М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 25
Текст из файла (страница 25)
С. Чаплыгина 13941 содержится очень много численных результатов. Здесь мы приведем в виде таблицы и графиков (табл. ХХХХХ и рис. 7.4) ТАБЛИЦА ХХХХХ а=5' а=60' а=10' а=30" ь Уо+6 Ь Уо+ Ь ь Уо+а Ь Уо+б Р0 (Уо+О) Р~а(Уо+ ) Р0 (Уо+6) Р~ (Уо+()) 0,0069 0,0679 0,3156. 0,4803 0,5818 0,8113 1,0012 1,0076 1,0208 1,0255 1,0274 1,02~6 1,0085 1,0345 0,9995 0,9291 0,8747 0,72С3 0,0039 0,0398 0,1963 О;3132 0,3918 0,5950 0,0006 0,0069 0,0351 0,0571 0,0724 0,1140 1,0024 1,0146 1,0383 1,0455 ' 1,0478 1,0482 0,0013 0,0138 0,0699 0,1133 0,1435 0,2252 1, 0063 1,0345 1,0603 1,0646 1,0542 1,0108 0,1624 0,2937 0,5049 0,8728 22,903? 1,0434 1,0225 0,9859 0,9245 0 0,3197 0,5714 0,9649 1,6168 11,4300 1,0109 1,3317 1,5507 1,6729 1,7320 0,5847 0,3314 0,1510 0,0494 О 1,0294 1,0248 1,0153 0,9982 О 0,8127 1,3119 1,9082 0,9515 0,7953 0,6003 3,7320 только результаты некоторых расчетов, выполненных Грином.
В этих расчетах найдена зависимость нормальной силы Р, действующей на пластинку, от толщины струйки 6, высоты Ь задней кромки пластинки над дном и глубины потока перед пластинкой у,+6. При этом 6 и у, определялись при помощи формул (32.11) и (32.15), величина Ь находилась интегрированием выражения (32.14), а нормальная сила вычислялась по формуле Р=ро,'6 с1д(а~2), получаемой из (32.7), где расход д=оа6.
Из таблицы ХХХЧ или рис. 7.4 видно, что при Ь>у,+6 возможны два режима с различными толщинами струй и различными подъемными силами. В частности, при Ь = у, + 6 пластинка может касаться невозмущенной поверхности потока, не испытывая сопротивления, или может существенно возмущать поток и обладать конечным сопротивлением. Насколько нам известно, вопрос об устойчивости этих двойных режимов еще ожидает своих исследователей. 282 ГлиссиРующие повеРхности и подводные КРылья игл.
ч11 В последних формулах были приняты следующие обозначения. Значения и в точках В, и, Р равны соответственно Ь, л/2+й, у+яч/2. Постоянная У может быть выражена через толщину любой из двух струек. В работе автора ~831 функция Йю/ди выражена не через тэта-функции, а через функ- А У Рис. 7.6. Рис. 7.5. сии Вейерштрасса У и У'. Переходя в соответствующей формуле работы ~831 к тэта-функциям и очевидным образом меняя обозначения, можно получить формулу (32.17).
Из (32.17) и (32.18) легко получить Иг/Ии и затем, после разложения в ряды, интегрированием найти г. Суммарную силу, действующую на пластинки тандем, можно выразить через вычеты. В работе ~83~ показано, что в случае, когда пластинки параллельны, дг/Ыи выражается через функции Вейерштрасса У и У', а г представляется суммой конечного числа функций о и ~, умноженных на постоянные коэффициенты. Численные расчеты для глиссирующих пластинок тандем не производились. Отметим еще работу ~131, где в рамках линейной теории рассмотрено глиссиров ание профиля по поверхности тяжелой жидкости с частичной кавитацией и проведены соответствующие численные расчеты.
$ 33. Подводное крыло В настоящее время пассажирские суда на подводных крыльях уже вошли в повседневную практику и возможность дальнейшего их применения представляется весьма многообещающей. Так же как и при движении крыльев в неограниченной жидкости, при движении крыльев под свободной поверхностью могут существовать режимы безотрывного и кавитационного течения. В качестве простейшей модели обтекания подводного крыла рассмотрим безотрывное обтекание пластинки (рис.
7.?). Эта задача была сформулирована в первом издании книги, а ее решение было получено независимо А. В. Кузнецовым ~194~, Г. П. Чере- 283 ПОДВОДНОЕ КРЪ|ЛО $333 пановым ~3951, Л. А. Эпштейном ~4041 и Каподано ~445~. А. В. Кузнецов дал общее решение задачи, получил формулу для расчета подъемной силы пластинки и исследовал случай малых углов атаки. Решение задачи по схеме, изображенной на рис. 7.7, получено также в работе А. В. Галанина и Н. Ф.
Салихова [58~, Рис. 7.7. где рассмотрена пластинка в струе, вытекающей из прямолинейного канала. Методы построения профиля, движущегося под свободной поверхностью, по заданному распределению скоростей изложены в монографии Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина ~356~, а также в работах Р. Б. Салимова ~285~ и др. Широкий круг задач о подводном крыле в линейной ',постановке рассмотрен А. Н. Панченковым ~255~. Следует отметить, что во всех упомянутых работах авторы широко использовали различные представления эллиптических функций. Поэтому решения одних и тех же задач у разных авторов записываются У а~ различным образом, что затрудняет срав- ~ ~ ~ дхнение результатов, а также проведение д+Ж расчетов. Здесь, как и выше, мы будем использовать лишь тэта-функции. И Отобразим область течения в физической плоскости г (рис. 7.7) на внутрен- а д ность прямоугольника с вершинами О, л, л+ ж/4, ~л/4 параметрической плоскости и=$+~т~ (рис.
7.8) таким образом, чтобы Рис. 7.8. пластинка перешла в нижнюю сторону прямоугольника, а свободная поверхность — в его верхнюю сторону. Пусть задняя кромка отображается в две нижние вершины прямоугольника; тогда боковые стороны прямоугольника будут соответствовать различным берегам некоторого разреза, соединяющего заднюю кромку пластинки со свободной поверхностью.
Точки А (и = а) и В (и = Ь) нижней стороны прямоугольника являются соответственно образами критической точки А и передней кромки пластинки; точка С (и = с+ ж~4) является образом бесконечно удаленной точки плоскости г. ;," В прямоугольнике функция комплексной скорости Йю/дг аналитична всюду, за исключением точки В(и=Ь), где она имеет 284 ГЛИССИРУЮЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ПОДВОДНЫЕ КРЫЛЬЯ [ГЛ. Ч$$ простой полюс.
В точке А (и=а) она имеет простой нуль. На верхней стороне прямоугольника ~ Йо/дг ~ принимает постоянное значение, равное величине скорости потока на свободной поверхности о,. Кроме того, значения функции йо/дг на вертикальных сторонах прямоугольника совпадают, т. е. ее можно продолжить периодически с периодом л на всю горизонтальную полосу шириной и ~ т ~ ~4. Продолжая далее эту функцию по принципу симметрии через горизонтальные стороны на всю плоскость и, приходим к задаче отыскания эллиптической функции с периодами я и лт. В основном прямоугольнике функция Йо/дг, помимо указанных полюса в точке и=Ь и нуля в точке и=а, будет иметь простой нуль в симметричной точке и=Ь+юи/2 и простой полюс в точке и=а+юи/2.
Значит, йо/дг можно построить по ее нулям и полюсам'): с Йв ~ д1 (и — а) б, (и — Ь) (33.1) ц (~ — о)Р (и — а Здесь постоянный множитель о,е ' выбран из граничных условий на сторонах прямоугольника. Непосредственной проверкой можно убедиться, что все условия для функции Йо/дг удовлетворяются. В частности, в точке и=5+юг/4 прямоугольника, отвечающей свободной поверхности, имеем ас ~4 Й а ~т'т® '©4 Я ~у+ ~т~® йа-ь) Д~ О (~4 Й вЂ” Ь вЂ” ят/4) 64 ($ — а+ ул'/4) (33.2) Определим теперь функцию йо/Ии, которая принимает действительные значения на горизонтальных сторонах прямоугольника и имеет период я. Кроме того, она имеет простые нули в точках и=О, и=а и полюс второго порядка в точке и=с+~л~4.
Продолжая функцию йо/ди на всю плоскость и, убеждаемся, что она является эллиптической функцией с периодами я и ж/2. При 1) Заметим, что авторы, решавшие эту задачу ранее, как правило, рассматривали параметрический прямоугольник с другим соотношением сторон, а функцию Йо/дг находили из решения краевой задачи. Отсюда следует, что [йо/дг ~=о,. Угол наклона Р вектора скорости на свободной поверхности к оси х выражается так: Р Я) = — сс — а+Ь+2 агре, Я вЂ” а+яс/4) — 2агдд, Я вЂ” Ь+ тг/4).
(33.3) При г- оо вектор скорости направлен параллельно оси х, т. е. должно выполняться условие Р(с) =О. (33.4) 287 ПОДВОДНОЕ КРЫЛО % 333 Теперь нетрудно найти отображающую функцию г(и): г(и) = — е '(~(и) — Ки)+г„ (33.20) где г,— постоянная интегрирования, которая определяется выбором начала координат в плоскости г. Функция г(и) должна удовлетворять условию однозначности г(и — я) — г(и) =О, т. е. должно выполняться равенство К=О. (33.21) Длина пластинки составляет Х = — ~~ (0) — ~ (Ь)~. (33.22) Таким образом, кинематическая часть задачи полностью решена. Неизвестные параметры а, о, с, ~~~ и А определяются из замкнутой .системы уравнений (33.4), (33.7), (33.9), (33.21) и (33.22), причем параметр а и постоянный множитель А/о, легко исключаются из (33.7) и (33.22). Подъемную силу У можно вычислить при помощи подсасывающей силы Р, которая определяется формулой Чаплыгина (33.23) и=Ь Применяя теорему о вычетах, находим 2 Р = — — е —.2Ы з1па.
Р~о м А 2 оо Коэффициент подъемной силы равен Сц — — —,—— —, — — 2ЯЙ вЂ”. 2У' 2~ Р1 А ро'1 роо~Ы1п а ~об (33.24) 1) Расчеты но приведенным формулам были выполнены Л. Г. Терентьевым н Ю. В. Кузнецовым. На рис. 7.9 представлены для некоторых значений угла атаки сс кривые зависимости коэффициента подъемной силы С„, отнесенного к коэффициенту подъемной силы пластинки в безграничном потоке С" = 2яз1пя, от отношения Р~Ь, характеризующего глубину погружения пластинки'). Случай я — 0 соответствует линеаризованной теории ~59~. (Заметим, что коэффициент С„" может быть получен из (33.24) путем предельного перехода [~~- оо.) Рассматривая рис. 7.9, можно установить, что с увеличением 1Ф подъемная сила пластинки уменьшается.
$ 341 ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ ПОД СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 289 по их схеме, если, конечно, точка отрыва потока совпадает с задней кромкой крыла. Поэтому в некоторых случаях имеет смысл использовать схему Чаплыгина — Лаврентьева для расчета безотрывного обтекания профиля потоком жидкости со свободными поверхностями. ф 34. Кавитационное обтекание пластинки под свободной поверхностью Решение задачи с применением общей схемы ~ 21 и 22, как и случае пластинки в канале, принципиально возможно, но выражается слишком сложно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
