М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 11
Текст из файла (страница 11)
4.6) будет отличаться от области изменения а для клина (рис. 4.4) тем, что линии АС и ВС будут кривыми. Пусть касательная к кривой АС в плоскости в образует с осью О угол — я ('1 — Р). При этом — 1дл(1 — $3) = 1ип ~~ ' . Область' изменения и представляет собой плоскость с разрезом вдоль действительной положительной полуоси ф = 0 и ничем не отличается от области изменения и в задаче об обтекании плоской пластинки (рис. 1.2).
При обходе точки А по бесконечно малой'йолуокружности против часовой стрелки аргумент ж — эА увеличивается на я (рис. 1.2). Соответствующий обход в плоскости а увеличивает аргумент в — ОА только на юф. Поэтому 1 а — О„=О( — „)Р. Иными словами, асимптотическое выражение для в(в) в окрестности точки А имеет вид ® ОА ~ (Ф вЂ” ®,4) 1 (17. 5) принимает постоянные значения я (2р.— ч) и — лм соответственно, а 1тв=1п(о~о,) меняется от 0 в точках А и В до — оо в точке С. На струях В.0 и АО 1тв=0, а угол О вдоль ВОА монотонно возрастает от — ям до я (2р,— ~). При движении вдоль САОВС область течения на рис.
4.3 лежит слева. Отсюда следует, что области течения жидкости на рис. 4.4 соответствует внутренность полуполосы, которая тоже лежит слева при обходе контура САВВС. Рассмотрим теперь обтекание криволинейной выпуклой дуги (рис. 4.5).
Предположим, что обтекание это таково, что скорость Р ЬВтекАМЙе кРиВОлинййных пРепй'гстВЙЙ игл. й Рис. 4.9 1) В примечании на стр. 21 по поводу положения точек отрыва на круГором цилиндре имелись в виду течения, удовлетворяющие этому условию. этом имеет вид, изображенный на рис.
4.8, б. С геометрической точки зрения обтекание окружности по схеме рис. 4.8, а возможно независимо от того, конечны или бесконечны кривизны струй в точках А и В, так как кривизны при переходе через эти точки меняют знак, а свободные поверхности не пересекают окружности. ЧаА Ю стным случаем течения, изо- браженного на рис. 4.8, а, У является такое обтекание У .у окружности, п ри котором а~ точки Е и Н уходит в бес- конечность и струи всюду 1п —" вогнуты по отношению к Ц~ о жидкости (рис. 4.9). Б риллуэн 14391 привел ряд соображений в пользу выбора такого типа обтека- Ю ния, при котором всюду на контуре о~о,. Это условие называется первым условием Бриллуэна ').
Вторым усло- С р Ю вием Бриллуэна называется требование того, чтобы граРис. 4.8. ницы струй не пересекались и не пересекали обтекаемого препятствия. Бриллуэн в той же работе указал примеры геометрически противоречивых решений, при которых его второе условие не соблюдается. Однако в главе о кавитации мы увидим, ' каким образом, отсекая пересекающиеся части области течения, можно использовать некоторые решения, в которых второе условие Бриллуэна не соблюдается. Легко доказать, что ес'- ли первое условие Бриллуэна соблюдается на поверхностях струй и на контуре, то оно соблюдается всюду внутри жидкости.
Действительно, так как 1п (о/о,) есть гармоническая функция переменных х и у, ее максимум достигается только на границе области. Но при соблюдении первого условия Бриллуэна на контуре и на поверхностях струй 1гЛ. В ОБтйкАЙЙе кРиВО.Ы')нейных ЙРе1тятстВий Задача будет решена, если мы подберем с, +„о, и а'так, чтобы удовлетворялись условия (17.6) и (17.7) и чтобы всюду на контуре ВСА выполнялось условие ~х, ! =1Я, (17.13) где Я вЂ” радиус круга. Для этого йам достаточно добиться того, чтобы удовлетворялось условие конечности кривизны в точке В (17.7), а условие (17.13) удовлетворялось при О~о~я~2. Тогда, в силу симметрии решения, условие конечности кривизны в точке А (17.6) и условие постоянства кривизны (17.13) при л/2~~а» я удовлетворяются автоматически. Из (16.6), учитывая значения постоянных, имеем 2 + З1П (Л/4+ а/2) ' (17.14) Теперь основное уравнение (17.13) с учетом (17.14), (17.9) (при о,=.я/2), (17.8) и (17.12) преобразуется к виду пвв!п(п)4 — а/2) ~ (2т+1) с„„+, в1п(2т+1) и 1 т=О Я а' ып (а/4+ о'/2) яп 2о х ехр ~ с,„+,в!п(2т+1)а .
(17.15) т=О Условие конечности кривизны струи в точке В (17.7) прини- мает вид т=О или Оп ~ (2т+1)с, +,— — 1. т=О (17.16) После того как вычислены все коэффициенты, нетрудно найти сопротивление цилиндра Х и положение точек отрыва потока. Подъемная сила У', очевидно, равна нулю. Из общей формулы (16.22) после дифференцирования (17.10) и (17.11) получаем О ЯРа2 2 О ПОа2 Х= 'В~ в' (0) = — '' ( — 2+с,)'. (17.17) Коэффициент а' в формуле.(17.17) можно выразить через Я и коэффициенты разложения й. Из (17.15) при ст=О имеем и =р„2~'~( + ) вишь+1 О (1?.18) ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА Рис.
4.12 обтекании цилиндра идеальной жидкостью с надлежащим углом отрыва. 1 ;: Кроме задачи- о круговом цилиндре, тем же методом была решена и задача об эллиптическом цилиндре ~4401. Численные результаты приведены в таблице ХИ1. .Зфсь (ряс'. 4.11) Ь/а — отношение вертикальной полуоси-Ь эллипса к горизонтальной полуоси а; С„(я+4)/2л —,отношение сопротивления эллипса к сопротивлению плоской пла- . У стинки той же,ширины 2Ь. Угол 2у = я — 20, равен углу ' л / между прямыми; перпенди- ~ 1 кулярными к касательным, ~7 ~ 1 проведенным в точках, отры- / ва струй.
С работой Бродецкого тесно связана по методу работа Розенхеда ~5851. Розен- Рис. 4.11. хед рассчитал силы, действующие на круговые дужки, обращенные к потоку как выпуклой '(2у <О), так и вогнутой сторонами (2у>0), где 2у — центральный угол дужки ВА (рис. 4.12). В точках А и В отрыва струй кривизны струй бесконечны, но это обстоятельство не ведет к геоМетрически недопустимым решениям, так как дужки бесконечно тонки и точки А и В являются их концами. Силы давления на эле- У ментарные части круговой дужки / нормальны к ним и, следовательно, Ю /. Йроходят через центр окружно"ти, частью которой является дужка.
Через этот центр, являющийся нача- у у .- Ю лом декартовой системы координат, - 1 проходит и. результирующая сила у давления, проекции, которой на оси Х координат обозначаются через Х и К. Скорость в бесконечности направлена параллельно оси х. Наименьший по абсолютной величине угол между хордой дужки ВА и осью х обозначается через а, (рис. 4.12).
Цифровые. данные, приведенные в таблице ХЧИ1, заимствованы из работы1585~. Обозначения Розенхеда изменены в соответствии с нашими. В частности, Розенхед относит коэффициенты сопротивления .и подъемной силы к произведению длины 1 хорды АВ, плотности р и квадрата скорости о, и, таким образом, коэффициенты Розенхеда равны Х/(р1о'„) = С„~2 и У/(р~о'„) = С„~2 — половинам 5 М. И. Гуревич 130 1гл.
и ОБТЕКАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ ТАБЛИЦА ХУ111 Сд/2 Су/2 МВ/ВА Сх/2 Су/2 МВ/ВА а, ае соответствующих коэффициентов сопротивления и подъемной силы в обозначениях, принятых в нашей литературе. Углы 2у и я, даны в таблице в градусах и минутах. Точка приложения результирующей силы Р (с проекциями Х и У') определяется с помощью отношения МВ/ВА (рис. 4.12).
Значения М0/ВА также приведены в таблице. ф 18. Интегро-дифференциальные уравнения Вилла и Некрасова. Вопросы разрешимости Одной из важнейших и математически наиболее интересной частью теории струй являются исследования вопросов существования и единственности решений. К сожалению, работы, посвященные этим вопросам, так сложны и громоздки, что в настоящем параграфе мы вынуждены ограничиться кратким обзором, который завершится простейшим примером.
Рассмотрим симметричное обтекание с отрывом струй криволинейной дуги ВСА, которая, в отличие от случая, исследованного в ~ 16, не имеет угловых точек; направление касательной меняется непрерывно вдоль ВСА. Начало координат расположено в точке С разветвления потока, ось у совпадает с касательной к контуру в точке С (рис. 4.13). Из рассуждений ~ 16 видно, что задача о струйном обтекании дуги ВСА будет решена, если известна функция Жуков- ского а (~) = ~ 1п ~йо/(о, Иг)~ = О+1 1п (о/о,) = О+ и;. — 10' — 20' — 30' — 30' 10' 20' 20' 20' 20' 20' 20' Зоо 40о 40' 12'55' 24'47' 35'19' 50'19' 5о00' 10'00' 27'ОО' ЗО'00' 50'00' 70'00' 90'00' 15'00' 20'00' 30'00' 0,0280 0,0883 0,1523 0,2633 0,0085 0,0320 0,1377 0,1599 0,3055 0,4082 0,4522 0,0667 О,'1101 0,1789 0,0995 0,1532 0,1661 0,1860 0,1142 0,2031 0,2869 0,2924 0,2653 0,1527 0 0,2702 0,3197 0,3253 0,2778 0,2564 0,2357 0,1447 0,0682 0,0519 0,0668 0,0660 0,0479 0,0247 0 0,0369 0,0240 0,0288 40О 40о 40' 60' 60' 60о 60' 60о 90' 90о 90о 90' 90О 40'00' 60'00' 90'00' 30'00' 40ооо/ 50'00' 70000/ 90'00' 45000/ 50'00' 60'00' 75'00' 90ооо/ 0,2523 0,3791 0,4645 0,2019 0,2742 0,3398 0,4370 0,4719 0,3357 0,3636 0,4113 0,4632 0.479? 0,3132 0,2256 О 0,3521 0,3310 0,2892 0,1613 0 0,3191 0,2920 0,2292 0,1207 0 О, 0276 0,0184 0 0,0028 0,0055 0,0060 0,0038 0 — О, 0126 — 0,0112 — 0,0076 — 0,0035 0 $183 УРАВНЕНИЯ ВИЛЛА И НЕКРАСОВА Используя введенные операторы, краевую задачу (18.8), (18.9) для неизвестной функции Й(~) можно свести к операторному уравнению ч=А~, (18.15) где ч= Х'(о), А~= уе(о) х (Уч) е-1~', у=2а'/(о,1) (1 — длина дуги ВСА), х=х,1, е (а) = з1п о (1+ з1п о), 0 ~~ о' ~» я/2.
Если в качестве неизвестной функции выбрать з(о), то для составления уравнения необходимо найти связь между функциями р(а) и я(а) на участке ВСА. Используя формулу Шварца (16.3), получаем н'и а Х (а~) Й~о л соз а,— соз а о Как известно, =о соз а(1 — соз а О На основании этого предыдущую формулу можно записать в виде ( ) =""'Г~~'~"~~ ~('('~>Ж =Р (1816) я,1 соз ао — соз а О ~2 р(а) = — х,(8)в1п((1+в!пК)е-~<'>!п ~ ~ 1 й, (18:18) ~ОО О где О(о') связано с р(а) соотношением О+ — ", = х(а) = — '~р(~) о которое также выводится из (16.3).
так как, согласно (18.13), О=А(о) -Е я/2. С помощью введенного оператора Р из соотношения (16.10) получим уравнение для определения неизвестной функции я (а): о' з (о) = — е (а,) е-Р'( ) сЬ,. ' (18.17) ОО Я~2 Уравнение (18.17) было впервые получено Вилла ~620~. Исключая с помощью (18.8) Х'(о) из (18.11), получаем уравнение Некрасова ~2431: л/2 134 ОБТЕКАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ [ГЛ. 1Ч Уравнения Вилла, Некрасова и различные их модификации явились основой значительного количества работ, посвященных вопросам нахождения точных решений задач теории струй или доказательствам существования таких решений.
В исследованиях разрешимости плоских струйных задач идеальной невесомой жидкости ') можно выделить следующие главные направления: а) конструктивные теоремы, дающие способ построения решения методом последовательных приближений (А. И. Некрасов ~243~); б) «метод непрерывности», согласно которому обтекание заданного криволинейного препятствия или истечение струи из криволинейного канала заменяется обтеканием полигонального препятствия (канала); доказывается существование и единственность решения, а затем совершается непрерывный переход к заданному препятствию (каналу) (Вайнштейн ~635, 6361); в) неконструктивные теоремы о разрешимости задач, доказанные методами функционального анализа; в этих случаях построение решений не исследуется (Лере ~534~); г) вариационные методы доказательства теорем об однозначной разрешимости (М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
