М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Из (6.1) и (6.2) следует, что г(1) = — — Йо=— 1 ~а~ ч Й ~о ~) ~~о ! ! ! — Ь ! — Й-1 ! дФ ! е4 (6.6) Учитывая, что на векторе СВ имеем получить равенство -1 Р =е'""( — 1)1', легко де '"" й 1 1 св= — + поо ( !)Р ! — Й ! — !! 1 О 2~ — 2 соз ~ Р— З сов ~+1 откуда, заменяя — 1 через $, находим') -1 1 СВ ~ (' ~® ~ 1 1 2®+созе тюо,) р ( $+Ь $+Й-' Р+2$ сов(!+ !1 ' О (6.7) Из рис. 2.1 и 2.2 видно, что Ь+!а= ~ (йг/!!!)Ш!, (6.8) (6.9) 1) Можно доказать, что прн О < $ < 1 выражение в квадратнь1х скобках, стоящее под знаком интеграла, положительно, где интеграл берется по любому контуру, соединяющему точки А и В в основном единичном полукруге (рис.,2.2).
В частности, за такой контур можно взять отрезок действительной оси 1 от Я до В с тем только, чтобы полюс подынтегральной функции и, точке, 1=6 был обойден по бесконечно малой полуокружности К с центром в точке и' (рис. 2.2). По существу, нам достаточно найти только действительную часть интеграла, входящего в (6.8), так как мнимая его часть нам известна и, как было отмечено выше (рис.
2.1), равна а=А — 1 з1п яр,. 1гл: и ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОСУДА 54 1 Далее, ив рис. 2.1 и 2.2 видно, что Ке ~ фг~й)й ~совпр, О откуда О Ь=1соанр+Ке ~ (й/И)б$. Но, как нетрудно убедиться прямым вычислением, интеграл по К в пределе, когда радиус окружности стремится к нулю, дает чисто мнимую величину'); поэтому окончательно получаем о 1 ~4 где штрих означает, что интеграл берется в смысле главного значения. Вместо а, 'о, 1., Ь полезно рассматривать безразмерные величины а/Е, Ь!Е, 1/Е; тогда формулы.(6..5); (6;7);. (6;9) и (6.10) сведутся к следующим: 1 1 Ь1й ~ сЯ ~ 1 1 ~2($+соз~) Т л,) ~~ ~$+Ь $+Ь-1 Р+2$ соз ~+1 о (6.11) (6.12) Ь ~ Ь~'а — = — соя лр.— — — — + ЕЬ'л~Р1 — Ь1 — Ь1 О 2 (1 — соз р) Р— 2~ соз ~+1 (6.13) Введем (см. [5561) коэффициенты истечения А, и й~ с помощью следующих формул: ') -Геометрически очевидно (и можно проверить непосредственным вычислением), что величина эта будет равна Ю.
. (6.14) Так' как д(о, представляет собой ширину б струйки'в бесконечности, коэффициенты Й~ и Й,- равны- отношениям о к проекциям 'о и а.'отверстия на -прямые, параллельные стенкам сосуда- и перпендикулярные им соответственно. - -- :--:-Очевидно, коэффициенты Й, и. Й~ можно подсчитать при помощи формул (6.11) — (6;13). В том случае,-когда р.=р/д; где р и д~~ р — целые положительные числа, интегралы, входящие Йстечейие из сОсудА [ГЛ. 11 ТАБЛИИА 111 р 1/ Йа Йа 1'а Для насадки Борда из (6.1) .и (6.2) получаются следующие формулы: Й~ ~е ~1~ (9.2) (9.3) Согласно (9.2), в бесконечности, в точке С (Ю=О), скорость течения равна нулю.
В случае, рассмотренном Гельмгольцем (рис. 2.7), бесконечно удаленные точки С и Н (рис. 2.8) сливаются. При этом в (9.2) и (9.3) следует положить Ь=О. Формула (9.2) остается без изменения, а (9.3) принимает очень простой вид: йа д 1+1 й я ~(1 — 1) (9.3а) В случае насадки Борда формула (9.1) дает для ~/Ь бесконечно большое значение, так что (6.12) и (6.14) приводят к неопределенным выражениям для а/Ь и Й„и для определения Й, удобнее обратиться сразу к формулам (9.2) и (9.3). Из этих формул получаем (9.4) Так как д=о„,А, из (6.4) или (9.2) следует, что Ч ~~~ у ~о ~о Таким образо1и, (9.6) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,746 0,747 0,747 0,748 0,749 0,752 0,'758 0,765 0,789 0,829 0,746 0,749 0,759 0,767 0,785 0,812 0,851 0,906 1,015 1,242 0,611 0,612 0,616 0,622 0,633 0,644 0,662 0,687 0,722 0,781 0,611 0,613 0,621 0,633 0,653 0,681 0,721 0,783 0,885 1,097 0,53? 0,546 , 0,555 0;569 ' 0,580 0,599 0,620 0,652 0,698 0,761 0,537 0,547 0,558 0;578 0,597 0,628 0,668 0',710 0,841 1,048 0,500' 0,513 0,528 0,544 .
0,564 0,586 0,613 0,646 0,691 0,760 0,500 0,514 .0,531 0,551 0,578 0,613 0,659 0,724 0,820 1,041 сос~д с воронкооврлзным дном и нлслдкл вордл 63 Как мы сейчас увидим, с помощью формулы (9.6), вопрос определения й, даже не через параметр Ь, а прямо через. а/Ь решается чрезвычайно просто. На рис. 2.8 видно, что расстояние между внутренней стенкой ВС и наружной НС равно Ь вЂ” а. С другой стороны, расстояние ато равно 1т ~ оа; где интеграл можно взять по бесконечно малой полуокружности с центром в точке С (рис.
2.2). Интегрирование должно проводиться по движению часовой стрелки, так как 'при этом мы переходим от внутренней стенки к наружной. При переходе к пределу в разностях 1 — Ь, Ь ' — 1, 1 — 1 можно сразу положить 1 = О; тогда из (9.6) получим ЬЬ Х.— а=1т— 1 — — „— Ь+2 или после вычисления док) й — и очевидных алгебраических выкла- Ь' — 2Ь+ а/Ь = О. (9.7) Решая это уравнение и учитывая, что Ь < 1, получаем Ь = 1 — ~ 1 — а~1. 19.81 Так как имеем б о,~ — = — =Ь Ь 00 Поэтому коэффициент сжатия струи составляет О б Ь Ь й = — = — — =Ь— а= а,5 а а и, согласно (9.8), 1 — $~ ~ — а/е й,— (9.9) или й,= (9.10) 1+ У1 — а/Ь Из (9.10) следует, что при а/Е =0 (случай Гельмгольца) коэф-. фициент сжатия равен '/,.
Определение коэффициента сжатия струи из насадки Борда принадлежит к тем замечательным задачам теории струй, которые могут быть решены без использования конформных отображений, а только с помощью теорем количества движения и энергии и условия постоянства расхода в струе. ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ' СОСУДА ~гл.
и Рн Ро= у (Фо — ~н). Рс Ро= ~ (~е — ~с). Рассмотрим теперь жидкость, заключенную в какой-нибудь момент времени между стенками НС, СВ, С'В', Н'С', свободными поверхностями ВА, В'А и бесконечно удаленными сечениями НН', СС, С'С', АА. Через бесконечно малый промежуток времени бТ рассматриваемый объем жидкости займет новое положение, а именно сечение НН' переместится на онбТ, сечения СС и С'С' переместятся на осбТ и сечение АА переместится на ообТ-(рис. 2.8). Так как движение является установившимся, проекция количества движения рассматр иваемого объема жидкости на ~горизонтальную ось получит приращение ( — рЧ рн+рЧсос+рЧр,) бТ, где Ч„' и Ч,— расходы через сечения НН' и АА, а 'Чс — расход через оба сечения СС и С'С'.
Это приращение количества движения происходит, очевидно, за счет разности давлений на поверхности струй ВА, В'А и в сечениях НН', СС, С'С', АА. Приравнивая импульс горизонтальных проекций сил давления приращению количества движения жидкого объема, получаем Р бТ (ЧоОо + Час Чн™н) =ГРн~~- Рс2 (~ — а) — Ро2а,1 бТ или Р (Чо~о+ Чсос — ЧнОн) =(Рн — Ро) 2~. (Рс Ро) 2 (~- а) (9.12) Далее, из рис. 2.8 легко видеть, что Чн он Чс ( а) се Чо а~~о (9.13) где й,— коэффициент сжатия струи. С учетом (9.11) и (9.13) формула (9.12) преобразуется к виду 2й,ао' — Еоцн+ (1.— а) ос~ — оома = О.
(9.14) Для отношения расходов Чн и Ч, получим Чн й= — = —, 9о ~аиро Изложим элементарное решение несколько более общей задачи 11671. Найдем течение, вызванное разностями давпений в бесконечно удаленных сечениях НН.', СС, С'С' и АА (рис. 2.8). Обозначим давления и скорости- в этих сечениях через. Р„„рс, Р„=Р, и о~, ос, о,а — — оо. Таким абРазом„в бесконечности.
спРава (сечения СС и С'С') скорость, в отличие от только что рассмотренного случая, уже не обязательно будет равняться нулю. При помощи интеграла Бернулли разности давлений в указанных сечениях можно выразить через скорости и плотность жидкости р: У 1О3 БОКОВОЕ ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ КАНАЛА 65 откуда пйдаио О,~= Ь (9.15) Так как расход через сечение НН' равен сумме расходов через сечения СС, С'С' и АА, имеем Чс=Чн Ч0~ откуда (см. (9.13)) (Š— а) ос — — й,ао, (и — 1). (9.16) Приведем теперь (9.14) к безразмерному виду, используя равенства (9.15) и (9.16): 21~а з~~ ( а '12+ Ь~(а!1-9(п — 1)~ а или 1 2 —,— — — А=О, ~а (9.17) где А а 1 — 2п+п2а~~ Ь 1 — а/Ь Уравнение (9.17) является квадратным уравнением для обратной величины коэффициента й, > О. Из (9.17) находим ,-'=1+ ~Г1+ А.
(9.18) Рассмотренный выше случай Мизеса, когда ос = О, получается, согласно (9.16), при а=1. Формула (9.18) при этом переходит в (9.10). Если скорость ос в сечениях СС и С'С' (рис. 2.8) направлена справа налево, то, очевидно, имеем о <0 и и <. 1.
ф 10. Боковое истечение из канала 3 м. и. Гуревич В предыдущем параграфе была рассмотрена задача истечения из насадки Борда, расположенной между двумя стенками (рис. 2.8). Для этого мы удалили точки А и С в бесконечность (рис. 2.1) и положили р,=1. Если положить р,=1 и удалить в бесконечность точку С, но.не удалять в бесконечность точку А, то получится течение, схема которого изображена на рис. 2.9. Общее решение задачи будет при этом даваться формулами (6.1) и (6.2) при р=1. Однако при этом в бесконечности в точке С скорость будет равняться нулю (см. рис.
2.1 и формулу (6.1)). В действительности возможно решить практически важную задачу более общего типа, состоящую в отыскании течения из игл. и - истечение из сО~:удА отверстия между стенками, но такого, при котором критическая точка (т. е. точка, в которой скорость равна нулю) расположена не в С, а в произвольной точке на одной из стенок, например в В (рис. 2.10). Очевидно, что скорость в точке С не равна нулю и может У быть, вообще говоря, как положительной, так и отрицательной, а точка В может находиться на любой из стенок. Для определенности рассмотрим случай, когда скорости в точках Н и С положительны, а точка .О лежит на стенке ВС. Полученные формулы будут пригодны и для остальных случаев, только входящие в них постоянные будут меняться в других пределах, которые легко установить.
Задачей этой занимались И. М. Коновалов 11681, В. Н. Талиев ~328~ и ряд других авторов. Любопытно отметить, что набросок общего Рис. 2.10. решения этой задачи (без численных подсчетов) был обнаружен в черновиках Н. Е. Жуковского. Здесь мы используем работы ~168 и ~3281. ° ° риступим к решению задачи. Легко видеть, что областью изменения Йв/(о, дг) является верхний полукруг единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 2.11). Действительно, на струе АЕВ имеем ~йо/(о,дг) ~=1. Если струя в бесконечности (точка Е) образует с осью х угол — Р, то в этой тсщке сЬ/(о, дг) =е'Р. В точке 0 имеем Йо/(о, Й,) = О.
На стенках 1т(йо/(о,дг))=О. При этом на В0 имеем йо/(о,дг) <О, а на БОКОВОБ Истеченйе из КАКАЛА $101 осталвных частях стенок, т. е. на ВС, НС и НА, имеем сЫ/(о,дг) > О. Тогда, положив йо/(о, Ж) = ~, (10.1) Рис. 2.11 При д=о эта формула превращается в (6.2). В формулу (10.2), по сравнению с формулой (6.2), входят две новые постоянные О~ и с. Эти две постоянные нельзя выбирать совершенно произвольно, так как они связаны между собой одним дополнительным условием, выводом которого мы сейчас и займемся. Если мы рассмотрим линии тока на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
