М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 38
Текст из файла (страница 38)
( 1)а-1 п=1 (45.47) В силу равенетв (45.43) и (45.11) имеем ~п' (~1) т„~~ (т1) )('(~1) ~ (~ ) ~а (~1) (1 — т„)~ На~а ('Г1) ~п(~1) ~ (1-~1) ~а(С ) га (Т1) Т1 (1 — С )р 2п ('С1) Подставляя полученное выражение в формулу (45.17)„получим 8~, ~. ( — Ц вЂ” ~„'(~1) ~„() —,)' ~", ( — () — .'(~-) 1+ 1 Сч — п д ~ 4пй 1 у„(с ) ~ (1 „)Р 4е2 — 1 ~„(~~) (45.48) Для бесконечно широкого сосуда т„= О, и формула (45.48) переходит в формулу С.А.
Чаплыгина (45.21). Обозначим отношение 1/б, которое получается из (45.21), через 1/Й„; тогда величину 1/й,' определяемую (45.48), можно представить в виде 4Ю (1 — ~1) ( 1)а ~п(~ ) Очень удобным для вычислений является то обстоятельство, что функции ~„в последнее уравнение не входят.
К этому уравнению нужно присоединить условие равенства расходов газа в бесконечно удаленных сечениях слева и справа о„(1 — ч;„)~ 2Е, = о1 (1 — с1)р 26 = о1 (1 — т1)~ 128. (45.50) Систему уравнений (45.49) и (45.50) удобно записать в следующем окончательном виде: )~ т„(1 — т„) М~1(1 — ~1)' а=1 ТОМНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЧАПЛЫГИНА $45) С. В. Фальковичем решена также задача об истечении газа из сосуда конечной ширины, когда стенки дна сосуда образуют с осью симметрии произвольный угол. Расчеты коэффициента сжатия струи по .работе С. В. Фальковича были выполнены С. К. Аслановым и В. Л.
Легковой Щ Приводим результаты этих расчетов в таблице Х1.. тАБлицА х1 0,6233 0,6668 0,7973 1,0000 0 0,5543 0,9091 1,0000 0 0,0025 0,01 0,02 0,02 0,12 0 0,0025 0,01 0,02 0,04 0,04 0,14 0,06 0,08 0,10 Метод С.. В. Фальковича позволил решить большое количество новых струйных задач газовой динамики (см. ~49 — 51, 219 220, 223, 350 †3, 549, 573 †57).
0 0,0025 0,01 0,02 0,04 0,06 0 0,0025 0,01 0,02 0,04 0,06 О,'О8 0 0,0025 0,01 0,02 0,04 0,06 0,10 0 0,4184 0,7312 0,9174 1,0000 0 0,3559 0,6548 0,8340 0,9725 1,0000 0 0,3196 0,5968 0,7740 0,8432 0,9878 1,0000 0 0;2957 0,5574 0,7308 0,8979 0,9672 1,0000 0,6364 0,6580 0,7246 0,8115 1,0000 0,6504 0,6653 О,?097 0,7683 0;8849 1,0000 0,6654 0,6770 0,7116 0,7565 0,7818 0,9251 1,0000 0,6815 0,6914 0,7200 0,7572 0,8277 0,8928 1,0000 0 0,0025 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,12 0 0,0025 0,01 0,02 0,04 0,08 0,10 0,14 0 0,0025 0;01 0,02 0,04 .0;06 0,08 '1/ 0 0,2792 0,5291 0,6988 0,8698 0,9478 0,9831 1,0000 0 0,2670 О,'5108 0,6747 0,8476 0,972-1 0;9908 . 1,0000 0 0,2554 0,4882 0,6513 0,8254 0,9135 0,9601 1,0000 0,6988 0,7073 0,7324 0,7646 0,8251 0,8798 0,9281 1,0000 0,7175 0,7252, 0,7438 0,7766 0,8303 0,9204 0,9557 1,0000 .0,7447 0,7516 0;7719 0,7977 0,8454 0,8877 0,9241 1;0000 стРуйные течения сЖимА емОЙ Жидкости игл.' х т.
е. просто заменив «о„на 6+~0; тогда на границах области изменения переменных О и в (эти границы совпадают') с границами области изменения переменных 60 и Оо) ф будет принимать те же постоянные значения, что и ф~. Раз функция «р+гф найдена в зависимости от а+~0, легко найти координаты в зависимости от переменных о и 8, изучить контуры струй и определить характерные для задачи постоянные. Используя (44.9), (44.6) н заменяя о~ =~ ~Фтах рез с, получаем ° ро е~9 ЙЬ~ еЮ ~)мах ~ = «~«Р+ ~ ~~Ф ~)мах «~«р + Р " " (1 — т)~ 3~ т откуда, вводя и) =«р — ~ф — функцию, сопряженную в, находим 2о,я,„г = (46,5) Теперь заметим, что из равенства (46.1) следует 1 1 А 1 ~Ь ~~ 2. У' «Ь У" (1 )Р (46.6) Далее, в соответствии с обозначением (46.3), имеем с~ 1 1 — (2~+1) с К 1 1/;-(1 —.)~=(1 —.) ~+'~ ~= ~/. (46.7) Но в приближенном методе принимается, что К т 1, и тогда из (46.6) и (46.7) находим откуда 1 С1ео'+ Сйе-о (46.8) 2 где С, н С,— постоянные.
Подставляя это выражение 1Д~т в равенство (46.6), находим 1 С,е~ — С,е-~ (46 9) )/' (1 ~)Р 2 С+С, 1 С,— С, ~ т1 2 1~тт (1 — т1)р (46.10) 1) Как следует из (46.1), при о=О, чтосоответствует ФИ=О, имеемт=т1. Так как при а=О мы имеем т=т„из равенств (46.8) и (46.9) получаем $461 пРИБЛИяенный ме тод чАПлыГИНА Далее, квадрат скорости звука др/др =а' в случае адиабатических процессов 1см. (44.5)1, очевидно, равен Ир/пр = а' = ур/р.
Отсюда при о=0 имеем ао=уро/ро. Скобку (Р+1) нужно заменить через у/(у — 1). После всех этих замен Х принимает следующий вид: 2Ро — (1 — 'гд) '~ Р 2 Х= 2я Ьд 2 7Ро 4(1 — т )Р+я ' 7 1 Ро Далее, используя интеграл Бернулли (44.6), можно заменить плотность р, при о = 0 плотностью р, = р, (1 — сд) Р при о = о„и тогда посл~ сокращений получим окончательно Х= 4 (1 — 'гд)~+ л (46.25) Для более общего случая произвольного угла атаки пластинки (см.
рис. 10.5) С. А. Чаплыгин получил столь же простую формулу ж 61Пао ~ЬРд 4 (1 — ~д)~+Ябдпао СОВ ею — 2 ~+ и(и) =А' ~ (46.27) (46.28) е~ое и е е — и 1 — е'ое и где А, е„ч, х — постоянные, а й=О+~Т вЂ” функция, регулярная внутри полукруга и на контуре. Далее, для определения Т получается интегральное уравнение, аналогичное уравнениям Вилла и Некрасова. В качестве примера Н.
А. Слезкин решил методом последовательных приближений задачу о струйном обтекании и сопротивлении дуги окружности. Аналогичный где Р— нормальное давление на пластинку. В случае несжимаемой жидкости тд=0 и формула С. А. Чаплыгина превращается в известную формулу Релея )см. (12.11)). Приближенный метод Чаплыгина может быть применен к решению любой задачи теории газовых струй, лишь бы эта задача , решалась для несжимаемой жидкости. Н. А. Слезкин 13041 рассмотрел задачу об обтекании газовым потоком криволинейного контура, соединив приближенный метод Чаплыгина с методом Леви-Чи виты. Н. А. Слезкин отобразил области изменения функций ж= =~)+и~ и а=а+~0 на верхний единичный полукруг плоскости параметрического переменного и.
Формулы отображения имеют следукщий вид: игл. М СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ СЖ ИМАЕМОЙ ЖИДКОСти метод, н котором вместо определения функции Т с помощью интегрального уравнения предлагается определение ее посредством разложения в тригонометрический ряд, изложен у Биркгофа и Сарантонелло [36~. Дальнейшим развитием работы Н. А.
Слезкина является работа А. И. Бунимовича [401, который использовал немного 'видоизмененный метод С. А. Чаплыгина. Это изменение состояло в том, что функция К полагалась равной постоянной величине, меньшей единицы. При этом, так же как у С. А. Чаплыгина, задача определения у+~ф)/К может быть сведена к краевой задаче теории функций комплексного переменного. А. И.
Бунимович рассмотрел истечение газа из сосудов конечной ширины и, в частности, из криволинейных сосудов. Схемы этих задач изображены на рис. 10.8. В случае несжимаемой 21 е! Рис. 10.8. жидкости схемы в), г), д), е), ж) были описаны в главе 11. Симметричный сосуд, изображенный на рис. '10.8, б, представляет собой две параллельные стенкг, непрерывно переходящие в две симметричные дуги окружностей одинакового радиуса.
В работе [401 выведено интегро-дифференциальное уравнение для общей задачи об истечении из сосуда с произвольными криволинейными стенками, решены задачи, схемы которых изображены на рис. 10.8, б, в, г, д, е, ж, и рассмотрен пример решения обратной задачи об истечен ии из симметричного криволинейного сосуда (рис. 10.8, б). В работе дана формула для расчета суммарного давления газа на стенки, являющаяся обобщением формулы Леви-Чивиты ').
1) Таким же методом можно было бы вычислить и силу давления иа пластинку в примере, рассмотренном выше. ОВОВ1цения пРивлижеиноГО методА - чАйлыгинл $471 работы [450, 4541). Для этого в уравнениях (4?.10) следует положить К,= сопят. После такой замены общие решения (47.10) запишутся в простой форме 7 = — ~ К~ (~1 + ~~) ~р = 1/ К1 (~~ — ~ ) (47.11) где ~,($) и ~,(~1) — произвольные функции характеристических переменных 2( )' 1 2( 1 1 (47.12) Решение основных краевых задач можно найти, например, в работе [450~.
Для сверхзвуковых режимов хорошие приближения были получены С. А. Христиановичем [379~, который, в частности, полагает К И) =С14, (47.13) где С вЂ” произвольная постоянная. При этом условии можно осуществить второй порядок касания адиабаты и кривой, аппроксимирующей адиабату. Решение основных краевых задач упрощается благодаря тому, что в характеристических переменных $, т1 уравнения для ~р и ф обращаются в хорошо изученные уравнения типа Дарбу.
Из конкретных задач, решенных этим методом, следует отметить задачу (см. работу [5021) об истечении газа из плоского сопла при нерасчетном режиме, т. е. при таком режиме, когда давление в области, в которую вытекает струя, не равно давлению в выходном сечении струи. В дозвуковом потоке аппроксимации Христиановича соответствует упоминавшаяся выше аппроксимация Зауэра.
В работах [357, 3581 эта аппроксимация использовалась при решении задачи о построении дуги, обтекаемой дозвуковым потоком газа с отрывом струй, по заданному на дуге распределению скорости как функции длины дуги. В этих же работах решена задача об ударе о пластинку струи газа, вытекающей из канала с параллельными стенками. Преобразование Лежандра можно применить в случае сверхзвукового течения так же, как и в случае дозвукового.
При этом вместо уравнений (47.6) будем иметь дФ 1 ду, дФ 1 дХ до,2 у"у~ д~ ' д~ „,а у~у~ дО В упомянутой работе Пере [566] в уравнениях (47.14) привито р'~К,=сопз1. Для сверхзвуковых режимов этот способ дал несколько лучшие приближения, чем для дозвуковых, однаКо при этом второй порядок касания удается получить только в одной точке М=1,58 [512, 519~. Г. А. Домбровский [1081 указал для сверхзвуковых потоков приближения, аналогичные тем, ОБОБЩЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННОГО МЕТОДА ЧАПЛЫГИНА 441' Любопытно отметить, что периодичность струи сохраняется при решении задачи в приближенных постановках С.
А. Чаплыгина ~уравнение (47.12)] и С. А. Христиановича [уравнение (47.13)~. Однако в приближенной постановке, отвечающей уравнениям (47.7), как показал Г. А. Домбровский [1103, для расчетного случая периодичность не будет иметь места и на достаточно большом расстоянии от выходного отверстия в ранее непрерывном течении в струе могут появиться скачки уплотнения. Нерасчетные режимы истечения были исследованы в работах [111, 112]. Наиболее трудными и интересными задачами являются задачи с переходом через скорость звука, когда в одних областях течения поток является сверхзвуковым, а в других — дозвуковым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
