М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 24
Текст из файла (страница 24)
$32) ЯВЛЕНИЕ ГЛИССИРОВАНИЯ. ГЛИССИРУЮЩАЯ ПЛАСТИНКА 273 В настоящей книге будут рассмотрены только вопросы применения теории струй идеальной невесомой жидкости к решению плоских нелинейных задач о глиссирующих контурах, движущихся с постоянной скоростью, или ~что равносильно) об обтекании неподвижных глиссирующих контуров установившимся потоком.. Рис. 7.1. Простейшая задача такого рода — задача о плоской глиссиоующей пластинке — уже рассматривалась в ~ 4 главы 1.
Сейчас мы дадим другое, более полное и удобное решение этой задачи, используя работы 183, 627~. Схема обтекания глиссирующей пластинки изображена на рис. 7.1, а. Заметим, что задача о глиссировании является типичной задачей теории струй, для которой следовало ожидать хорошего согласования теории с экспериментом, так как свободные поверхности струй представляют собой неразмываемые границы между водой и почти в восемьсот раз менее плотным воздухом.
И действительно, после поправок на влияние явлвнин глиссиРовАния. глисси~уюшАя пллстинкл 275 Формулы (32.1) и (32.3) дают общее решение задачи, полученное в СССР С. А. Чаплыгиным' ) при участии М. И. Гуревича и А. Р. Янпольского ~1001 и в Германии Вагнером ~6271. Если обозначить через а угол скорости в бесконечности с осью х, равный углу установки пластинки, то из (32.1) находим Ь вЂ” с Е 'а А+с ' или Ь = с1д (и/2). (32.4) В принятой постановке задачи, когда жидкость считается невесомой, смоченная длина пластинки, естественно, будет бесконечной. В действительности из-за влияния силы тяжести и трения струи о пластинку смоченная длина будет конечной. Вагнер предложил условно определять смоченную длину 1 как расстояние от задней кромки В до точки пересечения Р пластинки с нормальной к ней касательной ЕР к свободной поверхности (рис.
7.1, а). В качестве некоторого оправдания этого способа можно указать на то обстоятельство, что для представляющих наибольший практический интерес малых углов атаки струйка тонка и давление на омываемую ею область мало по сравнению с давлением на участок ВР. Определим теперь 1. Из (32.1) и (32.3) следует, что Ду ш 2Ь4д цд ~' 1+цй г= — — ди= — — . да= сЬ Ии жоо и — ~ и(и~ — Ь~)' Ь~+ 2~и — 1 1 и' — Ь~ ~ и — Ь вЂ” -р — — + — !и — !и— Ь (и~ — Ьа) Ь4 и~ Ьз и+Ь (32.5) Из формулы (32.1) следует, что точке Е в плоскости и соответствует значение и=1.
Поэтому из (32.5) и (32.4) получаем 1=РВ= Ке~г(+оо) — г(1)~= с$д' — + я с1д — + 1п с1д' — — 1 2 2 2 (32.6) ~) С. А. Чаплыгин говорил, что идея применения теории струй для решения задачи о глиссирующей пластинке была высказана Л. А. Люстерником в 1931 г. Этим же годом датируются и черновики решения С. А. Чаплыгина. Для малых я получаем 1 т 4ф(яо,а'). Нормальную силу Р, действующую на глиссирующую пластинку, можно получить, рассматривая рис.
7.2, на котором показана схема обтекания глиссирующей пластинки потоком конечной глубины. Пусть глубина жидкости в бесконечности перед пластинкой равна у,+о, где б=фо,— толщина струйки, а в бесконечности 276 ГЛИССИРУЮЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПОДВОДНЫЕ КРЫЛЬЯ 1ГЛ. Ч11 за пластинкой равна у,. Применим теорему об изменении количества движения к объему жидкости, ограниченному дном, свободной поверхностью, пластинкой и бесконечно удаленными сечениями НН и ВО. В проекции на направление набегающего потока эта теорема дает — Р з1п и = — ро,д (1+сов а).
(32.7) Последняя формула верна для жидкости с произвольной глубиной и, в частности, для бесконечно глубокой жидкости. Из (32.6) Рис. 7.2. и (32.7) легко найти коэффициент действующей на пластинку нормальной силы Р: С =— ~ц',~ с1д (а/2) + д+ 1д (а/2) 1п [с1д' (а/2) — 11 (32.8) При а, стремящемся к нулю, для С„получается асимптотическая формула С„яа, т. е. при малых углах атаки нормальная сила, действующая на глиссирующую пластинку, равна половине нормальной силы, действующей на плоское крыло. Н.
Калинин 1137~ подсчитал момент М относительно задней кромки гидродинамической силы Р, действующей на всю пла,стинку ВА. Для отношения М/(Р1)=1, им получена формула 1+1/2 соз а+2 (1 — соз а) 1п 2+(к/2) з1п а 32 9) Т (1 — соз а)1п [2 соз а/(1 — соз а))+1+ соз а+я з1п а При я, стремящемся к нулю, отношение 1,Д стремится к '/„ как и в случае плоского крыла при малом угле атаки. Результаты расчетов Н. Калинина приведены в таблице ХХХГЧ. Давление в любой точке течения легко рассчитать при помощи интеграла Вернулли. Интересно отметить, что для довольно большого интервала углов атаки распределение давлений на участке от задней кромки глиссирующей пластинки до крити- ф з21 Явление глисси1 овАния.
глисси1 Ую1цАя плАстинКА 277 ТА БЛИЦА ХХХ!Ч 4о/Е 0,652 0,671 0,723 0,824 1,058 0,686 0,676 0,664 0,654 20 25 30 35 40 0,649 0,639 0,636 0,63З 0,644 45 50 60 70 80 10 12 15 18 0,750 0,728 0,715 0,703 ческой точки С мало отличается от распределения давлений на соответствующем участке нижней части плоского крыла (см. монографию Л. И. Седова ~292), гл. И1, ~ 3, рис. 7.19). Распределения давлений в области передней кромки крыла и глиссирующей пластинки существенно различны в первую очередь потому, что у передней кромки крыла имеется подсасывающая сила. Посмотрим теперь, какие параметры определяют реальное движение глиссера.
Всегда можно нагрузить глиссер произвольным (в определенных пределах) образом и тем самым принудительно задать величину и точку приложения гидродинамической подъемной силы. При известной плотности жидкости р и заданной частоте вращения винта скорость глиссера о„его положение относительно невозмущенного уровня воды, величина смоченной поверхности и вся картина течения воды будут полностью определены. Таким образом, если исходить из условий реальной физической задачи, то в рассмотренном случае плоской глиссирующей пластинки бесконечного размаха можно произвольно задавать четыре величины: р, о„Р и 1,. При этом из уравнений (32.8) и (32.9) можно определить 1 и а, из (32.4) и (32.6) определяются л, и о, и тогда уравнения (32.3) и (32.1) полностью определяют все движение жидкости. Таким образом, описанная выше постановка задачи с точки зрения количества параметров соответствует реальности.
Однако в целом ряде первых работ по глиссированию (см., например, работы ~83, 100, 137, 500)) рассматривалась другая, более общая схема задачи о глиссирующей пластинке (см. ниже рис. 7.19). В этой более общей постановке длина пластинки задавалась произвольно и предполагалась равной смоченной длине, а в решении появлялся лишний параметр. Так как, кроме того, в действительности жидкость не перетекает через переднюю кромку и смоченная длина, вследствие влияния силы тяжести и вязкости, будет меньше длины глиссирующей поверхности, гидродинамики отказались от более общей схемы в пользу схемы, изложенной выше. 278 ГлиссиРующие пОВеРхнОсти и пОдВОдные кРылья игл. Чп Йо/(о, дг) и производнои комплексного потенциала Йо/ди.
Границам прямоугольника соответствуют линии тока, вдоль которых 1тйо=О. Отсюда следует, что функция йо/Ии на АН и ВВ чисто мнима, а на Н.О и АВ ействительна. П о олжая д р д Йо/ди с помощью принципа симметрии на всю плоскость переменного и, находим, что йв/ци имеет периоды л и яс. Простыми нулями для Йо/ди в параллелограмме периодов служат точки и=-Еа, соответствующие 'критической точке С, и точка В (и=0), в которой имеет место нарушение конформности отображения в на и. Комплексный потенциал в(и) имеет логарифмические особенности в точках В, Н, А, соответствующих бесконечно удаленным точкам струй.
Поэтому производная йо/ди имеет простые полюсы в точках и=я/2, и=ж/2 и и = = я/2+ тс/2. Таким образом, производная Йи/ди двоякопериодична и имеет только простые нули и полюсы. Поэтому она является эллиптической функцией и может быть построена по этим нулям и 1) С. А. Чаплыгин в 1932 г. дал общее решение группы задач (с учетом влияния дна) о глиссирующей пластинке и передал свои записи в Гидродинамическую лабораторию ЦАГИ для продолжения и проведения расчетов, что и было сделано в работе ~1001.
Однако приведенная более общая схема представляет не только теоретический, но и практический интерес, хотя и не как модель обтекания глиссирующей пластинки. К этому вопросу мы вернемся в следующем параграфе, а пока рассмотрим влияние дна на гидродинамические характеристики глиссирующей пластинки. Задача о пластинке, глиссирующей по поверхности жидкости конечной глубины, впервые была решена С. А.
Чаплыгиным (см. [1001')). Впоследствии более подробные расчеты были сделаны Ю. С. Чаплыгиным [3941 и Грином [5001. Приведем общее решение задачи. Пусть на бесконечно длинную плоскую пластинку ВСА, наклоненную к дну под углом а, набегает поток со скоростью о,. Глубина жидкости в бесконечности перед пластинкой равна у, +о, а в бесконечности за пластинкой у,.
В бесконечности (А) толщина струйки, омывающей пластинку, равна о (рис. 7.2). Пусть и — параметрическое переменное, изменяющееся внутри прямоугольника ВАН0 со сторонами л/2 и ят/(2~) (рис. 7.3). Отобразим на этот прямоугольник обла- У ' сти изменения комплексной скорости Ю 280 ГлиссиРую1цие пОВеРхнОсти и пОдВОдные кРылья 1гл. У1! В частности, глубина жидкости в бесконечности перед пластин- кой составляет ~4 (а/2) ~з (0) 4 У сЕи 2иа 6~(0)64(0) 6,(0) и (32.15) В работе Грина 1500] и особенно в работе К).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
