М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Выше была отмечена специфическая трудность, встречающаяся при исследовании течений со свободными поверхностями и состоящая в том, что граничную задачу приходится решать для области сложной и неизвестной формы. Оказывается, что в случае плоских течений эту трудность можно преодолеть весьма эффективным и изящным способом. Здесь неоценимую помощь оказывает теория функций комплексного переменного и,- в часгности, применение метода конформных отображений; метод киРхгоФА Подведем некоторые итоги. Везде, за исключением четырех последних глав, будут приняты следующие предположения.
, Жидкость невесома, идеальна, несжимаема. Капиллярных сил нет. Вихри отсутствуют. Течеиие установившееся. Задача плоская. Отсюда следует, что течение полностью определено, если известен потенциал скоростей, являющийся действительной частью комплексного потенциала э(г) =в(х+~у), где х и у — декартовы координаты в плоскости течения. На стенках тел, ограничивающих течение, нормальная составляющая скорости равна нулю. На каждой свободной поверхности модуль скорости постоянен. Чтобы избежать трудностей восприятия, связанных с абстрактным способом изложения, основные методы теории плоских струйных течений будут показаны на некоторых простейших примерах. ф 3.
Метод КирхгоФа -Первая задача по теории струй была решена Гельмгольцем ~503~. Кирхгоф существенно развил и обобщил метод Гельмгольца (см. 15211, $144~). Рассмотрим плоскую пластинку, обтекаемую с отрывом струй безвихревым потоком невесомой идеальной несжимаемой жидкости (рис. 1.1). На поверхностях своруй А.О и В0 модуль скорости равен модулю скорости набегающего потока о,.
Зона постоянного давления за пластинкой простирается в бесконечность. Пластинка перпендикуляриа к направлению скорости набегающего потока. Вместо того, чтобы искать комплексный потенциал а = ср+ г ф как функцию комплексного переменного г=х+~у, можно искать функцию ~о д„— — ~(Ф). (3.1) Если функция ~(и) найдена, то одним интегрированием можно найти и функцию г(в). Действительно, г = — — йо= — ~йо. сода 1 (3.2) ~о ~ ~о Обращая функцию г(и), можно, вообще говоря, найти в(г). Однако, как это будет видно в конце параграфа, обращение функции г(з) является операцией излишней и к тому же практически очень трудной.
Итак, обратимся к нахождению ~(э). Геометрический смысл функции ~(Ф) состоит в том, что она дает конформное отображение,области изменения в на область изменения ~.- Найдем эти области. введенйе В теоРию стРуя плОских тичений Комплексный потенциал определяется с точностью до аддити вной постоянной вида с = с, + ~с,. Мы всегда можем выбрать действительную постоянную с, таким образом, чтобы ср равнялся нулю в критической точке С на пластинке (рис. 1.1). Действительную постоянную с, можно выбрать так, чтобы разветвляю-. щаяся линия тока 0СВ0 и 0СА0 представляла собой линию ф=О. Тем самым будет только принято, что расход жидкости ф отсчитывается от этой линии. Так как вдоль линии ф=О имеем Йр=одз (см. ~ 1) и так как скорость о>О стремится в бесконечности к конечной величине о„то очевидно, что вдоль 0С значение ср меняется от — оо до нуля, а вдоль СВ0 и вдоль СА0 — от нуля до +оо.
Так как ф представляет собой расход жидкости, то при движении по эквипотенциальным линиям ~р=сооз1 от линии тока ф=О влево и вправо до бесконечности, где о=о, (рис. 1.1), величина ф монотонно меняется от нуля до — оо и от нуля до +со соответственно. Каждой точке области течения г будет соответствовать в плоскости э одна точка с координатами ~, ф. С другой стороны, каждой ~очке плоскости э, за исключением точек положительной действительной полуоси, будет соответствовать одна точка области течения г.
Каждой точке действительной полуоси ф=О, ср > О в области течения будут соответствовать две точки: одна на СВ0, другая на СА0, так как и на той и на другой ветви ф = О, а О ~ ср < оо. Если теперь разрезать плоскость а вдоль действительной положительной полуоси и сопоставить верхнему берегу разреза ветвь СА0, а нижнему— ветвь СВ0, то соответствие между областями изменения в и г станет взаимно однозначным.
Вследствие симметрии течения точкам А и В будет соответствовать одно и то же значение '~=%о ° Итак, областью изменения в является вся плоскость с разрезом вдоль действительной положительной полуоси, причем разрез соответствует границе течения (рис. 1.2). Рис. 1.2. Рассмотрим теперь функцию ~=о,дг/Йо=о,е'8/о, где 8 — угол скорости с осью х (см. ~ 1, (1.7)).
Вдоль СВ угол О=О, о,~о меняется от бесконечности в точке С до 1 в точке В. Отрезку СВ пластинки соответствует в плоскости ~ часть действительной Метой киРхГОФА 1. На АС, т. е. при О~в~~(р„имеем агаев=О, агд(ср,— в)=О, [в~=в, ~ср,— в~=ср,— в.
Таким образом, (3.6) полностью совпадает с (3.5). Вдоль верхнего берега разреза АС функция (', действительна и изменяется от — оо (при в='0) до — 1 (при в=ср,). Скорость о при этом меняется от нуля до о,. 2. Рассмотрим в малой окрестности точки А разность ср„— в.
Эта разность представляет собой вектор, начало которого помещено в точке Н, а конец — в точке А. На АС разность ср,' — в действительна и положительна. После обхода точки А по часовой стрелке по бесконечно малой полуокружности аргумент разности ~р,— в уменьшается на я и делается равным — я. С другой стороны, на А0 мы имеем ~щ,— в~=в — ~р,. Наконец, при переходе через точку А аргумент в не меняется. Отсюда формула (3.6) дает на А0 1= — УъФ +~Й(и — ч,)/ (з 7) Из этой формулы легко видеть, что при движении в вдоль верхнего берега разреза А0 вектор ~ движется по четверти А0 окружности 1(',~=1 (рис.
1.3). Действительно, на А0 ~~'~=( — ) ~~в)'+) — р,~и=). При этом, когда в=~р„имеем ~= — 1, а когда в=оо, имеем (условие Я ~ = 1 с физической точки зрения, очевидно, означает, что абсолютная величина скорости равна постоянному значению о,). 3. При обходе точки С против часовой стрелки по окружности бесконечно малого радиуса, т.
е. при переходе на СВ, аргумент вектора в, имеющего начало в точке С и конец в точке К (рис. 1.2), увеличивается на 2л. Аргумент (~р,— в)/в при этом меняется так же, как аргумент ~р,— в, т. е. уменьшается на 2я. Поэтому формула (3.6) дает на СВ 1 = )ГАВ,/~+ ~"(р,— в) /в; (3.8) отсюда очевидно, что при изменении в от нуля до ~р, величина ~ действительна и уменьшается от оо до 1, что соответствует рис. 1.3. ' 4. Анализ поведения функции ~ в окрестности точки В ничем существенным не отличается от анализа ее поведения в области точки А. На В0 имеем ~ср,— в~=в — ср„агд((р,— в) =л, ~в!=в, агав= — 2я и формула (3.6) дает 1=) Ч ~Ф+ ()Г(и — р )~и, откуда, в соответствии с рис. 1.3, на В0 справедливо равенство ~ ( ~ ' = ~р„/в+ 1 — ~р,/в = 1, т. е.
выполняется граничное условие ~йи/дг ~ =о,. МЕТОД ЖУКОВСКОГО $41 зз Ж вЂ”,+С,. а(1) =С, Постоянные С, и С, выберем из следующего соображения: в точке А имеем а(1) =юи. Отсюда и, вычисляя интеграл, получаем в (8) = С, ( — агсяп (1/Е)+ л/2) +дЕ, (4.6) Из рис. 1.6 и 1.7 видно, что в точке В в( — 1) =О. Ко тогда (4.6) дает для С, значение — ~.
Отсюда имеем а(1) =~ агсяп(1/1)+ ж/2. (4.7) Пользуясь известными формулами, связывающими логарифмическую функцию с обратными тригонометрическими функпиями ~см. $~94~), формулу (4.7) можно представить в другом виде: ' .г а (Е) = 1п (~1 — ЧР ~ ьЯ + лКу2. (4.8) Тождественность (4.7) и (4.8) можно легко проверить и прямым дифференцированием. При 1, действительном и меньшем по модулю единицы, а(1) удобнее всего представить в виде 1п +, +ж при 0< 1.-=:1, 1+ У"~ — ~ и(1) = (4.9) , )и + ' при — 1(~ (О. Из (4.9) и (4.1) следует, что ~ Йо 3Г1 — ~в — 1 ~)е 41~ (4.10) ~1- И+1' 2 м. и.
Гуревич Шварца можно произвольно располагать тремя параметрами, задавая, например, наперед 1„1, и 1,; это согласуется с тем обстоятельством, что конформное отображение будет вполне определено при задании трех контурных точек (см., например, ~204, 268~). Вернемся к решаемой задаче. Углы треугольника при вершинах А', В, С соответственно равны л/2,, я~2, О. Пользуясь, отмеченным произволом выбора трех граничных точек, предположим, что для 1 в вершинах треугольника имеются следующие значения: ~А — — 1, 1В = — 1, ~с = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
