М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 16
Текст из файла (страница 16)
нули, а в - точках- 0'-(и = и„), 0'(и = — и„) -й где индексы «плюс» и «минус» означают, что берутся предельные значения функции при подходе к действительной оси сверху или снизу. Кроме того, в точке в= О, в соответствии с теоремой ~ 21, функция в имеет особенность И Г6- '/'. $223 КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ 0"' (и = — и„) — полюсы второго порядка. Следовательно, функция (и' — й )~(ий — и )' йи и (и~+1) (и' — аа) ди откуда в (и) = ~ ~ (и) Йи. (22.6) Однако для полного расчета всех характеристик течения достаточно знать только выражение (22.5) для Йа/ди и определить функцию а (и) = 10 (Йв/Иг). Во вспомогательной плоскости и функция а(и) аналитична всюду внутри первого квадранта; на осях координат она удовлетворяет граничным условиям (22.2). Кроме того, особенность (22.4) порождает для функции в(и) простой полюс в точке и = ~.
Поскольку на вертикальной оси Ке а = сопят, функцию в (и) можно продолжить по принципу симметрии на всю верхнюю полуплоскость, и мы приходим к задаче Шварца для мероморфной функции в верхней полуплоскости: 1гпа=а — л в интервалах ( — оо, — а), (а, оо), 1гпа=я в интервале ( — а, а), а (и — 1) (22.7) Легко проверить, что всем этим условиям удовлетворяет функция ') и — а В В а= 1п — +К+ .+ и+а и — ~ 'и+~ (22.8) Ж+Я$.
Действительная постоянная К и комплексный параметр В могут быть определены из условия симметрии в(и)+а( — и) = 21по,. Подставляя сюда функцию (22.8), получаем равенство 1) Формально эту функцию определяет обобщенный оператор Шварца 1631 (см. также работу 1334а1).
6 М. И. Гуревич ограничена всюду в плоскости и, в соответствии с теоремой Лиувилля, должна быть постоянной. Обозначив эту постоянную- через У, получим ив Л,, и (и'+ 1) (и' — а') (22.5) (и~ — из )2 (и2 — и~„)~ Ъ кАВитАционное ОБтекАние плАстинки и сводится к двум уравнениям: Ь с2 — (Й вЂ” 1)2 с~ — ф+1)2 ~ 2 (а+с) 1с'+(Л вЂ” 1) 12+ ~с +(а+1)2]') +(а+с) +д 1 1 ~ 1 + с2-1-(д — 1)2 +с2-~-ф-~-1)2) с 2сЬ 0+1 '~ 2д ~с2 ~ (д 1)"-1~ + 1с2-~-(д-~-1)21' /+(а+с)'+сР + ~+1 — 1 — 0 + 2 ~ (Д 1)2 + 2+(Д+1)2 Д Из условия (22.12) получаются еще два уравнения: (22.14) (22.15) д — 1 ~+1 д сй ~ (1 1)2 + сй+(~1+ 1)~ + агс$д +с + м~~~',— — а = О, (22.16) 1 1 с~ ~ (И 1)~+сй ~ (1 ~ ~)2 + (напомним, что О=о',/о'„— 1 — число кавитации).
Равенства (22.14) — (22.17) составляют замкнутую систему уравнений относительно неизвестных а, Ь, с и д. Таким образом, кавитационное обтекание пластины при выполнении условия (21.5) однозначно определяется физическими параметрами аиО. Систему уравнений (22.14) — (22.17) можно решить только численно. Однако при некоторых ограничениях, накладываемых на угол атаки а и число кавитации О, можно найти приближенное аналитическое решение. Из (22.16) и (22.1?) видно, что малым значениям а и О отвечают большие значения параметра а и маль.е значения ~Ь ~.
Сохраняя в уравнениях (22.14) — (22.17) первые степени малых параметров а ' и Ь, нетрудно найти приближенные формулы, справедливые при малых значениях а и О: а= — 1/~~ 4+х' — 2, у= — — )Г~Г4-~-х' — 2, (22.18) с = — )/ ~/ 4+ х' — 2, И = — ~Г~/ 4-~- к' -~- 2, где х = О~а. Значительные упрощения получаются в симметричном случае, когда пластинка перпендикулярна вектору скорости набегающего потока (а=90'). В этом случае течение в параметрической КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ области симметрично относительно окружности единичного радиуса, т. е.
точки и=а и и=и„лежат на этой окружности. Полагая в уравнениях (22.14) — (22.17) а=1, сР=1 — с', приходим к системе двух уравнений относительно параметров Ь и с: с'+Ь (1 — с') =О, 2Ь 1 (1+ О) (1 — с) (22.19) с 1+с Численное решение этой системы не представляет большого труда. При малых числах кавитации О из (22.19) получаются асимптотические разложения по степеням О: Я2 4 4 8 +''' 0~ Оз (22.20) Ь= — — + — +... 16 16 Асимптотические формулы (22.18), (22.20) или решения (22.19) можно использовать для вычисления нулевого приближения при численном решении общей системы уравнений (22.14) — (22.17). Интегрируя (22.10) вдоль мнимой оси, можем получить размеры каверны.
Параметрические уравнения границ каверны записываются так: Ч Ч х (Ч) = — д (т) сов О (~) й:, у (Ч) = — д (т) з1п 8 (т) сЫ, (22.21) Ф У о о где ~(1 — )(а2+ ) ~(т2+с2 — сР) ~+4с~~Р1 2 ' Т 2Ьс О (с) =2 агс1д — — а— (22.22) х(е) = — А созр, у(е) = — А ыпр, Оо ~о (22.23) Изменение параметра т1 в интервале (О, 1) соответствует нижней границе каверны ОС-, а в интервале (1, оо) — верхней границе ВС+ (см.
рис. 5.4). Из (22.22) следует, что при Ч вЂ” 1 Ч=О (о ~ 0) аргумент О(т1) — -~- оо, в то время как ~(т~) — О, т. е. границы каверны, как отмечалось выше, образуют две спирали. Для того чтобы найти асимптотическое уравнение спирали, например спирали ОС, и координаты х, у- ее полюса С, в формулах (22.21) целесообразно положить и =1 — е 'и перейти к новой системе координат х+ ~у, начало которой совпадает с полюсом С . При малых значениях 8 (е ««1) для координат точек спирали ОС получаются асимптотические формулы 168 ~гл. ч КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ТА Б Л ИЦА ХХ1 Значения коэффициента нормального давления С„(С1, и) 30~ 20 60~ 90~ ТАБЛИЦА ХХП Значения коэффициента момента С (О, а) 90' 30~ 60~ 20о 15о теории ~4911. Из второй формулы с точностью до членов порядка СР следует известная приближенная формула (см.
~34, 4021): С„(О) =, (1+ О) = С„(0) ((+ О). (22.30а) 2. Обтекание пластинки с частичной кавитацией. При частичной кавитации размеры присоединенной каверны малы по сравнению с характерной длиной обтекаемого тела. На рис. 5.7 схематически изображена картина течения в физической плоскости г=х+1у. Точка С является полюсом спирали, которую образует свободная граница каверны. Задняя кромка пластинки, как и в случае безотрывного обтекания, является точкой 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,1281 0,1689 0,2531 0,3616 0,4828 0,6107 0,7419 0,8747 1,0080 1,1411 1,2736 0,0417 0,0753 0,0923 0,1402 0,1961 0,2569 0,3206 0,3860 0,4523 0,5191 0,5859 0,2400 0,2767 0,3368 0,4156 0,5083 0,6113 0,7215 0,8370 0,9562 1,0781 1,2017 0,0810 0,0946 0,1185 0,1513 0,1915 0,2375 0,2880 0,3422 0,3990 0,4580 0,5186 0,3379 0,3791 0,4346 0,5028 0,5817 0,6695 0,7645 0,8652 0,9707 1, 07~9 1,1922 О, 1181 0,1333 0,1551 0,1830 0,2163 0,2544 0,2966 0,3423 0,391! 0,4423 0,4958 0,4235 0,4707 0,5274 0,5929 0,6663 0,746? 0,8330 0,9245 1,0204 1,1200 1,2229 0,1529 0,1706 0,1828 0,2195 0,2502 0,2847 0,3225 0,3633 0,4067 0,4526 0,5006 0,5639 0,6228 0,6864 0,7546 0,8273 0,9040 0,9844 1,0681 1,1550 1,2446 1,3368 0,2162 0,2392 0,2647 0,2928 0,3233 0,3561 0,3911 0,4281 0,4669 0,5076 0,5498 0,8096 0,8911 0,9734 1,0566 1,1407 1,2257 1,3114 1,3980 1,4853 1,5732 1,6619 0,3596 0,3959 0,4329 0,4705 0.5087 0,5476 0,5871 0,6271 0,6677 0,7089 0,7505 0,8798 0,9679 1,0564 1,1451 1,2341 1,3234 1,4130 1,5029 1,5929 1,6833 1,7738 0,4399 0,4840 0,5282 0,5726 0,6171 0,6617 0,7065 0,7514 0,7965 0,8416 0,8869 кАВитАцИОнное ОвхекАние ЙЯАс'гинки схода потока.
Область изменения комплексного потенциала в можно снова рассматривать как плоскость с полубесконечным Рис. 5.7. Рис. 5.8. разрезом; вершина разреза О соответствует задней кромке пластинки (рис. 5.8). На берегах разреза функция а (ж) =1о(йо/дг) удовлетворяет следующим граничным условиям: Ке,а =1оо, на ВС, 1гпа =~ на СОА 1гпа =а — л на А+В, (22.31) а+ (~р) = а- (~р+ Г) на ВА+ и .0А а .~ щ-1/2 в точке С. Отображая область изменения ы по-прежнему на первый квадрант плоскости и (соответствие точек можно установить по рис. 5.7, 5.8 и 5.9) и продолжая функцию а (и) = а (и (и)) через вертикальную прямую Ке а = =1ооа=сооз1 на всю верхнюю полу- плоскость, приходим к задаче Шварца для мероморфной функции: Рис. 5.9.
1та=а — л в интервалах ( — оо, — а), (а, оо), 1та=я в интервале ( — а, а), а и-' в точке С (и=О). При помощи обобщенного оператора Шварца (см. 163, 334а1) не- трудно найти функцию, удовлетворяющую граничным условиям (22.32): а = 1о 0 — + — — л1+си а~ (22.33) (Ь вЂ” произвольный действительный параметр).
170 игл. м кАВитАционное ОБтекАние тел Производную от комплексного потенциала йи~ди легко построить по особенностям и нулям (аналогично функции (22.5)): „!и, и (и2 — 1) (и2 — а2) аи (и — и')'(и — и )'' (22.34) Зависимость г (и) по-прежнему находится интегрированием в соответствующих пределах соотношения (22.10).
Для определения пяти неизвестных постоянных У, а, о и и„= с+ И, входящих в функции (22.33) и (22.34), используем те же условия, что и при развитой кавитации: одно равенство, определяющее длину пластинки: (22.35) два равенства, получающиеся из условия (22.12) для скорости набегающего потока: и два равенства, вытекающие из условия (22.13) однозначности функции г(и) в точке и=и„: Ь (с2 — д~) с+ ! с — 1 "+' ' =0 2238 (с'+сР)~ + (с+1)2+ср + (с — !)2+ 1(' + (с+а)'+й' с 2Ьс 1 1 — — — 0 22 39 (с2+Р)2+(с+1)2+(12+ (с — 1)2+(;Р+(с !-а)2+~Р сР Таким образом, и при частичной кавитации решение полностью определяется длиной пластинки 1, углом атаки сс, числом кави- тации О и условием однозначности (22.13). Приведем парамет- рические уравнения границы каверны: !/ч 1/Ч х(т11= — ~ д(т) совО(т) с(с, у(!11= — ~ д(с) в1пО(т) с(с; (2240) У Ж О О здесь (22.41) (22.42) ! ~Ч ~ 1 (1 — Р) (1+а1)2 Ю [! — 2 (св — У) ~2+(сй+сР)2~412 ' о сЬ ! (с — а1' -!- с' ! „~„,+ —,1п,,-„, '„',+, 1и(1+С)=0, Ы Ы а с~+ с'Р +агс$д — + агс1д — а=0, а+с а — с с (! + ~)2 (! 1 а2~2) 11+ 2 (с2 — ~Р) т2+ (с2+ !(Р)2 т412 ' О (т) = Ьт+ 2 агс1д (1/(ат)) — сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
