М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 34
Текст из файла (страница 34)
На рис. 9.9 изображена часть контура, обтекаемого потоком жидкости, и выделен бесконечно малый Рис. 9.9. элемент Ля, который в рассматриваемый момент времени наклонен к соответствующему элементу Ля, контура Г„под малым углом а. В соответствии с представлением комплексного потенциала течения в виде суммы 376 Сгл. 1х НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ во= Я (и — а)'. (42.21) По значению нормальной составляющей скорости жидкости о„=д~р/ди на движущемся препятствии, которое вычисляется по формуле (42.8), находим Й~ 1гп — = — о и — =м(и, 1), — 1 =и - 1.
(42.22) Из условия (42.20) следует, что на свободных границах д д~р д(ро где г — неизвестная пока функция, в общем случае различная для разных границ. Так как на действительной оси плоскости и д(р Йо д~р йоо — =Ке — = — Ве —, ди ди д(ро ди Решению конкретных задач методом Вудса посвящены работы Келли 11421, а также Цзеня и Ври [б12~.
Систематические исследования слабо возмущенных струйных течений, основанных на идее представления комплексного потенциала неустановившегося течения в виде суммы (42.1) и на использовании упрощенного условия типа (42.20), были проведены А. В. Кузнецовым 11951. Им был развит общий метод решения и рассмотрены задачи струйного обтекания колеблющегося препятствия неограниченным потоком, потоком жидкости с твердыми и свободными поверхностями (в частности, задача о суперкавитирующем профиле вблизи свободной поверхности) и обтекание решеток.
Ряд других задач решен Л. М. Котляром, К). М. Курепановым и С. И. Красновым (см. монографию ~195~), а также С. С. Сайкиным ~281 — 283~. Ниже общие аспекты метода, в основе которого лежат идеи работ ~991 и 1643~, применяются к задаче струйного обтекания колеблющегося препятствия неограниченным потоком жидкости. Рассмотрим некоторые примеры.
Препятствие произвольной формы (рис. 9.4) обтекается с отрывом струй однородным потоком жидкости со скоростью К„на бесконечности. На это установившееся течение накладываются малые нестационарные возмущения, вызванные заданным законом движения препятствия. Пусть при конформном отображении области установившегося течения на верхнюю полуплоскость параметрического переменного и препятствие переходит в отрезок ~ — 1, 1~ действительной оси, критическая точка Π— в точку и=а, а свободные границы ВС и АС вЂ” в отрезки 11, оо) и 1 — 1, — оо) соответственно.
Тогда 378 ~гл. ~х НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ) (я) У ))'(г) я) ~ е-ьт) ('г) пг О, Для всякого оригинала ~(т) изображение ~(я) определено в полуплоскости Ке я > о, и является в этой полуплоскости аналитической функцией. Если точка з стремится к бесконечности так, что Вез=а неограниченно возрастает, то ~(з) стремится к нулю. Если ~(т) является оригиналом и ~(я) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция ~(с) равна О~+! оо разности аргументов, и применить для решения этой системы интегральное преобразование Лапласа. Однако логически проще, особенно при решении более сложных задач, с самого начала формулировать и решать краевую задачу не для функции Йо(и, Е)/ди, а для ее изображения по Лапласу — „(и, 8) = ЙО Й~ =.У вЂ” „(и, т), я, где с=1/Т вЂ” безразмерное время, а Т— масштаб времени.
Это связано с тем, что при преобразовании исходной системы уравнений в систему интегральных уравнений типа свертки используется явная аналитическая зависимость и=и(~р,), которая не всегда может быть найдена. Для удобства приведем некоторые сведения об интегральном преобразовании Лапласа, отсылая за деталями к специальным руководствам (см., например, 1104, 2041). Функцией-оригиналом будем называть любую комплексную функцию ~(~) действительного аргумента т, удовлетворяющую следующим условиям: 1) ~(~) непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка на всей оси т, кроме отдельных точек, в которых ~ (~) или ее производные претерпевают разрывы первого рода, причем на каждом конечном интервале оси т таких точек имеется лишь конечное число; 2) ~(~)=0 для всех отрицательных с; 3) ~(т) возрастает не быстрее показательной функции, т.
е. существуют такие постоянные М > О, о, ~ О, что для всех ~ выполняется неравенство ~ ~(г) ~ <' Ме0'". Изображением функции ~(~) по Лапласу называют функцию комплексного переменного я=а+ и) () =)à — 1), определяемую соотношением 380 ~гл. ~х НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ то изображение ~(я) имеет при з- оо асимптотическое раз- ложение ~ (я) сл ~ с, п=О где Г (х) — гамма-функция. Если изображение ~(з) можно разложить в окрестности особой точки ао в степенной ряд 00 ~(я) = ~~'~ с, (я — а,)я ( — Ш ( Хя (Х, ( ...
— оо), п=О то оригинал ~(~) при ~- оо можно представить в виде асимптотического разложения ). (я) с~» яи»т ~~» " 'я-А»»-1 г~ — х„) а=О 1 — (йр — яр+ — = О, ~(Уо откуда »р(»р„я)=С;(я) ехр ( — — »р,), зС~ (з) 8 »,(»р„я) = — — ехр — — »р,), (42.25) где С,*(я) — пока неизвестные функции от я. Положим (Ро ~„(1 — )о (~=1, 2), (42.26) (42.27) С;(я) = — 'С,*(я)е '~ с~; Применив к уравнениям (42.22) и (42.23) преобразование Лапласа по переменному т, получим граничные условия для функции дэ(и, 8)/ди. Мы не будем их выписывать, так как они отличаются от условий (42.22) и (42.23) лишь тем, что функции, зависящие от времени, заменяются соответствующими изображениями.
То же самое относится и к записи решения краевой задачи для функции Йи(и, з)/ди. Для того чтобы найти изображения функций г;((ро — К'„1) = = г;(и, с), обратимся к условию (42.20). Произведем замену переменной 1=Тс (Т= Я/Р„, где Я вЂ” масштабный множитель в формуле (42.21)) и применим преобразование Лапласа. На основании свойства 3 (при начальном условии (Р ~(р„1 =О) =О) получим 382 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ 1ГЛ. 1Х а затем, используя теорему запаздывания, найти оригиналы г, Д, ~) и ~, ($, ~). Ввиду того что функции Ь„(~, -Еа) в конечном виде не выражаются, при практических расчетах неустановившихся течений для малых отрезков времени вместо точных значений этих функций целесообразно использовать их асимптотические представления.
Они легко получаются с помощью асимптотических (при з- оо) разложений изображающих функций. В случае установившихся гармонических колебаний, когда влиянием переходного процесса, вызванного включением колебаний в момент 1=0, можно пренебречь, проблемы обращения изображения (42.34) по существу не возникает. Если б~(т) = = б;е1"' (б~ — комплексное число), то С; (т) =16,с, (а, ~„а) — ( — 1)' б,с, (в, ~ а)1е~"', (42.36) где с„(а, -~ а) = "~', при з — 1в.
(42.37) Х„(я, ~- а) При помощи условий, из которых были определены функции ~~Я, 1), формулу (42.24) можно преобразовать к виду ац) (цй 1) /~ ~ УЯ, 1)6Ц ~1и ~и' ~ Д вЂ” и) )/1 — $~ -1 (42.38) Указанные условия суть условия разрешимости краевой задачи в классе функций, ограниченных на концах и= ~1 1631. Подставив значения дср/ди и д1р/д1 (найденные из (42.38) для — 1 =:и(1) в формулу (42.13), получим расчетную формулу для давления на колеблющемся контуре. Так как на свободных границах используется упрощенное динамическое условие, два последних слагаемых в (42.13), возникших из-за учета М"„ должны быть опущены, иначе давление не будет непрерывным в точках схода струй.
В результате ряда преобразований получим 1 Дс 2 Р— Ро Р ~1~У 1 "Я,) "И, )1 5+и 5 †+2(1 [ (42.39) неуст4дяцившиеся течения приведен в обзоре автора [941. Исследования последних лет отражены в Трудах международного симпрзиума по неустано- д2 дд ~Р Рис. 9.10. п,г Рис. 9.11. вившимся течениям воды с большими скоростями [244~ и в монографии И. И. Ефремова [1181.
389 СЛАБО ВОЗМУ?ЦЕННЫЕ СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ $421 ния скорости У~„(1) =У„+о(1). Стенки сосуда -неподвижны, давление на свободных границах постоянно. Рис. 9.12. В плоскости параметрического переменного и функция в(и, 8) = У ~и(и, с), я~, где с=лР~1~д является решением крае- вой задачи Ке со (и, я) = С, (я) ехр ( — лср,8/д), — оо < и ~ — 1, 1 ~» и < оо С,(з), — 1~и<0, — С,(г), 0< и~~1 и находится по формуле Келдыша — Седова. Коэффициенты С; (я) определяются из условия ограниченности скорости течения в точках А, А' и заданных условий на бесконечности.
В случае а) с,(в)= — + В ( —, ~) ~(я), с,(я) =О, в случае б) ~,(8)=' — 2 — ~ ~ 2. р ~(~), С,(~)= ~~ д 1 8 — до (з) Я щ 00 где В (1/2, я/2) — бета-функция. Зная комплексный потенциал возмущенного течения, нетрудно рассчитать давление и колебания свободных границ с помощью уравнения (42.15). Заметим, что в случае б) давление в бесконечно удаленных точках сосуда будет бесконечно большим.
Использование упрощенного условия (42.20) вместо полного условия (42.14) вносит определенную погрешность в результат. Из-за отсутствия априорных оценок ее можно оценить только путем сравнения решений с полным и упрощенным условиями. Эффективным методом, позволяющим исследовать некоторые течения с полными условиями, является представление искомого решения в виде бесконечного ряда.
К числу таких течений относится, в частности, задача об истечении струи жидкости из щели между двумя плоскостями (рис. 2.4). СЛАБО ВОЗМУЩЕНЯЫЕ СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ $ 423 жидкость той же плотности, что и в остальном течении. Опыты показывают, что такие течения являются неустойчивыми. Это же следует из элементарного теоретического анализа неустойчивости свободной поверхности, которая является поверхностью разрыва касательных скоростей (см., например, [11, 2081).
Рис. 9.13. Современная теория струй применяется к задачам о кавитационном обтекании тел, о глиссировании, об истечении воды в воздух,— словом, к таким задачам, в которых мертвая зона занята средой, плотность которой значительно меньше плотности текущей жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
