М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Уравнение (25.5) позволяет определить один параметр; будем условно считать, что этим параметром является Й. Еще один параметр (например, с) можно определить, задаваясь числом кавитации О = (о„~о,)з — 1. Для этого следует найти из (25.2) отношение о„/о,. Положив в (25.2) ~=~с, получим о (с — Ь) (1 — Ьс) (1 — с) Азс' Азсз оз (с+ Ь) (1+ Ьс)(1+ с) ехр — А,с — — — — —... ) . (25.6) 3 5 Конечно, величину с определять из (25.6) было бы слишком трудным, и поэтому следует, зацаваясьс, определять с помощью (25.6) отношение о„/о, и затем число кавитации О. Теперь нам остается найти коэффициенты А„А„А„... Воспользуемся для этого методом Бродецкого. Положим приближенно, что коэффициенты А, +„начиная с некоторого номера, равны нулю, а для определения отличных от нуля коэффициентов приравняем кривизну в соответствующем количестве отдельных произвольно выбранных точек контура величине — 1Я.
Кроме того, к этим условиям следует присоединить неоднократно уже обсуждавшееся условие, состоящее в том, что кривизна струи в точке ее схода с цилиндра должна быть конечной и равной кривизне цилиндра. Для получения этого условия вычислим кривизну свободной поверхности. Легко видеть, что д Ив 1 1 Ь Ь 1 1 дР— 1и — = . — —.+ + — — — +— 00 аг 1 — и 1+и Ь1 — $ Ь1+$ 1 — $ 1+1 4 Но вдоль свободной поверхности ~ — действительная величина, так что кАВитАционное ОБтекАние ТЙА Кроме того, йа рис. 5.39 нанесены экспериментальные точки, собранные и частично полученные Д. А.
Эфросом при,числах кавитации О < 1,5, когда можно предполагать, что обтекание происходило с отрывом струй. Этот рисунок свидетельствует о применимости схемы с возвратной струйкой для цилиндра и о малой точности для этого случая формулы Бетца. Задачу о кавитационном обтекании цилиндра можно решать также, используя схему Рябушинского. Результаты расчетов сопротивления и угла отрыва хорошо согласуются с приведенными выше результатами расчетов по схеме Д. А. Эфроса. Таблица ХХ1Х заимствована из монографии Биркгофа и Сарантонелло ~361. 214 ~гл.
'ч КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ найти производную комплексного потенциала сЬ ~ (~4 — 1) (~~+с2)2 (с~~~+1)~ ' где У вЂ” действительная постоянная. Переходя к определению функции а (~) =1п(йю~дг), устанавливаем, что при обходе критической точки ~ = ~ по бесконечно / ,! Я ~-~с д Ю Рис. 5.43. малой полуокружности мнимая часть функции а(Я) получает приращение ги, т. е.
имеет в точке ~=~ логарифмическую особенность. В силу принципа симметрии при продолжении через диаметр ВСА в симметричной точке ~= — ~ функция а(~) имеет также логарифмическую особенность с коэффициентом при логарифме, равным — 1. Следовательно, функция Й(~) =а(~) — 1п ~ аналитична всюду внутри круга, за исключением точки ~=0, где, в соответствии с теоремой ~ 21, она имеет простой полюс. Поэтому ее можно представить рядом Лорана: 0) Й(~) =='+А, + ~~', А„~".
(25.23) и=1 На. диаметре ВСА имеем Кей($) =Кеа($) =1по„где о,— величина скорости на границе каверны, откуда следует, что Ке А, = =1по„йе А,= Ке А„=О. Кроме того, на мнимойоси 1тй(тр) = =1п~а(тр)=0, т. е, все коэффициенты с четными индексами 218 ~гл. ч КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ кавитации (С1 -: 0). В этой схеме на конце каверны течение имеет точку возврата, а сопротивление Х=О. Г=Уу о,~- ~ ~Рис. 5.44. Д2 Рис.
5.45. На рис. 5.44 — 5.48 и в таблицах ХХХ и ХХХ1'представлены результаты численных расчетов, выполненных Н. А. Гладковой. Кривые на рис. 5.44 — 5.46 рассчитаны с сохранением 9 коэффициентов а,„+, ~а=О, ..., 8), в таблицах сохранены 18 коэффи- И' Ю Ю' Н0' ~И' ~ 20' 7 Ю' Ю' Ю' Од Рис. 5.46. КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ТАБ ЛИЦА ХХХ Первое решение Второе решение 71 (в град.) 7я (в град.) ТАБЛИЦА ХХХ1 р (в град.) р (в град.) 124,21 131,83 136,52 140,62 144,47 148,25 Π— 0,1 — 0,2 — 0,3 — 0,4 — 0,5 152,09 156,14 160,64 166,15 180,00 — 0,6 — 0,7 — 0,8 — 0,9 — 1,0 1,05 0,77 0,53 0,31 О 6,45 3,69 2,54 1,86 1,40 циентов а,„+, (п = О, ..., 17).
Это вызвано тем, что с увеличением угла отрыва у абсолютные значения коэффициентов ~а,„+,~ убывают медленнее, т. е. влияние числа сохраняемых коэффициентов возрастает. Погрешность расчета характеризуется небольшим несоответствием между численными данными таблицы ХХХ и кривыми на рис. 5.44 — 5.46. Кинематическое условие (25.32) удовлетворялось в отдельных точках б„дуги окружности АО. Система нелинейных уравнений решалась численно методом Ньютона с корректирующим множителем ~46~. На рис. 5.44 — 5.46 для различных чисел кавитации О представлены кривые зависимости коэффициента сопротивления С„, относительной длины 1Я и ширины ЬЯ каверны от угла отрыва у.
Штриховая линия на рис. 5.44 отвечает двулистному течению 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 0,4986 0,5493 0,6015 0,6553 0,7107 О,?677 ' 0,8261 0,8861 0,9476 1,0106 1,0751 1,1411 1,2085 1,2773 1,3475 1,4192 55,04 55,13 55,37 55,73 56,18 56,70 57,28 57,92 58,61 59,34 60,11 60,91 61,74 62,61 63,51 64,44 278,49 75,54 36,15 21,76 14,83 10,92 8,47 6,82 5,65 4,79 4,12 3,60 3,18 2,84 2,56 6,92 3,76 2,71 2,19 1,88 1,67 1,53 1,42 1,34 1,28 1,23 1,19 1,15 1,12 1,11 0,3457 0,3981 0,4529 0,5098 0,5688 0,6299 0,6929 .
0,7578 0,8245 0,8929 0,9630 1,0347 1,1080 1,1829 1,2593 1,3372 !52,45 150,97 149,53 148,13 146,76 146,41 144,08 142,77 141,47 150,18 138,90 137,62 136,34 135,06 133,78 132,49 0,029 0,033 0,037 0,041 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,076 0,082 0,088 0,094 0,101 0,108 Егл. ч КАВИТ'АЦИОнное ОВ'геКАние тйл в схеме Кирхгофа О=О и у>у =124,2. (Подобное течение было изображено на рис. 4.15.) На рис.
5.44 видно, что зависимость С„(у) имеет два максимума и минимум при некоторых значениях угла отрыва. Это позволяет сделать вывод, что путем создания искусственной каверны с углом отрыва между максимумами С„можно снизить сопротивление цилиндра. Как и следовало ожидать, значения у, и у„при которых С„(у) принимает максимальное значение, с точностью расчета совпадают с теми значениями угла отрыва, при которых происходит гладкий отрыв свободной границы, т.
е. выполняется условие Бриллуэна (25.31). В таблице ХХХ представлены результаты численных расчетов для кавитационного' обтекания цилиндра при выполнении У У -ю,г Рис. 5.47. этого условия. Для фиксированного числа кавитации получаются два решения и, следовательно, два значения коэффициента Рис. 5.48. сопротивления С,„и С,„, отвечающие двум различным точкам отрыва у, и у, '). Форма каверны для различных значений угла отрыва при О=0,5 показана на рис.
5.47'). 1) Дополнительные расчеты показали, что при О=Оо - -3,2 получается единственное решение у1 —— Уд — — 96', С„= 2,8. При О > Оо решения, удовлетворяющего условию Бриллуэна, не существует. 2) Как было указано выше (см. примечание настр. 165), расстояние между предельными точками (полюсами) С+ и С- на рис. 5.43 просто находится применением теоремы об изменении количества движения. На рис. 5.4? точке С " соответствует ордината у+/Й = С„/(1+ О) — з1п у. линейнАя теОРия кАвитАционнОго ОБтекАния $261 В таблице ХХХ1 представлены значения угла отрыва у и относительной длины каверны 1/й при обтекании цилиндра по схеме Чаплыгина — Кольшера (О ~ О, С„= О). На рис.
5.48 изображены свободные границы каверны для трех значений О. Аналогичные расчеты были проведены Саусвеллом и Вайси [6021 (см. также монографию Бэтчелора 1421, рис. 6.13.4, б на стр. 618).~ ф 26. Линейная теория кавитационного обтекания сходятся во всех точках первого квадранта, за исключением некоторой окрестности точек и =1 и и = оо, которым в физической плоскости соответствуют малые окрестности передней кромки В ~ 22 были получены из общих формул нелинейной задачи - асимптотические формулы, которые справедливы при малых значениях числа кавитации О и угла атаки а. Здесь мы укажем асимптотические методы, основанные на линеаризации кинематических и динамических условий и позволяющие непосредственно найти течение около тонкого профиля.
Основы линейной теории струй были заложены еще в 30-х годах в работах Л. И. Седова ~288~, Н. Е. Кочина 1187~, М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева 11411 при исследовании глиссирования слабоискривленных дуг и движения тонкого профиля под свободной поверхностью. Первую задачу, относящуюся к кавитационному обтеканию тонких симметричных профилей, исследовал в 1953 г. Тулин ~615~. В последующих его работах ~616 — 6181, а также в работах Акоста 14201, Герста [488 — 492), А. Н.
Иванова [1301, А. Н. Панченкова [2661, В. М. Ивченко 174, 1331, И. И. Ефремова ~1181 и др. линейная теория получила существенное развитие и нашла широкое практическое приложение. Изложение метода линеаризации, основанное на взаимосвязи с нелинейной теорией струй, дано в статьях [334а, 4881. Кроме упомянутых здесь работ, существует обширная литература, посвященная решению конкретных задач кавитационного обтекания тонких профилей (см. обзор ~941). Переходя к изложению метода линеаризации кавитационных задач, обратимся сначала к формулам (22.18). Из этих формул видно, что малым я и О отвечают малые значения параметров Ь и в=1/а.
Поэтому линеаризацию можно проводить как по а и О, так и по Ь и е или другим эквивалентным малым параметрам е„. При помощи соотношений (22.5), (22.9) и (22.10) можно установить, что при обтекании пластинки степенные ряды и(и; е„) =и(и; О)+~е„в„(и)-)-,Я еееи „(и)+..., (26.1) Л й,Л г(и; е,)=г(и; О)+~е„т„(и)+~ е„е,и„„(и)+..., (26.2) Л й,Л ~гл. ч КАВИТАЦИОННОЕ.ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ пластинки и хвостовой части каверны. Нетрудно убедиться, что функция г(и; О) конформно отображает плоскость с разрезом на первый квадрант плоскости и. Для дальнейшего целесообразно ввести следующие обозначения:- а (и; е„) =в (и), г(и; е„) =г, г (и; О) = г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
