М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 15
Текст из файла (страница 15)
КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ~гл. у где о,— величина скорости жидкости на свободных поверхностях, ограничивающих каверну. Воспользовавшись интегралом Бернулли, число кавитации можно записать так: С = о',/о'„— 1. (21.4) Кроме условия (21.3) используем также (за исключением специально оговариваемых случаев) физически оправданное геометрическое условие дг=О, (21.5) выражающее возможность охватить в плоскости течения препятствие и каверну непрерывной замкнутой кривой Ь на одном листе этой плоскости').
') В условии (21.5) подразумевается интегрирование по замкнутому контуру в плоскости параметрического переменного и вокруг точки и=и„= =и~~, не являющейся точкой разветвления. Влияние сил тяжести и поверхностного натяжения во многих практически важных случаях сказывается главным образом на форме каверны (рис. 5.1, а); влияние же их на силы взаимодействия тела и жидкости незначительно. Последнее объясняется такжетем обстоятельством, что присоединенная естественная кавитация практически осуществляется при столь больших скоростях и соответственно столь больших значениях чисел Фруда и Вебера, что силами тяжести и поверхностного натяжения обычно можно пренебречь.
Теоретические методы учета сил тяжести и поверхностного натяжения описываются в главе ХП. Теперь мы фактически ответили на все вопросы, поставленные в связи с критикой теории струй (см. ~ 15). Резюмируем сказанное. Существуют реальные режимы обтекания тел несжимаемой жидкостью, соответствующие основным предпосылкам теории струй; в частности, таким режимом является режим присоединенной кавитации.
В этом случае свободные поверхности каверны вблизи тел не размываются и теория струй должна давать достаточно хорошо согласующиеся с экспериментом значения нормальных давлений жидкости на обтекаемые тела. Ниже будут изложены основы теории кавитационного обтекания препятствий и результаты решения ряда задач. Как и до сих пор, в настоящей главе мы будем рассматривать только плоские установившиеся потенциальные течения невесомой несжимаемой жидкости. Динамические условия (21.1) в этом случае эквивалентны первому условию Бриллуэна (~439~; см.
также [36~): о=о, на границе каверны, 0~0, В ЖИДКОСТИ, 157 яВление кАВитАции. постАновкА зАдАчи Покажем, что условия (21.3) и (21.5) вместе с обычными кинематическими условиями на твердой поверхности достаточны для однозначного построения некоторой математической модели кавитационного течения идеальной жидкости 13351. Ф Рассмотрим обтекание препятствия с развитой кавитацией; Следуя работе ~3371, будем считать течение в целом безотрывным обтеканием некоторого тела, состоящего из препятствия и ка- Ф верны.
Поэтому в общем слу- в чае комплексный потенциал а=ср+гф в физической плоско- Г А сти г=х+~у будет многозначным с точкой разветвления в бесконечно удаленной точке г= оо. Для выделения однозначной ветви функции в(г) достаточно в плоскости г вдоль разветвляющейся линии тока сделать разрез, соединяющий бесконечно удаленную точку О с критической точкой А. Тогда областью изменения в будет плоскость с полубесконечным горизонтальным разрезом (рис.
5.2). Вез' огра-' ничения общности можно считать, что «точке замыкайия» каверны в плоскости в отвечает вершина разреза в= О; При этом критической точке на твердой поверхности будут соответСтвовать сдвинутые на расстояние Г точки разреза А+ и А . Параметр Г равен неизвестной заранее величине циркуляции скорости вдоль контура Ь, охватывающего каверну и препятствие, и может быть определен только после нахождения общего решения задачи.
При помощи динамического условия (21.3) на границе кавернь1 (о = о,) и кинематического условия на твердой поверхности (о„=О) задачу об определении стационарного потенциального течения можно свести к смешанной краевой задаче для функции в=1п(йо/дг) в плоскости комплексного потенциала со следующими граничными условиями: Ке О =1ОО~ на границе каверны '~~, (21 6) 1гп в = — Р (~р) на твердой поверхности у„ где Р(~р) — угол наклона вектора скорости на твердой поверхности. Решение краевой задачи (21.6) в классе ограниченных в точке С(в=О) функций при выполнении второго условия (21.3) приводит к незамкнутой каверне с полубесконечным криволинейным следом. Границами следа являются конгруэнтные линии тока ф=О').
Для выполнения условия замкнутости (21.5) необходимо расширить класс рассматриваемых функций и исследовать решение в(и) с особенностями в точке в=О. Вид особен- 1) Подробнее такое течение будет рассмотрено в ~ 23 (см. рис. 5.26). 158 ~гл. ч КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ности однозначно определяется динамическими условиями (21.3).
Теорема. Второе условие (21.3) допускает для функции а(в) в «точке замыкания» каверны единственно возможную особенность вида Ип1 — = О, 11в аг~ — = сопз1 ( оо, Ив Йй~ ц +0 "~ р +0 ~=0 р=о (21.8) Й~ 11а агд — = ~ оо. -0 р=~о я ф) гс.~ — Ья) /2 (21.7) где действительный параметр Ь> О. При этом у многозначной функции 1/в выбирается та ветвь, которая на действительной полуоси (~р ~ 0) принимает положительное значение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В соответствии со вторым динамическим условием (21.3) Кеа 1по„т. е. ограничена в круге бесконечно малого радиуса с центром в точке в=О. В силу первого гранияного условия (21.6) при этом областью изменения функции а может быть только внешность левого полукруга бесконечно большого радиуса. Тогда справедливо соотношение (21.7), и теорема доказана.
3 а м е ч а н и е 1. При доказательстве теоремы рассматривалась лишь малая окрестность точки в = О; поэтому второе условие (21.3) можно несколько ослабить, потребовав его выпол-. нения только в соответствующей области течения. Замечание 2. Теорема справедлива также в случае частичной кавитации, когда каверна «замыкается» на твердую поверхность.
При этом линия тока ф=О в окрестности точки в=0 отвечает в физической плоскости г границе каверны и некоторому участку поверхности твердого тела. Заметим, что обтекание с особенностью вида (21.7) в качестве одной из возможных кавитационных схем предложил Тулин ~6171. При этом предполагалось, что Г=О, и условие (21.5), вообще говоря, не выполнялось.
В последующих работах Ларока и Стрита ~530 — 5321, в которых применялась схема Тулина, также существенно использовалось условие отсутствия циркуляции. Течения с особенностью (21.7) в точке разрыва модуля скорости на границе течения рассматривал также Лайтхилл ~207, 5411. Решение краевой задачи (21.6) в классе функций с особенностью (21.7) содержит один действительный параметр Ь, надлежащий выбор которого позволяет удовлетворить условию замкнутости (21.5). Таким образом все необходимые условия оказываются выполненными.
Нетрудно установить, что 159 КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ $ 223 Первое из этих равенств аналогично условию в точке схода потока при безотрывном обтекании препятствия, но, в отличие от безотрывного об1екания, границы каверны не замыкаются (парадокс Бриллуэна), а, в соответствии с третьим равенством, образуют две быстросходящиеся спирали с полюсами С+ и С-.
Линия тока ф(х, у)=ф,=О при ~р > О представляет собой некоторую бесконечную кривую. Линии тока в окрестности задней части каверны схематически изображе- ф~=Ю ны на рис. 5.3. Р Найденное здесь стационарное кавитационное течение в области замыкания бесконечнолистно, в то время как в действительности возможно лишь однолист- Р ное течение.
В этом проявляется упоминавшийся выше парадокс Рис, 5.3. Бриллуэна. В заключение отметим, что в случае обтекания криволинейного контура у, точки отрыва струй и функция Р(~р) заранее неизвестны и могут быть найдены обычными методами теории струй. Примеры расчета кавитационных течений в описанной постановке будут приведены в следующих параграфах. ф 22. Кавитационное обтекание пластинки 1. Обтекание пластинки с развитой кавитацией. Пусть пластинка ОВ образует угол а с направлением набегающего потока и обтекается в режиме развитой кавитации. Область течения в физической плоскости г = х+ ~у и оси координат показаны на -- "--- Ь рис.
5.4. Точки С+ и С свобод- ~'у,- с ных границ являются полюсами,' ~е/ спиралей, которые в соответствии д~ р+\ со сказанным в конце предыду- у'Ф щего параграфа, образуются в А С,' конце незамкнутой каверны. Точка С разветвляющейся линии тока ф(х,у) =О удалена в бесконечность. Точкам С, С+ и С в плоскости комплексного потенциала и=у+ сф поставим в соответствие одну точку С, вершину полубесконечного разреза (рис. 5.2).
Тогда критической точке А будут соответствовать две точки, а именно точки А+ и А-, лежащие на разных берегах 160 [гл. ч КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ разреза и сдвинутые одна относительно другой на величину Г циркуляции скорости вдоль замкнутой линии Ь: (р(А ) — (р(А+) =Г~=О. - (22.1) Берегам разреза .0А+ и 0А в физической -плоскости отвечает полубесконечная разветвляющаяся линия тока ВА. Перейдем к определению функции а (ж) = 1п (Йо/Иг); которая в плоскости з всюду вне разреза ОС регулярна, а на разрезе удовлетворяет следующим граничным условиям: Б'.еа=1по, на ВСО, 1гпв=а на А О, (22.2) 1тв=а — я на А+В. На берегах разреза ВА+ и ОА функция а(в) удовлетворяет условию а+ (~) =а (Ч'+Г), (22.3) (22.4) Для решения краевой задачи (22.2) — (22.4) удобно отобразить область изменения в на первый квадрант вспомогательной плоскости и = $+ и1 (рис.
5.5) - таким образом, чтобы берегам разреза ОСВ 'отвечала вертикальная полуось ф а берегам разреза А+В и А Π— 'горизон; тальная полуось $. Берегам разреза ОА+ и 0А- в этом случае. будут соответствовать берега некоторой кри;.'вой, соединяющей точки А и О. Соответствие точек можно установить. по рис. 5.2, 5.4 и 5.5. Вместо отображающей функции в (ц) Рис.
5.5. рассмотрим ее производную Йо/ди. Нетрудно показать, что функция Йо/ди имеет простые нуливточках 0(и=О), А (и=а) и С(и=~) и полюс второго порядка во внутренней точке В-(и = и ). Кроме того, она принимает чисто мнимые значения на вертикальной оси и чисто действительные значения на горизонтальной оси. Поэтому Йо/Ии можно продолжить, согласно принципу симметрии, на всю плоскостъ и. Тогда в точках А'(и= — а) и С'(и= — ~) она будет иметь -простые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
