М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Ш). Постановку и решение задачи об определении присоединен- У ной массы контура, обтекаемого с отрывом струй, читатель найдет в следующем параграфе. УДАР КОНТУРА, ОБТЕКАЕМОГО С ОТРЫВОМ СТРУЙ $ 411 Преобразуем теперь условие (41.3). При конформном отображении нормальное к границе направление остается нормальным. Поэтому, чтобы из нормальной производной д~р/дп в плоскости г получить нормальную производную потенциала скоростей — ? т (Йо/сКи) = — ? гп Яд(р/ди,) + К (д$/ди,)Д = ду/ди, в плоскости и=и,+~и„следует только умножить дср/дп на отношение масштабов 1дг/ди~.
Таким образом, условие (41.3) можно записать в виде (41.5) Поскольку функция г(и) известна, мы можем считать, что о„ на контуре является известной функцией не длины дуги, а параметра и. Отсюда задача определения и или, что равносильно, Йа/ци сводится к нахождению функции комплексного переменного в верхней полуплоскости и при условиях, что на одной части действительной оси задана действительная, а на другой — мнимая часть Йо/Ии. Как и в случае удара о невозмущенную поверхность жидкости 1292~, в бесконечности производная йи/ди должна иметь нуль порядка и-', у кромок А (и= — а) и В (и=Ь) пластинки Йо/ди имеет порядок (и+ а) -'/* и (и — Ь) '~* соответственно. Задачу легко решить при помощи методов теории тонкого крыла и теории удара о несжимаемую жидкость.
Введем функцию ~(.) = — ",„й(и+а) (.— Ь). ) (и+а)(Ь вЂ” и) на АОВ. Йе~(и) =о„ Определяя с помощью формулы Шварца функцию ~(и) в верхней полуплоскости по ее действительной части, заданной на действительной оси, находим ~(") =г ц",и) ь — о„Я) у УЯ+а) (Ь вЂ” $) — „. (41.6) Формула (41.6) является общим решением поставленной задачи при условии, что установившееся обтекание контура известно. Очевидно, что, пользуясь граничными условиями вида Согласно (41.4) и (41.5) эта функция будет удовлетворять следующим граничным условиям: Ке~(и) =О на ВС и СА, 364 Ггл. ~х НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ (41.4) и (41.5), можно решать задачи об ударе и при более сложных схемах течения, например исследовать случай удара нескольких пластинок.
Рассмотрим в качестве примера прямой удар плоской пластинки шириной 2й, обтекаемой симметричным потоком (рис. 9.6). Благодаря симметрии течения на рис. 9.5 можно считать а=Ь=1. Решение задачи об установившемся обтекании приведено в о г ~ 4 гл. 1. В соответствии с обозначениями настоящего параграфа и с тем, что пластинка АОВ на рис. 9.6 расположена гю вдоль оси у, а не вдоль оси х, как в ~ 4, будем иметь о Иг .
)~Т вЂ” и'-!-1 ~о — Ч)ои,у~ !(~~)о и Рис. 9.6. (41.7) г(и) = — ~'!!и= — — 'Р6 (! +)/! — и')!(и= !~)о !~~ о о = — '(2и+и ~! — и'+ агса!и и). 0 (41.8) Так как г(1)=Й, из (41.8) находим ~а= — „" 2+ — ", или (ср. с (3.7)) Ч)о о 4+я' Подставляя это выражение для ~р,/о„в (41.8), получаем г(и) в окончательном виде г (и) = — ' (2и+ иУ! — и'+ агса!п и), 4+к (41.9) откуда будем иметь (41.10) Пусть У„=сопз1 > О, что соответствует прямому удару твердой плоской пластинки в направлении отрицательной оси х. Тогда где ~ро — постоянная. Формулы (41.7) легко проверить непосред- ственно. Из них можно найти г(и): 366 Н ЕУСТАНОВ И ВШИЕСЯ 'ТЕ Ч ЕНИЯ / / поверхности вблизи пластинки мало отличается от невозмущенной поверхности жидкости до у ара о нее плоской пластинки.
Этим обстоятельством и объяс яется тот факт, что отношение и/т, получилось близким к,единице. Свободная поверхность у клина, обтекаемого с отрывом струй, существенно отличается от невозмущенной поверхности вблизи плавающего клина, и поэтому отношение присоединенных масс и/т, у клина должно быть тем больше, чем меньше угол раствора клина 2лр (рис. 9.7).
Задача о прямом ударе обтекаемого с отрывом струй клина с щ произвольным р была решена " р~~1 Я. Р. Берманом [301. Численные расчеты им были проведены для случая р,='/, (угол раствора 120') и для бесконечно малого р,. При р=1/, было найдено отношение т/и, = 1,146, а для бесконечно малого угла р, отношение и/и, оказалось равным 1,444. Наконец, серия работ, в которых были рассчитаны присоеди- ~гл. ~х ю 42 РФ щ' Р8 ~0 тяп ~ П Е Рис. 9.7.
Рис. 9.8. ненные массы клина, наклонной пластинки, решетки из клиньев и некоторого криволинейного контура, была опубликована С. И. Пархомовским [259 — 262~. На рис. 9.8 воспроизведены результаты расчетов коэффициента присоединенной массы т, (л/а) = У„/(ро,Р) симметричного клина, помещенного между параллельными стенками и обтекаемого по схеме Кирхгофа с отрывом струй.
Клин имеет угол раствора 2я/п и длину щеки 1; расстояние между параллельными стенками составляет 2Ь; скорость, которую клин внезапно получил при ударе, направлена вдоль оси симметрии х против набегающего потока и равна о,; СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ СЛАБО ВОЗМ 5 421 Здесь 1 — время, и„, и„, и.— проекции вектора скорости на неподвижные декартовы оси координат в пространстве, 8,.у, Й— единичные векторы Биркгоф доказал несколько интересных общих теорем относительно присоединенных масс жидкости и поставил граничную задачу для определения А. Задача определения потенциала ускорений А эквивалентна задаче определения потенциала скоростей у= ~ Ай.
Задачу об ударе контура, обтекаемого с отрывом струй, можно в известном смысле рассматривать как частный случай задачи о слабо возмущенных установившихся струйных течениях. Этим вопросом мы займемся в следующем параграфе. $42. Слабо возмущенные струйные течения Пусть мы имеем решение задачи о некотором установившемся струйном течении, хотя бы из числа рассмотренных в предыдущих главах. Для определенности будем считать, что мы знаем конформные отображения областей изменения комплексного потенциала з, и комплексной скорости Йо,/Иг„а поэтому и комплексного переменного г, на верхнюю полуплоскость параметрического переменного и. Рассмотрим теперь неустановившееся струйное течение, мало отличающееся от известного установившегося.
Это неустановившееся течение может существовать при малых колебаниях обтекаемого препятствия, при пульсациях скорости набегающего потока или, как это, например, имеет место в задачах об устойчивости течения, при неподвижных стенках и колебаниях свободных границ, вызванных начальными возмущениями. Неустановившееся течение будем считать потенциальным.
Из курса гидромеханики известно, что неустановившееся течение идеальной жидкости, возникшее в некоторый момент времени из потенциального установившегося, будет также потенциальным, если внешние объемные силы отсутствуют (или обладают потенциалом). 7„— проекция на ось х ирующей импульсивных давлений на клин. Верхняя кривая относится к случаю плоской пластинки при а=2, средняя — к случаю и=3 и нижняя — к случаю а=4.
Другой подход к исследованию присоединенных масс тела, обтекаемого с отрывом струй, принадлежит Биркгофу 136, 4331. Биркгоф использовал понятие потенциала ускорения А, градиент которого равен вектору а ускорения жидкости при ударе 0 =- Ф вЂ” +,~у — +А — = $~А. дих ди~ ди,, д1 д1 д1 369 слАБО Возм (42.1) ® ~о+® скорость жидкости в некоторой точке области В~ равна ~(~, ~) =ъ',(~)+т~г, ~). (42.2) Здесь Ф~, (~') — вектор скорости установившегося течения, который определяется комплексным потенциалом и, (г). Строго говоря, потенциал в,(г) известен только для внутренних точек области В, -установившегося течения, в то время как область О, $42) УЩ ~ЫЕ СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ Приведенный в первом издании настоящей монографии вывод граничного условия на твердом контуре был основан на том, что в каждый момент времени считались известными нормальная составляющая скорости точек контура и угол поворота его относительно стационарного положения.
Мы дадим здесь другой вывод, исходя из задания смещений точек контура. Эти смещения легко определяются по известному закону колебаний обтекаемого препятствия. Введем следующие обозначения: Г, = Г„+ Ä— граница области 0~ неустановившегося движения жидкости, Ä— граница колеблющегося препятствия, Ä— свободная граница, я — длина дуги контура Г,, ~'=~'(8, 1) — радиус-вектор точки контура Г, относительно начала неподвижной системы координат, ~ и ив орты касательной и нормали к Г„образующие правую систему.
Положительную нормаль направим внутрь жидкости. Для сбозначения проекций какого-либо вектора Ь на касательную и нормаль будем использовать нижние индексы ~ и и соответственно: Ь. с=6,, Ь а=6„. Значения различных величин, отно- У У' сящихся к неподвижному контуру Аз и к установившемуся течению, бу- ,Р дем отмечать нижним индексом О. Ф Не предопределяя пока харак- ф тер колебаний обтекаемого пре- ~Ь $Я пятствия и допуская, что в общем случае препятствие может деформи- ,Е7 Р' роваться, зададим смещения точек у~ Агр контура Г„относительно неподвиж- Ур ного контура Г„вектором Ь(г'„~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
