М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 29
Текст из файла (страница 29)
РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ СТРУЯХ 1ГЛ. Ч1п ~+ ~3+ ~6+ ~7 + 672 о+ ~уВ+ ' оь+ ~7+ /~ 6 720 10080 (37.20) Аналогичным методом Уайтхед 1б391 решает задачу о диполе в струе, которая спереди и сзади прикрыта симметричными крышками (рис. 8.33). $ 38. Течения под аппаратом на воздушной подушке и через уступ на дне канала Одним из важных новых применений теории струй является гидродинамическая теория так называемых аппаратов на воздушной подушке (АВП). В этой теории, с одной стороны, получили новое применение старые классические схемы теории струй, а с другой стороны, были поставлены новые интересные задачи о струйных течениях при наличии в потоке вихрей и разрывов и о взаимодействии струи невесомой жидкости с поверхностью тяжелой жидкости.
Большинство работ, касающихся АВП, носит технический или полуэкспериментальный характер (см., например, монографии 12541 и 13731), и здесь на них останавливаться нецелесообразно. Изложение гидродинамической теории АВП и постановку в которой помещен диполь. Значит, Йо/(о,й) имеет в точках 6 и С простые полюсы, а в точке А полюс второго порядка. Кроме того, в критических точках Н и В (1 = -Ь Ь) ф~ нкция .Йю/(о,й) имеет простые нули. Так как границы области течения представляют собой линии тока, вдоль действительной оси плоскости 1 имеем 1а(йо/(о„й)) =О. Продолжая функцию Йа/(о,й) при помощи принципа симметрии на всю плоскость 1, мы не получим новых особенностей и нулей. Поэтому, пользуясь методом особых точек, можно написать — 3в ф~ ~ (~2 ~2) ,Ф о,й я (1 — И) Р (Р— 1) ' (37.19) Постоянный множитель в (37.19) подобран таким образом, чтобы расход жидкости в струе равнялся о,й.
Из (37.19) и (37.18) можно найти й/Ю, а затем с помощью интегрирования и г(1). Обозначая горизонтальный диаметр ~контура НУВ через 2~ и вертикальный 2АУ через 2д, Уайтхед находит для малых Ь следующие приближенные выражения: 330 1гл. П11 РАзличные ЗАдАчй О сВОВодйых стРуях Задача построения течения решается теперь в общем виде: г(и) = — — ди= д~ Й~ Й~ да яЧ2 Е-2~(ж-а) и/л ©; (а — и) 6; (и+~~) ©; (и) '92 (и — ~а) 62 (и+1а) 61 (и) + ' . 2 / (38.5) Практически основной интерес представляет высота Й парения аппарата, которую определим как я/2 Ь =с+1т (г — гд) =с+ — 1п1 е-" ("-") ~/" — с$. (38.6) Я .
Йо ~с а~ +О После подстановки рядов (38.4) и алгебраических преобразова- ний находим я/2 Й=-с + — ып 2 1 — — $ 29 И з1п 2$ д л сп 2а+ сов 2$ +с$д (,;— +О СΠ— 4 ~, '~,„(( — 1)" сЬ 2па — 1) в1п 2п$ Й$. (38.7) п=1 ( — л)'/' 6, (и! с) = — К ехр (л,и'/я) д, (и, ~ с,), ( — л)' " 6 (и ~ т) = ехр'(л и'/л) 6 (и ] т ), (38.8) где и,= с„и, ч,= — 1/т=1(я — а)/1п(1/о,). (Это преобразование эквивалентно повороту прямоугольника ОАВС на угол л/2 вокруг вершины О и соответствующему изменению масштаба.) Согласно (38.8) логарифмические производные (38.4) преобразуются так: 1п' О, (и ~ с) = 2л,и/л + с, 1п' О, (и, ~ т,), 1П 'Ь (и ~ т) =21'1г1и/л+'т11п 64 (и1~ ~1) (38.9) 1) Запись д(и ~т) подчеркивает зависимость от параметра т, см.
[3591. Хорошая сходимость ряда в выражении (38.7) обеспечена при малых величинах о=е-"~'! < 1, соответствующих большим я~ с~= = (1 — а/л)-' 1п(1/о,). Однако для расчетов при малых л ~ с~ (больших высотах парения АВП) и предельного перехода л~~~ — О целесообразно изменить параметризацию решения с помощью мнимого преобразования Якоби ') % ЗИ ТЕЧЕНИЯ ПОД АВП И ЧЕРЕЗ УСТУП НА ДНЕ КАНАЛА Интеграл я/2 ( ~ в1п 25 с1Ь ~ т, ~ $ ~ф О; представим как сумму двух интегралов, У,=У;+У,.
Первый из них е-э О 1; = 1 в!п 2$ сй'[т,'Д ов = О е-ч О 2~ — ' —,'+...,,+ ~",~' ... а~= О 2 2 2 = — в+ — ~т,( — — и'-(-...— О. ~т~ ~ 9 1 ~т11 Второй интеграл для $ >0 а/2 еп — в1п2$ 1+2 Х е-'"~'*~а о$= е-ч. О л=1 еп 1 С Е-2! !$ — — соз2$+~, и,,+ ( л=1 п)т,~в~п25 — сов2$) е-э о 1+ е- Я1 1! ~~-~ 1+Чл + ' пе~ с,!'+1 + ' и'[~1~2+1 ' лж1 л=1 После подстановки вычисленного значения интеграла 1, и пре- образований формула (38.10) принимает вид 'п1 .
2 ~~с 1+соз 2п ~ т1 ~ а с 1п(1/о,) и 1~,~ +1 (38.12) Ряд в формуле (38.12) суммируется, если использовать тождество (~70), формула 1.445, 2) оо 1 ч~~ 2соз п~ сЬ ~л — ~) ~ ~2 +~~,ф пй+~е ~ з11 д~ которое легко проверяется по ,'особым точкам в комплексной плоскости ~. Окончательно, как и следовало ожидать, получается формула (38.11) Ь~ 'Ь 2+ о1'+ оз/о~ с с 1 — сФ з Для ешчав 2 (а=я/2) приведем ораву окончательные рФ- эультаты, игл. чш 334 РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ СТРУЯХ В формуле (38.7) для этого случая ч;=(2~/я) 1п(1/о,), а= =1п(1/о,), д=о,', и из нее следует, что Ь 2 а С Л вЂ” = 1 + — сп и 10 с$К вЂ” + 2 + 8~~~ 4, 1,,„(сЬ 2па — ( — 1)') .
(38.13) л=1 По формуле (38.10) при с,='/,Ы/1п(1/о,) и д,=е-"!' ~ на- ходим — =1+ й1 1 Я д с 21п(1/оз) 2~т1~ 2~т1~ 1+ сИ + + ~, ~;~ и (сов (2п ~ т~ ~ а) сЬ пд $ т1 $ — 1) (4пй ~ 'с1 ~~+ 1) ьЬ пк ~ т1 ~ (38.14) Приведенные формулы дают точное (разумеется, в рамках теории струй идеальной жидкости) рещение задачи о струйной Р2 4Ф 4б с К Р2 д4 с д К Рис. 8.3?.
завесе, свободное от каких-либо произвольных допущений или предположений. Расчеты по этим формулам не составляют особой трудности. Естественные приближенные выражения получаются при сохранении первых членов быстро сходящйхся рядов. Результаты расчета показаны на рис. 8.37 в виде кривых зависимости относительной скорости о,/о, = о, на внутренней границе струи (или безразмерного давления под АВП р = = Я (р, — р,.)/(роф = 1 — о~ ) от величины Р/Й для рассмотрен- течения под Авп и чеРез уступ нА дне кАНАлА $ 381 полученная из теоремы об изменении количества движения в проекции на ось х в предположении, что при прямом срезе канала в его выходном сечении АВ давление равно р„а скорость равна ')Го,о, 13191.
Эта зависимость, естественно, совпадает с точной (38.11) при и=О и в,=)/ оз . Штриховые линии на рис. 8.37 соответствуют асимптотике тонкой струи (о, 1), когда 3 с, ~ = (я — а)/1п (1/о,) оо. При этом по формуле (38.10) получается Ь 1+сова с (1/оа) (38 16) Выражение (38.16) допускает простую физическую интерпретацию. Его можно получить элементарно, предположив, что внешняя граница струи совпадает с дугой окружности АА„касающейся прямой у = с в точке Я, (см. рис.
8.34), и что распределение скорости в изгибающейся струе удовлетворяет условию «свобод- НОГО ВИХРЯ» И' = 02Г2 = ОзГз. ТОГДа =СО = — 1'~Г =02Г21П вЂ” = 02Г2 10 — т ~)3 откуда Г2 =С/1П (02/03) =С/1П (1/03)т ') Точная расчетная зависимость с/Ь от Ь/Ь при и=а/2 и о1= ~ау~ указана сплошной линией на фиг. 10 книги [31"1. ных выше случаев а=О и а=я/2. Все кривые построены для двух характерных величин относительной скорости в канале: о,,~о, = о,-'г' о, (приблизительно прямой срез канала, АВ ( АЕ) ") и о,=о, (совсем нет внутренней стенки ВЕ). При равных величинах с/Ь условию о,=~/о, соответствует несколько большее давление под аппаратом, что объясняется направляющим действием безотрывно обтекаемой стенки ВЕ. При заданной величине о, (или параметра а='/2(1 — а/л) '1п(1/о,)) взаимное положение кромок А и В среза канала можно вычислить путем соответствующего интегрирования (38.5) вдоль стороны АВ параметрического прямоугольника; однако в этом, очевидно, нет практической необходимости.
Штрихпунктирной линией на рис. 8.37 показана приближенная зависимость (при коэффициенте скорости ~р=1) 29+(1+03) 'Р ~13 сов с~ (38.15) С ц2 3 РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ СтРуЯХ игл. ип что совместно с геометрическим соотношением й = с+ г, + к, соз а приводит к выражению (38.16). С другой точки зрения это выражение соответствует асимптотически точному решению задачи о струе, образующей бесконечное число витков на бесконечнолистной поверхности при угле а=а,— 2йя, где целое Й вЂ” оо.
(Отметим, что геометрический центр этой бесконечнолистной струи, строго говоря, немного не совпадает с показанной на рис. 8.34 точкой О.) Приближенные соотношения (38.15) и (38.16) удовлетворительно согласуются с точными зависимостями й/с от угла а; поэтому можно считать оправданной линейную по созя интерполяцию точных зависимостей (38.11), (38.13) и (38.14) й (а) = й (я/2) +1й (О) — й (л/2)|сова. Наконец, на рис. 8.37 проведено также сравнение расчетных кривых с экспериментальными данными. Использованы зависимости безразмерных давления р и расхода ®(о,Ь)=С1Ь от Ь!й при я=я/2, полученные в опытах с моделями кольцевых струй при различных отношениях Ь/Π— ширины канала к диаметру кольца, 0,02~~Ь/В:0,10 13731. Как видно, расчетные давления р =1 — о', при равной высоте висения и равных расходах оказываются систематически на 10 — 15% вышеэкспериментальных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
