М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 32
Текст из файла (страница 32)
а 1+а с 1 — а откуда, согласно интегралу Бернулли, получается, что давление в точке А не превышает давления на свободной поверхности, Интересен предельный случай, когда а=с и давления в точках А и С равны. При этом оказывается, что точки А и В сливаются (рис. 8.61), т. е. а=0. Из (39.12) при этом следует, что х = — сс, т.
е. верхняя стенка отсутствует, формулы (39.9) и Эту формулу легко проверить непосредственно. Перейдем теперь к определению (',. В области течения скорость нигде не обращается в нуль, но принимает бесконечное значение в точке 0(т=1), так что функция ~(т) имеет в точке о простой полюс. Поскольку на свободной поверхности $[= 1, продолжая ~(т) через мнимую ось плоскости т, находим, что в точке т= — 1 функция ~ (~) имеет простой нуль. Других нулей и особенностей в плоскости ~ функция ~(~) не имеет.
Отсюда следует, что 352 игл. чш РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ СТРУЯХ (39.14) (1 — те-Щ (~ — е-и~о/т) (1 — те1Р ) (1 — е~Ро/т) (39.16) где М и У вЂ” постоянные. Геометрический смысл 'постоянных т, о, р, в плоскости 1 можно усмотреть на рис. 8.63. Справедливость формул (39.15) и (39.16) нетрудно проверить непосредственно. При этом следует иметь в виду, что на части пластинки ') Работа М. И. Хмельника написана на основе общей теории течений тонких слоев жидкости на поверхностях 1691.
(39.11) принимают вид а = — „1пт, с=ехр 2д (39.13) г=2' — 2 1п1+'+ 1п Х6С 2 Из (39.13) следует, что ясг я2 Жд — = — = — 1п сЬ вЂ”. 4д 4Ь 40 Разрешая уравнение '(39.14) относительно и, можно в явном виде выразить комплексный потенциал через элементарные функции от г, что является весьма редким случаем в теории струй. В заключение параграфа остано- Р вимся на работе М. И. Хмельника [3741, посвященной течениям тонких слоев Рис. 8.61.
идеальной несжимаемой жидкости по произвольным поверхностям '). С этими течениями оказались связанными схемы плоского струйного обтекания пластинок источниками, изображенные на рис. 8.62. Последняя схема (рис. 8.62, г), изображает струйное обтекание круговой решетки, составленной из Й= я/а пластинок, потоком, вызванным источником, расположенным в точке О. На этом рисунке ось к проходит через середину пластинки В;В,. Для рещения задачи можно выделить период решетки, ограниченный линиями тока ОА,В,С, и ОА,В,;С,.
Отобразим области изменения безразмерной комплексной скорости Йв/(о, дг), где о,— скорость на поверхностях струй, и производной комплексного потенциала Йо/Й на верхний единичный полукруг плоскости комплексного переменного 1 (рис. 8.63). Линиям тока ОА, и ОА, (рис. 8.61, г) на рис. 8.63 соответствуют разные берега разреза А,ОА, Общее решение задачи получено М. И. Хмельником методом особых точек и имеет вид , (39.15 Йи М (1 — е~~) (8 — е-О~) (Р— 1) (Я еаРо/т)-1 (~ — е-ЪЬЦт)-1 й (~ 6) (~ ~-1) (~ тесРч>) (~ те-1'Ро) ~ ' ) Гл ава УХ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ $40. Плоская пластинка в ускоренном потоке Задача о неустановившемся потенциальном течении жидкости со свободными границами в достаточно общей постановке может быть сформулирована следующим образом.
В начальный момент времени заданы область, заполненная жидкостью, и течение в этой области. Граница области частично образована твердой стенкой, а частично является свободной. Нужно определить течение в последующие моменты времени и границу области приусловии, что известны движение твердых границ и давление на свободных границах. При струйных и кавитационных течениях давление на свободных границах постоянно или зависит только от времени.
Изучению задачи о неустановившемся движении жидкости со свободными границами в точной постановке, выясненйю ее особенностей и разработке математического аппарата посвящен ряд работ (см., например, ~205, 251, 252~). Несмотря на свою большую практическую важность, раздел о неустановившихся течениях является самым молодым разделом теории струй. Решение первой задачи об обтекаемой ускоренным потоком пластинке, за которой располагается зона постоянного У давления, было опубликовано Карманом в 1949 г. ~515~.
С Пусть плоская пластинка шириной 2Й расположена нормально ~® х к набегающему потоку, который 4 Ю Ю А имеет в бесконечности направленную вдоль оси х скорость У (~), где 1 — время. За пластинкой расположена каверна, давление Рис. 9.1. в которой постоянно (рис. 9.1).
Карман ищет такие течения, при которых геометрическая картина потока не меняется со временем. Комплексный потенциал течения Р представляется в виде (40.1) Ф + Л' = К (г, Е) = У (К) и (г) = У (Е) (ср +г ф). 12~ ~гл. ~х 356 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ Рассмотрим верхнюю половину течения, ограниченную частями оси симметрии АВ и ОА, которые можно заменить твердыми стенками, половиной пластинки ВС и поверхностью постоянного давления Х, расположенной между точками С и О. Соответствующая область изменения функции в(г) представляет собой верхо нюю полуплоскость 1ти(г) = ф~О. Отобразим эту область на верхний единичный полукруг ~ г ~ ~~ 1, р ~ 1гп ~: 0 плоскости параметрнчес- ~ кого переменного ~ (рис.
9.2) таким образом, чтобы свободной поверхРис. 9.2. ности Х соответствовала дуга полу- окружности, а твердые стенки переходили в диаметр полукруга. Отображение это получается без большого труда и описывается уравнением, правильность которого можно проверить непосред- ственно (40..2) Здесь множитель У не зависит от координат, а аддитивная постоянная, которая может входить в щ подобрана таким образом, чтобы в точке О выполнялось условие в=О.
Граничные условия на твердых стенках, очевидно, вытекают из условия равенства нулю нормальной скорости. На стенках АВ и ВА это дает Ххп(йы/сХг) =О, а на стенке ВС Ке(йо/сКг) =О. Для получения граничного условия на неизвестной линии тока Х нужно использовать интеграл Коши — Лагранжа для неустановившегося плоского течения идеальной несжимаемой невесомой жидкости (40.3) где р — давление, р — плотность. На свободной поверхности Х давление р=р, постоянно. Если предположить, что точка 0 является критической, то в этой точке Йо/дг=О. При этом на свободной поверхности всюду р,/р=С(1) и граничное условие на Х имеет вид дФ У' д1 2 или, так как на Х имеем И'=Ф, то в соответствии с (40.1) '(40.4) где ускорение а=дУ/Й. плоскАя плАстинкА В ускОРеннОм пОтОке $401 ширины пластинки Ь. Отсюда имеем 1 ЕЬУ 1Ь= —— 2 Интеграл легко вычислить, и тогда при Ь=1~2 — 1 получаем — = — ~1/2 )/ 1/2 — 1+(1/ 2 — 1) агссоао/2 — 1)~ ы 0,692.
(40.14) Воспользовавшись численными значениями У, Ь и равенствами (40.13), (40.14), можно представить закон изменения скорости У в виде У 1 УО 1 — 1,6750О~/11 (40.15) Работа Кармана была продолжена рядом исследователей. Здесь, прежде всего, следует назвать статью Гилбарга 1496~, Рис. 9.3. в которой найдена целая серия обтеканий ускоренным потоком плоской пластинки.
Гилбарг рассматривал симметричные каверны с заостренными концами В (рис. 9.3), не являющимися критическими точками, причем на свободных поверхностях имелись точки перегиба А, и А,. Решение Кармана является предельным случаем решения Гилбарга, когда вогнутые части каверны А,В и А,В стремятся к нулю. Гилбарг рассмотрел случай полигонального симметричного препятствия, а также указал путь решения несимметричной задачи. Он предложил обобщить решение на случай, когда форма каверны медленно меняется со временем.
Вудс 164Ц обобщил теорию Кармана на случай схемы Рябушинского; при этом Вудс рассматривал общий случай криволинейного препятствия. Нетрудно рассчитать давление на пластинку. Из (40.3) следует, что разность давлений р — р, на обе стороны пластинки 361 УДАР КОНТУРА, ОБТЕКАЕМОГО С ОТРЫВОМ СТРУЙ 5 411 ф 41. Удар контура, обтекаемого с отрывом струй Рассмотрим (см. работу ~89~) произвольный неподвижный контур АВ, обтекаемый с отрывом струй по схеме Кирхгофа неограниченным потоком жидкости (рис.
9.4). Скорость в бесконечности направлена по оси х и равна о . Начало координат совпадает с единственной критической точкой О, расположенной на контуре. Пусть точки контура внезапно приобрели нормальную скорость У„, где ӄ— произвольная известная функция длины дуги, сопротивления на величину рЯ(Ж/Й), где3 — площадь каверны за пластинкой, и, во-вторых, меняет граничное условие на свободной поверхности, существенно затрудняя нахождение общего решения гидродинамической задачи, которое из-за этого не может быть 'непосредственно получено из решения задачи Кармана.
Для сравнения заметим, что, пользуясь известным решением задачи о безотрывном поперечном обтекании плоской пластинки шириной 2й потоком, имеющим в бесконечности скорость У(1), можно найти, что максимальная разность давлений по обе стороны пластинки равна 2рй(ИУ/Й), а суммарная сила давления на пластинку равна лрй'(Ж/й).
Так как площадь сечения пластинки равна нулю и свободных поверхностей в этом случае нет, при обращении движения сила, действующая на движущуюся со скоростью У пластинку, будет по-прежнему равна ярй'(ЙУ/Й), где коэффициент т=ярй' при ускорении — присоединенная масса пластинки ~2921. В частности, его можно определить, подсчитав кинетическую энергию жидкости, окружающей движущуюся пластинку, и разделив эту энергию на У'/2.
Пусть мы имеем пластинку, обтекаемую с отрывом струй по классической схеме Кирхгофа (рис. 1.1). Обратимдвижениетак, чтобы скорость течения в бесконечности стала равной нулю. Мы не можем найти присоединенную массу пластинки, обтекаемой с отрывом струй, с помощью подсчета кинетической энергии, которая, как в этом нетрудно убедиться, бесконечна (ср. ~ 15 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
