже свойств этих функций ~359, 6061. Не останавливаясь на обоснованиях, которые можно найти в специальных руководствах, определим четыре тэта-функции 6;(и) (~=1, 2, 3, 4) с точностью до постоянных множителей как целые квазипериодические функции комплексного переменного и=$+~т1, которые имеют в каждом параллелограмме; образованном квазипериодами л и хл (1хп т ) О), йо одному нулю $ $33 О ЗАМЕНЕ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК ЗАСТОЙНЫМИ ОБЛАСТЯМИ 95 продолжения в мы при этом получим, что в(и)=в(и+я) = = в (и+ лт).
Таким образом, в (и) является двоякопериодической функцией с полюсами второго порядка в точках и=~т,л~ ~т,яс и нулями второго порядка в точках и=юг/2-~-т,д~ -Ьт,тг, где и, и и,— целые числа. Отсюда следует, что в(и) представляет собой эллиптическую функцию и ее можно представить с помощью д-функций в виде (13.1а): =У '" " ' "+" ) =У 'и) (135а) 61 (и) 61 (и) или в эквивалентном виде (13.1б): ( ~2 Д2 и= — А"' — „„, 1об,(и) = —  — „„, 1пд, (и). (13.56) Формулы (13.4) и (13.5) дают общее решение задачи в параметрической форме.
С помощью этих формул можно вычислить размеры пластинки, размеры застойной области перед пластинкой и силу давления на нее жидкости. Для вычислений удобнее представление (13.5б); тогда г= — — ди= — е-'" — ди= — — е '" — 1пб (и) ди. (13.6) Д~ Д~„1 . Д ) В . ~з Йи ии ~о ии ~о ии Ширина пластинки равна я/2 ~=)п~ [~( — — ) — ~ ( )~ = — ) е '» — 1пб (и) Дц -я/2 Используя приведенные выше выражения (13.3) логарифмических производных 6,(и) в виде рядов, получаем У 2 соз и ~~ ~~ иодзп з1п 2пи диз1061(и)= . 3 — 16„~, 1 оп п=1 и в результате почленного интегрирования находим 1 = — — 1гп В ~о соз и и 2~ — — 1п $д — + — + з1пз и 2 з1пи и2 ~оп ж!2 + 1бе "~ » 11»„(2асов2пи+ (в1п2пи) п=1 Аналогично определяются размеры застойной области.
Обозначая координаты точки А в плоскости г через а и Ь|2, можно ОБТЕКАНИЕ ПОЛИГОНАЛЬНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ ИГЛ. П1 написать -я/2+ят/2 КЬ В гА — — а+ — = —— 2 Ор е '" — „„, 1п Ь, (и) Ии = У вЂ” 3$/2 — — е-' — „„, 1пб,(~) й, О где Р 1П6 (41 16~~~~~ а д Я~п2п~ п=1 После интегрирования и выделения действительной и мнимой частей получаем выражения длины застойной области 32В з~~ пз дп о~ ~ 1 4ар — 1 1 — црп п=1 и ее ширины Ь=— 64В ~гч ( 1)п-1аз уп 44 4дР— 1 1 — д2~ п=1 Заметим, что выражения а и Ь можно было получить непосредственно из интеграла (13.6), однако замена в нем переменного и на 1=и — тс~2 и переход от 6,(и) к 6,(1) упрощают последующие вычисления. Распределение давлений на пластинке дается интегралом Бернулли.
Результирующую этих давлений можно получить путем интегрирования; более „'совершенный и общий способ ее вычисления будет описан в следующем параграфе. С. А. Чаплыгин нашел проекции силы, действующей на пластинку; в наших обозначениях Х=ярорВ, У =О. Выражая коэффициент В через ~ с помощью (13.7), получаем 2 (13.8) 4+я+64 ~~ 4й2 — 1 1 — дйп и=1 При д = О имеем а = О, Ь = О, и мы получаем обычное струйное обтекание пластинки (см. гл. 1, ~ 3). Формула (13.8) превращается при этом в (3.16).
С. А. Чаплыгин в своей работе [3881 не ограничивается решением изложенной частной задачи. Пользуясь общими формулами Н. Е. Жуковского (см. (4.21) и (4,22) гл. 1), С. А. Чаплыгин приходит к следующему выводу: $13) 0 ЗАМЕНЕ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК ЗАСТОИНЫМИ ОБЛАСТЯМИ Рис. 3.14. Рис. 3.13.
Последовательно продолжая мысль С. А. Чаплыгина, следует рассмотреть и обобщение схемы Мизеса (рис. 2.1), в которой критическая точка С заменяется застойной. зоной (рис. 3.14). Для того чтобы показать -разнообразие методов получения общего решения задачи, выберем метод отображения на верхнюю //А 1 Вн ~ ~е Ч~К ~г «~ ~ А Гд' Рис. 3.15. полуплоскость параметрического переменного 1 областей изменения комплексного потенциала и и функции Жуковского Й. Из соображений симметрии возьмем Й в виде Й = Й, + ~Й, =1п — "+ — 1п — ' — ~8 =1п, (13.9) оо 2 ос )/ Нз где о,— скорость на поверхности струй, а ос — скорость на границе застойной зоны (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
