М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Простая аппроксимация для ~с таких течений была предложена Л. И. Седовым [292~, ко- р торый предложил аппроксимирующую зависимость в плоскости (р, 1/р) в виде ломаной с изломом в точке перехода от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым (рис. 10.10). В своей монографии [292~ Л. И. Седов приводит уравнение, пригодное одновременно как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых скоростей двф д ~Ь дф К д2$ до'2 Дц ф —,+ — 1п — (р'К вЂ” 1) — +, =О. до' Й~ 2~ 1 2 дВ~ Р (47.17) др Это уравнение справедливо для произвольной известной функции о (р). Для упрощения уравнения (47.17) можно использовать свободу выбора функций К(о) и в(р). Одним из самых простых уравнений смешанного типа, на важность применения которого к решению газодинамических задач впервые указал Ф.
И. Франкль ~3691, является уравнение Трикоми ') д 2 + б щ~ О* дй,ф д2,Р (47.18) до2 ') Общая теория этого уравнения дана Трикоми в работе [3441. В работе [3691 Ф. И. Франкль показал, что задача об истечении сверхзвуковой струи сводится к так называемой граничной задаче Трикоми для уравнения Чаплыгина. В окрестности линии перехода через скорость звука уравнение Чац~1цгица сводится нецосредственно к уравнению ТриКощц.
стРуйные течения сЖимАемОЙ ЖидКОсти ИГЛ. Х 'Уравнение (47.17) превращается в (47.18), если положить (47.19) где А — произвольная постоянная, которая определяется из условия аппроксимации. Используя (47.19) и (47.1), можно с точностью до постоянных установить связь р(р). Аппроксимация при помощи уравнения Трикоми обеспечивает достаточно хорошие приближения только в области перехода (второй порядок касания с адиабатой в точке перехода).
При больших сверхзвуковых и малых дозвуковых скоростях такие аппроксимации становятся неудовлетворительными. Случай струи, вытекающей со скоростью звука из отверстия между параллельными стенками, является, наоборот, прекрасным примером того, когда уравнение Трикоми должно дать хорошие результаты. Эта задача была решена В.
А. Скрипкиным [3031. Для получения хороших аппроксимаций в более широком диапазоне скоростей Л. И. Седов [291~ применил метод Фурье и, приняв условия где а и А — произвольные постоянные, свел задачу об определении ф к решению уравнения Бесселя. Та же аппроксимация была использована Томотикой и Тамадой [342) при построении течения около симметричного профиля с местной сверхзвуковой зоной.
В заключение приведем некоторые результаты, полученные в последние годы при исследовании задач о струйных течениях газа. Здесь прежде всего следует назвать работу Берга [4271, в которой при помощи принципа Лере — Шаудера было доказано существование решения задачи о симметричном обтекании препятствия дозвуковым потоком газа. Одно из уравнений, полученных Бергом, обобщает уравнение Вилла. Дозвуковые течения газа с частично неизвестной границей, на которой скорость задается как функция декартовой координаты х, изучены В.' Н.
Монаховым [231 — 234~ в системе. координат х, ф (ф — функция тока). Им доказаны теоремы о существовании и единственности решения задач, в которых контуры ОБОБщенйя пРЙБЛЙЛ(йннОГО метОдА чАплыгинА не имеют критических и угловых точек. Обобщение на случай течений с угловыми и критическими точками дано И. Л.
Гуревичем [81), причем им доказано только существование решения. С. Н. Антонцев [51 доказал существование решения задачи об обтекании профиля дозвуковой струей газа, разбивающейся на некотором расстоянии от профиля на несколько струй, уходящих в бесконечность. В работе [791 изложены результаты исследования сходимости метода последовательных приближений, вопросы существования и единственности решений некоторых задач об истечении газа из сосуда при аппроксимации Зауэра.
Глада Х1 ОСЕСИМЯЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ $48. Постановка задачи и приближенные методы ее решения где о„и о„— проекции скорости на оси х и у. Исключая из (48.1) поочередно ф и 'ф, получаем — + — + — — — О, д'ф д'«р 1 д(р дх~ ду~ у ду (48.2) д~ф дйф 1 дф Ъ~+д 2 ду Гидродинамическая задача может считаться решенной, если будет известна любая из двух функций ф(х, у) или ф(х, у). Кроме уравнений (48.2) и (48.3), для их определения имеются (48.3) Решение пространственных струйных задач представляет большие математические трудности.
В настоящий момент известны только работы, посвященные осесимметричным струйным течениям. Однако и для этого наиболее простого частного случая пространственной задачи не удалось создать математический аппарат, равноценный удобному аппарату теории функций комплексного переменного.
Авторы работ по осесимметричным струйным течениям либо ограничиваются приближенным численным решением задач, либо доказывают теоремы общего характера. Рассмотрим установившееся осесимметричное безвихревое течение идеальной невесомой несжимаемой жидкости. Пусть ось х совпадает с осью симметрии течения. Потенциал скоростей ф и функция тока ф являются функциями только цилиндрических координат х и у, где у — расстояние от оси х. В силу осевой симметрии, достаточно изучить течение в произвольно выбранной меридиональной полуплоскости, в которой мы поместим систему декартовых координат х, у.
Как известно (см. курсы [189, 2081), эти функции удовлетворяют следующим уравнениям: д~р 1 дф дх у ду (48.1) ду у дх Р' о~всймйе~г йчйыв т1.".чЬййЯ 1ГЛ. Х1 где ~Ь вЂ” элемент поверхности Х и дифференцирование ср и 1Я производится по нормали, направленной внутрь жидкости. В дальнейшем нам нужно будет перейти в (48.7) к пределу, когда точка Я стремится к какой-нибудь точке граничной поверхности. Для осуществления этого предельного перехода преобразуем предварительно равенство (48.7). Рис. 11.2. На рис. 11.2, а схематически изображен 'элемент поверхности Х", на котором находится точка Т.
Рассматривая треугольник ТТ,Я, видим, что' Я+ М)' = Я'+ (Лп)' — 2ЯЛп сов ( — — и); Первая серьезная попытка - произвести теоретический расчет осесимметричного струйного течения принадлежит Трефцу ~61Ц. Для простоты изложения основная идея метода Трефца будет описана на примере решенной им задачи об истечении струи из круглого, отверстия в плоскости.
Однако нетрудно видеть, что метод работы ~61Ц носит общий характер и даже, вероятно, может быть развит для решения пространственных задач без осевой симметрии. Выделим в области течения односвязную область, ограниченную замкнутой поверхностью Х. Пусть 5 — произвольная точка внутрен Х, а Т вЂ” произвольная точка на границе )''. Обозначим расстояние между этими точками через Я. Тогда, как известно 1208~, потенциал скоростей в произвольно заданной точке Я может быть выражен через источники и диполи, распределенные по граничной поверхности: 4я<р (Я) = <р (Т) й~ — — — йт, (48.7) д(1Я) 1 д(р(Т) $481 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 447 отсюда имеем М вЂ” Лп ыпа (48.8) Но (см.
рис. 11.2, б) с точностью до бесконечно малых высшего порядка Д„~ Яп(.~ ~.„, Я2Щ (48.9) Ъ где ЛΠ— телесный угол, под которым виден элемент поверхности Х". Из (48.8) и (48.9) следует, что д лд — ДО (48.10) С учетом последнего равенства формула (48.7) преобразуется к виду 4я~р (5) = ~р (Т) Йе — — ~ сЬ. (48.11) Если мы теперь устремим точку Я к какой-либо точке граничной поверхности, то в пределе бесконечно малый элемент Х" поверхности с центром в этой точке будет виден под углом 2я. Отсюда, после перехода к пределу, получаем ~~ ~р(Т) ~Ю=2п<р(Я)+ ~~ <р(Т)~Ю, (48.12) где область интегрирования Х' представляет собой область Х, из которой вырезан бесконечно малый элемент Х" с центром в точке Я.
Пользуясь формулой (48.9), легко видеть; что второй интеграл правой части равенства (48.11) равен (48.13) Х ~ю и (48.11) после предельного перехода в силу равенств (48.12) и (48.13) принимает вид 2я~р(Я) = ) <р (Т)с — ( ~ — ~ ~ ~ ~Й. (48.14) Перейдем теперь к задаче Трефца об истечении струи из круглого отверстия в плоскости Е. Схема течения в одной из меридиональных полуплоскостей хОу изображена на рис.
11.3. Для численного решения задачи Трефц обрезает. течение слева по поверхности сферы Сс, очень большого радиуса. Я, и справа ОБЗОР РАБОТ ПО ОСЕСИММЕТРИЧНЫМ ТЕЧЕНИЯМ 5 491 и таким образом получить для определения функции у(х,) интегральное уравнение при х,~~х~~О. Это интегральное уравнение решается численно обычным способом: значения уопределяются в отдельных точках конуса и решение интегрального уравнения сводится к решению системы линейных уравнений относительно неизвестных значений у„у„..., у„. Зная функцию ф, можно найти о„и о„при помощи формул (48.1). Зная о„и о,„находим из (48.27) на свободной поверхности ду/дх, откуда получается второе приближение для формы струи у = 1+ — йх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
