М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Решение задачи об устойчивости поверхности раздела между двумя жидкостями различной плотности (с учетом сил поверхностного натяжения и силы тяжести) так же хорошо известно, как и решение предыдущей задачи (см. работу [5181, а также работы [2081 и [210, ~ 61, задача 31). Пусть в верхней полуплоскости у) 0 жидкость неподвижна, а в нижней у~ 0 имеет горизонтальную скорость о. Для нас главный интерес будет представлять рассмотрение предельного случая этой задачи, когда плотность жидкости в верхней"полу- плоскости равна нулю.
Кроме того, мы будем учитывать силы поверхностного натяжения '). Теперь предположим, что возникло неустановившееся движение, причем потенциал скорости «р и возвышение возмущенной свободной поверхности имеют вид «р = ох+ У,е ~Се~Уев'"~, (42.51) т1 = Ке [Мео'"1. (42.52) 1) Силу тяжести мы принимать во внимание не будем. Основные физические приложения теории струй относятся к большим скоростям и принципиальный вопрос об устойчивости свободных поверхностей струйных течений должен решаться вне зависимости от углов наклона этих поверхностей к горизонту.
/ / 392 игл. ~х НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ В этих формулах постоянная й > О, так как возмущения при у= —,оо затухают. Комплексные коэффициенты С и М зависят от времени ~. В дальнейшем для краткости записи будем в.уравнениях, содержащих потенциал скорости и ~, опускать символ Ке действительной части. Принимая, что давление при у= — оо равно р„, запишем интеграл Коши — Лагранжа для области течения д(р р о~ + — = — "+ —. д1 р 2 (42.53) Согласно теории капиллярных волн разность давлений р,— р, где р,— постоянное давление в верхнем полупространстве, а р — давление на свободной поверхности при подходе снизу, с точностью до малых высших порядков будет равна д~т~ р,— р =а —,, где а — коэффициент поверхностного натяжения. Отсюда и из уравнений (42.51) — (42.53) находим, пренебрегая квадратом малой величины С, граничное условие на свободной поверхности — "„'+ ойС+ — '=О.
Ю ~) (42.55) Из кинематического условия на свободной поверхности у=О дт~ дт~ д~р — +о — =— д~ дх ду следует — + 1йоМ = йС. ИМ Ю (42.56) Используя это уравнение, исключим С из уравнения (42.55), что даст — + 2~йо — — й'о'М+ — М = О. РМ . ~Щ а~э Д~2 Ж р (42.57) Выпишем для последнего дифференциального уравнения характеристическое уравнение аИ Х +.ЦЫ,— Р" +" — '= О. Р Решая это уравнение, получаем Р~ ~ ~ ~/~~~э(р Таким образом, оба корня характеристического уравнения "различны и чисто мнимы. Это означает, что амплитуда колебаний "~ и т] будут постоянными.
Если а=О, то уравнение (42.57),.будет 394 [гл. ~х НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ®,= — К1п~ служит прямоугольник (рис. 9.14, б) со сторонами а=2яГ и Ь=Г1пг, (~,— радиус стенки, г,=1 — радиус внутренней свободной границы). В дальнейшем будем считать Г=1. Рис. 9.14. Если п(О, 1) — составляющая смещения точек свободной границы по нормали, то уравнение границы в полярных координатах, очевидно, запишется так: = ~, + т1 (О, 1). (42.58) Поставим задачу об определении возмущенного неустайовившегося течения, возникшего в результате начальных возмушений границы полости, которые зададим функцией и, = ~1, (О).
Потенциал скоростей возмущенного течения должен удовлетворять усло- струйных течениях с полными граничными условиями на свободных границах. Исследования всех авторов приводят к выводу о нейтральной устойчивости полого вихря, как при наличии внешней твердой стенки, так и при удалении ее в бесконечность. Решение, зависящее от начальных возмущений, получено Н. С. Козиным 11651. Им исследованы также вопросы о требуемой гладкости начальных возмущений и полноте системы собственных функций в пространстве начальных данных.
Обращение здесь к этой задаче имеет целью выясйить влияние поверхностного натяжения на устойчивость течения. Схема течения указана на рис. 9.14, а. На свободной поверхности разность давлений жидкости р, и газа р, (р,=сопз1 в полости) в любой момент времени уравновешивается силой поверхностного натяжения, определяемой по формуле (51.4) (см. стр. 473). Областью О, изменения комплексного потенциала установившегося теченйя пОГРужение клинА результатов опытов, проводимых' в гидродинамических трубах, и распространении их на натурные течения, а затем приобрела самостоятельное значение при изучении течений в гидро- системах, содержащих закрытые участки свободных потоков с большими скоростями.
В таких' системах существуют-сложные обратные связи между параметрами течения и при определенных условиях возможна'потеря динамической устойчивости. Занимаясь этой проблемой, Ким и Акоста ~1431 методами линейной теории исследовали вопрос о колебаниях давления в каверне за препятствием, помещенным в канале, при гармонических колеба. ниях скорости набегающего потока.
Если жедавление в каверне остается постоянным - (естественная кавитация), то возникают пульсации давления на бесконечности вверх и вниз по потоку. В работах 1119, 2991 также в линейной постановке исследовались, кавитационные течения, возмущенные колебаниями кавитирующего препятствия, и получены гидродинамические характеристики нестационарных течений с резонансами на частотах, отмеченных в экспериментах ~599~. В статье ~2831 решена задача о гармонических колебаниях пластинки в канале.
Кавитационное обтекание моде,'пировалось схемой Эфроса. Здесь также выявлены резонансные частоты, согласующиеся с экспериментами Зильбермана и Сонга и, кроме того, отмечены промежуточные резонансы на второй:-собственной частоте при сравнительно больших значениях безразмерной частоты колебаний. Эффект резонанса на..второй собственной частоте наблюдали в некоторых более поздних эксперименталь;.
ных исследованиях. $ 43. Погружение клина Знание решения задачи о погружении в воду клина нужно, например, для расчета, посадки гидросамолета. Несмотря на ясность постановки задачи о входе клина, в, жидкость и посвященную этой задаче большую литератуоу, точное аналитическое решение проблемы до-сих пор не получено. В настоящем параграфе будет приведена только постановка задачи и дан небольшой исторический обзор тех работ, в которых проводятся идеи, близкие к идеям теории струй.
Пусть в начальный момент; жидкость покоится и занимает нижнюю полуплоскость (рис. 9,.15, а) Входящий в жидкость белий имеет вертикальную. ось симметрии; -Угол а (рис..9.15), который щеки клина образуют с поверхностью'невозмущекной жидкости, называется углом килеватости, так что при малых углах килеватости клин будет тупым, а при,больших.углах килеватости, близких к я/2,— острым: Точнее говоря, угол, между щеками-клина.2яр связан с углом .килеватости а соотношением 402 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ГГЛ.
1Х случае; когда область изменения функции Вагнера заранее известна. Идея метода состоит в следующем. Введение новой неизвестной функции г,(4, отображающей вспомогательную верхнюю полуплоскость ~ на область течения г, =х, + ~у„позволяет сначала свести исходну1о задачу дЛя одной гармонической функции (потенциала скоростей) к краевой задаче для двух аналитических функцйй (комплексной скорости и отображающей функции г,(т)), но в уже известной области — верхней полуплоскости.
Тот факт, что область течения в плоскости функции Вагнера Й является известным многоугольйиком; позволяет выписать выражение для функцйи Ь(т), отображающей вспомогательйую полупЛоокость т на этот многоугольник. Замена в этом выражейии функций Ь через производную комплексной скорости и отображающую функцию дает возможность выразить комплексную скорость через отображающую функцию г,(с), т. е. одну из двух неизвестных функций через другую. Зто, в свою очередь, позволяет исключить комплексную скорость в полученной краевой задаче для двух функций и тем самым свести исходную задачу к задаче для одной аналитической в верхней полуплоскости функции (отображающей функции г,(т)), удовлетворяющейнелинейному краевому условию на всей действительной оси.
Далее, в качестве единственной неизвестной функции вводится действительная функция — аргумент производной отображающей функции г,(~) на той части действительной оси, которая,соответствует свободной поверхности. На остальной части этот аргумент известен. Тогда всюду в верхней полуплоскости отображающую функцию г,(т) можно выразить через эту граничную функцию (при помощи интеграла Шварца)'.
Подстановка полученного выражения .в граничное условие для отображанщей функции на части действительной оси, соответствующей свободной поверхности, дает в итоге' нелинейное сййгулярное интегральное уравнение для одной неизвестной действительной функции. Если эта функция' найдена, то задачу можно' считать полностью решенной, так как в любой точке области течения все' гидродинамические характеристики (давление, скорость; форма ,свободной поверхности) получаются квадратурами. Изложенный метод был применен 3. Н. Добровольской ~106, 467~ для решения задачи о симметричном' равномерном погружении клина. в жидкой полупространство: С помощью чиеленного рей1ения построейного ею интегрального уравнен11я были найдены форма возмущенной свободной поверхности' и распределение давления вдоль щеки клина для нескольких значений его угла раствора 2лр,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
