М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Переменная ~ теряет свой смысл в случае несжимаемой жидкости (М=0). Однако в дальнейшем вместо с фактически рассматривается переменное т/т, = о'/о'„которое остается конечным и сохраняет смысл при переходе к несжимаемой жидкости.- Сравним теперь задачу о движении сжимаемой жидкости с соответствующей задачей о течении несжимаемой жидкости при одних и тех же граничных условиях (при одинаковом располоЖении преграждающих стенок, одинаковых скоростях в бесконечно удаленных точках и при одной и той же скорости на границах струй, сбегающих с преграды). Предположим, что общее решение какой-либо задачи о струйном течении несжимаемой жидкости получается путем установления связи между комплексным потенциалом зн = урн+ п~н и переменным 415 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЧАПЛЫГИНА Но з1п 2пО з1п О = — ~соз (2а — 1) Π— соз (2п+ 1) О~, 1 и, проинтегрировав, будем иметь ) где -г = — 2а (см.
равенства (45.6)). Переходя к пределу, получаем 4а~ — 1 (45.19) (45.22) где о,— скорость газа на свободной поверхности. Так как плотность газа в струе в бесконечности, согласно интегралу Бернулли (44.6), равна р, (1 — ~,)~, расход газа в струе 1ср. (44.8)~ составляет РоЧ=~~Ро(1 ~~) 26* (45.20) Из (45.19) и (45.20) получаем 00 а=1 откуда следует, что коэффициент сжатия струи равняется (45.21) а=1 Ца основе числовых расчетов по формуле (45.21) С. А. Чаплыгин предлагает приближенную формулу о к+ 2 — бз~+ 2в~ где г,=т,/(1 — ч;,) или р,/р,=(1+я,)~+', причем р,— давление на свободной поверхности.
Приведем (таблица ХХХУП) результаты расчетов по точной формуле (45.21) (см. монографию ~306~). Таблица ХХХИ1 у=1,4 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ЧАПЛЫГИНА (45.24) Обозначим через 2~ площадь сечения насадки, а через 2И— площадь сечения струи в бесконечности. Расход жидкости в струе равен Й21о„где о,— скорость газа на свободной поверхности. Возьмем в газе контрольную поверхность, состоящую из стенок трубы, свободной поверхности струи, бесконечно удаленного нормального сечения струи и поверхности сферы бесконечно большого радиуса (см. рис. 10.2, б).
Проекция на направление стенок насадки результирующей сил давления, действующих на контрольную поверхность, очевидно, равна — (р,— р,) 21, где р,— давление на свободной поверхности. Соответствующая горизонтальная проекция приращения (за единицу времени) количества движения жидкости, заключенной в начзльный момент внутри контрольной поверхности, равна рдй21о,', и, согласно теореме об изменении количества движения в проекциях, имеем р,й21о'д = — (р, — р,) 21, откуда Ро — Рд 7 ~ддддд где рд — плотность газа на свободной поверхности.
Подставляя в формулу для Й выражения для р, и р„получающиеся из равенств (45.24) при т=~„после несложных преобразований находим (1 — т~) Р— (1 — т~) (45.25) 2(1+р) тд где, как и выше, Р = 1~(у — 1). Коэффициент сжатия можно 14 И. И. Гуревич При рассмотрении случая а=2, т. е. случая насадки Борда (рис.
10.2, б) в различных фазах решения появляются неопределенные выражения. Я. И. Секерж-Зенькович ~298~ решил методом С. А. Чаплыгина задачу о насадке Борда и произвел подсчет коэффициента сжатия й=бД. Если ограничиться вычислением коэффициента сжатия, то можно даже не решать гидро- динамическую задачу, а воспользоваться для этого теоремой об изменении количества движения. Покажем, что при вычислении коэффициента сжатия струи в насадке Борда нет нужды ограничиваться случаем плоской задачи. Труба может иметь произвольную форму сечения, лишь бы втекающая струя была в бесконечности параллельна стенкам.
Из интеграла Бернулли для случая, когда процессы в газе, адиабатичны, вытекают формулы (см. также (44.6)) р — р (1 ~)7Л'Р- 1) р — р (1 ~) ~/(7- 1) ~гл. х стРуйные теч ения сжимАемой жидкости выразить и через число Маха М (см. курс [189~) м~ ' й= уМ~ Заметим, что при решении плоской задачи о насадке Борда методом С. А. Чаплыгина для й получается формула, содержащая гипергеометрическую функцию Р (1, — Р, 2, т,). Однако легко видеть, что функция эта вырождается в алгебраическую Фуяяияю ~1 — (1 — т,)а+'ят, 9+ 1ц, после чего для я получается выражение (45.25). Приведем некоторые из расчетов Я.
И. Секерж-Зеньковича ~2981, сделанные для плоской задачи, но пригодные, как. мы установили, и для пространственного случая (таблица ХХХ1Х). тлвлицл ххххх у =1,4 0,16 0,10 0,12 0,02 0,04 0,06 0,08 0,14 0,6378 0,5129 0,5734 0,5911 0,6307 0,5266 0,5412 0,5567 0,6102 Изучение задачи Чаплыгина об адиабатическом истечении совершенного газа из сосуда с прямолинейными стенками позволило обнаружить следующий замечательный факт (это сделал Л. В. Овсянников ~2491). Оказывается, что если давление на поверхности струи таково, что скорость на ней в точности равна скорости звука, то течение в струе выравнивается на конечном расстоянии от отверстия, причем геометрическое место точек на различных линиях тока, в которых скорость газа достигает скорости звука, образует прямолинейный отрезок, расположенный перпендикулярно струе.
Более общий результат, когда связь между плотностью и давлением произвольна и струя вытекает из сосуда произвольной формы, получен Ю. В. Рудневым 12791; см. также ~2921. Впервые течения с прямой линией перехода были использованы для построения сопел С. А. Христиановичем и его сотрудниками в 1943 г. С. А. Чаплыгин решил также задачу об обтекании пластинки, поставленной перпендикулярно набегающей на пластинку струе конечной толщины.
Задача решается аналогично предыдущей. Сопротивление пластинки Я выражается формулой 2~РРол Ф (! — соа 2пр~) х„(т11 8 ( — 1)" 1п 1 — сов т 4п~ — 1 д=1 точньщ Решений уРАВнений чАплыгинА $451 Обозначим второй интеграл уравнения (45.2), линейно независимый от г„(г), через ~„(г). Для этого интеграла существуют различные выражения') (см., например, ~3061 или ~4481). Этот интеграл имеет логарифмическую особенность при ~=0, но это обстоятельство не должно нас беспокоить, так как функция (,„(т) будет использоваться только в области 3. В области 3, представляющей полукольцо СОС'Е'АЕС, функцию ф, удовлетворяющую уравнению (44.13), будем искать в виде ф'> (8; т) = — — '" О+ ~~ [А„г„(т)+ В„~„(тЦ Ып 2пО.
(45.35) а=! ~ В т- ф = ~, [А„г„(т,)+ В„~„(т,)) в1п 2и6. п=1 Знак «минус» берется при О>0 и знак «плюс» —.при О<0. Левую часть последнего уравнения можно представить при — 2 ~~О~~ 2 в виде ряда Фурье (45.37) 1) Для целых и в качестве второго частного решения ("„С. В. Фалькович берет решение Черри ~4481 как более удобное для расчетов (2п — 1) 1~пт Р (а — 2у, Ь вЂ” 2ч, 1 — 2~, т) (,'„(т) = 11т г„(г)+ (2п+ 1) (2ч+ 2п) где а„(а„— 1) ...
(а„— 2п+1)(2п — 1 — Ь„)(2п — 2 — Ь„) ... ( — Ь„) и= (2а — 1) (2п)1 Выражение (45.32) для решения в области 1 удовлетворяет граничным условиям (45.28) и (45.27) на отрезках ВЕ и ВА, а выражение (45.33) для решения в области 2 — условиям (45.31) и (45.30) на отрезках В'Е' и В'А.
Выражение (45.35) для решения в кольцевой области 3 удовлетворяет граничным условиям (45.27) и (45.30) на отрезках СЕ и С'Е'. Нам остается удовлетворить граничным условиям (45.26) и (45.29) на свободной поверхности СЕС' и склеить решения вдоль Е'АЕ так, чтобы 'ф(з' явилось аналитическим продолжением ф"' и ф"). Отсюда и будут найдены неизвестные коэффициенты а„, А„и В„. Удовлетворяя граничным условиям (45.26) и (45.29) на дуге С'ВС (г = с,), получаем 423 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЧАПЛЫГИНА В случае бесконечно широкого сосуда имеем ~„=0, вторая сумма в (45.42) исчезает, а ф<з) в этом случае легко находится 181; она будет представлять функцию ф во всей рассматриваемой области и совпадет с решением С.
А. Чаплыгина (45.17). Положим (для сокращения записи) и() ~- 1л(~1)~и() — 1л() п(~1)~ (~ ). (4543) Ъи(',) (1, )~ Ол~л ( в1) тогда формула (45.42) примет вид —" ф~> (6, с) = — 6 — ~ ~— " в!и 2пО. и п=1 (45.44) При помощи формулы (45.44) можно определить коэффициент сжатия струи. Обозначая толщину струи в бесконечности через 26 (рис. 10.3), мы можем снова воспользоваться формулой (45.18) и следующей за ней формулой — я/2 ! — 6 = Ит — в!пΠ— ЫО.
2т ° дф (1 ~)Р~ дт (45.45) Будем теперь поступать так же, как действовали выше при решении задачи С. А. Чаплыгина об истечении струи газа из сосуда бесконечной ширины. Пользуясь выражением (45.44) для ф"', находим из (45.45) -я/2 з1п 8 з1п 2ав Π— — )1т — ' ,'~~ (1 — т1)%1 т,~~, 2~ „ но мы имеем равенство -я/2 81п 8 яп,2ао .О ( — 1)л-1 4п 2а 4п~ — 1 ' 1) Для решения Черри О, =2а Я601 где ̈́— некоторые постоянные, зависящие от выбора ') функций ~„(с).
Подставляя полученные значения А, и В„в формулу (45.35), найдем искомое решение в облести 8 СО в Ф(з)(6 т) О Е ви(т) 8!пввв+ ч „1ь(') а ОЭ ~ % ~вп (!1) 8п (7) !пп(в) ~л (в1) ( ) 81п 2по (4~ 42) (1- „)~ ~ гп (в1) и ~~ О и=- 1 424 игл. х стРуйные течения сЖимАемОЙ ЖидКОсти и поэтому 44т~ ( — ()"-1 ~= д(( ~ )Рр Е 4п~ — 1 Хй(~1) (45 46) а=1 Заменив теперь в последнем равенстве, согласно формуле (45.20), дф,(1 — с,)~~ шириной струи 2О, найдем 1/6=1~й, где Й вЂ” коэффициент сжатия струи,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
