М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Для приближенного описания таких течений предлагались различные усложненные схем..1 идеальной жидкости с постоянной завихренностью рециркуляционного течения в отрывной области 1203, 2051 и с изолированными равновесными вихрями ~381~ (рис. 8;46). Однако Рис. 8.46. $ 39.
Разные задачи теории струй В настоящем параграфе невозможно дать систематический обзор тех задач теории струй, которые не были рассмотрены выше'). Сейчас будут вкратце рассмотрены или только указаны 1) Сохраняя в основном текст. этого параграфа, приведенный в первом издании книги, обращаем внимание читателя на обзоры автора ~92, 941. упомянутые схемы, несмотря на существенное усложнение расчета, совсем не соответствуют действительности.
Они, вообще говоря, неоднозначны, содержат нереальные особенности, не дают сопротивления, и в них невозможно определить (приходится задавать) давление или завихренность в области отрыва, очевидно, зависящие от вязкости жидкости. Обсуждение теории отрывных течений вязкой жидкости выходит за рамки настоящей книги. Здесь ограничимся лишь ссылкой на обзор ~65~ и отметим, что при малой вязкости (больших числах Ее) в этой теории обязательно и существенно используется теория кавитационных течений, причем граница «каверны» (области постоянного давления) замыкается не на условную пластинку, а на полубесконечное «тело вытеснения», соответствующее реальному вязкому следу за отрывно обтекаемым телом ~66~. $ 393 РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СТРУИ некоторые отдельные задачи, объединенные тем, что они решаются с -помощью методов теории струй плоских течений невесомой идеальной несжимаемой жидкости.
Описание этих задач полезно потому, что оно стимулирует поиски приложений теории струй. Из соображений компактности изложения в настоящий параграф не включены некоторые задачи теории струй, которые Рис. 8.47. 4 (39.1) Заметим, что разность ис — в~=и~ — сил — — Г/2; вдоль сторон АВ и ПС мнимая часть в принимает постоянные значения, а вдоль сторон А.0 и ВС постоянные значения принимает Кем=~р. читатель может найти в неоднократно упоминавшихся монографиях Чизотти [452~, а также Биркгофа и Сарантонелло ~361. Задачей, близко примыкающей к вопросам, рассмотренным в ~ 37, является задача о циркуляционном обтекании области постоянного давления (полого вихря), расположенной между Я' 7Ю двумя стенками (рис.
8.47). Рас- ~ 4 7+Т смотрим нижнюю половину тече- О ни я. В силу симметрии вдоль ВА и ВС скорость вертикальна и прямые ВА и ВС являются экви- Ю Е потенциальными линиями. Вдоль Я Я линии тока О,С, функция то- Т ка ф=О, а вдоль линии тока Рис. 8.48. АВ ф=сопз1. Циркуляция вокруг полого вихря равна Г. Отобразим области изменения в и ~=йа/(о,дг) на прямоугольник.в плоскости параметрического переменного и с вершинами в точках О (и = 0), С (и = я~2), В (и =я/2+ ж~4) и А (и = ж/4) (рис. 8.48). Полагая, что в точке а=и!4 (рис. 8.48) комплекс- ный потенциал ж = О, имеем 346 Егл. чи1 РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ СТРУЯХ о1(и) 62 (и) 4'з (и) 4~4 (и) (39.2) причем множитель У = 1 обеспечивает равенство ~ !, ~ = 1 на АВ.
Из (39.1) и (39.2) находим дв Г 68 (и) д4 (и) Т~О~ 2~ ~!О ~1 (и) ~)2 (и) (39.3) откуда 2 Г о1(и) И. 61(и) 2Т,ТУ0 62 (0) (39.4) Эта задача была впервые решена Мичеллом ~553~. Известны решения и более общей задачи о полом вихре в правильном многоугольнике ~36, 501, 5531. На рис. 8.49 изображен случай квадрата. Перейдем к дальнейшим задачам. В работе Эриха ~4701 сделана попытка применения теории струй к задаче истечения струи жидкости, вытекан:щей из отверстия (из щели) в основной поток жидкости. Эрихом рассмотрены четыре схемы, две из которых р„, 849 относятся к теории струи; они изображены на рис.
8.50 — щель и рис. 8.51 — отверстие. На этих фигурах линии ЕА представляют собой свободные линии тока, вдоль которых давление и модуль скорости постоянны. Вдоль линий раздела ВС между вытекающей струей и основным потоком, имеющим в бесконечности горизонтальную скорость о„, давление и скорость непрерывны; плотности жидкости в основном В бесконечности (в точках 0 и С) скорость равна нулю. Вдоль стенки 0,С, скорость горизонтальна.
На свободной линии тока ~~~=1; на прямых ОА и ВС имеем агд~= -~л/2. Функцию ~ (и) можно продолжить с помощью принципа симметрии на прямоугольник с вершинами в точках и=О, я~2, л/2+ +нт/2, нт~2 (рнс. 8.48). Так как ~ ~~=1 на АВ, прн этом нулю в точке и=О будет в точке и=ж~2 соответствовать простой полюс. Продолжая функцию ~ (и) с помощью принципа симметрии на всю плоскость параметрического переменного и, убеждаемся в том, что ~(и) — двоякопериодическая функция с периодами л и ж, имеющая нули в точках, конгруэнтных и = 0 и и = —, и полюсы в точках, конгруэнтных и = лт/2 и и = — + —. Един- 2 2 ственной функцией комплексного переменного и, удовлетворяющей этим условиям, является РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СТРУЙ $ 391 потоке и в струе равны. В обоих случаях задачи решаются конформным отображением областей изменения комплексного Рис.
8.СО. Рис. 8.51. потенциала в и в =1п (о„сЬ~Йо) на верхнюю полуплоскость параметрического переменного 1 (рис. 8.52). В обеих задачах комплексный потенциал имеет полюс и логарифмическую особенность в точках А, С(~=1) и логарифмическую особенность в точке А'(~ = — Ь). Производная йю~й имеет полюс второго порядка в точках А,С и простой по- ~ люс в точке А '. Нетрудно, Рис. 8.52. как мы уже неоднократно делали, сразу выписать выражение для Йо/Й по особенностям. Следует только иметь в виду, что постоянный множитель в этом выражении подобран так, чтобы расход через отверстие 350 РАЗЛИЧНЫЕ ЗАДАЧИ О СВОБОДНЫХ СТРУЯХ [гл.
ч!11 случаи, когда на рис. 8.58 линия 0ЕС есть полуокружность и когда контур ОЕС представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой ОС. В обоих этих случаях области изменения и и в легко отображаются на верхнюю полу- плоскость параметрического переменного, что и решает задачу '). Займемся теперь любопытной статьей Келлера «Эффект чайника» ~516~ (этот эффект чаще называют эффектом Коанда; см. 5 36). Иногда вода, вытекающая из носика чайника, обтекает нижнюю сторону носика и течет по чайнику. Опираясь на опытные данные, Келлер утверждает, что явление это не связано ни с вязкостью, ни с капиллярностью и вызывается только разностью между атмосферным давлением и давлением в текущей жидкости. На рис.
8.59 изображено соответствующее плоское течение, причем носик чайника считается бесконечно длинным и заменяется двумя плоскими стенками, отстоящими друг от друга на расстоянии Ь, и сила тяжести не учитывается. 4 А1 Ю А Ю Рис. 8.59. Рис. 8.60.
Вдоль свободной поверхности ВС модуль скорости постоянен и равен с. В бесконечности в носике (точка А) скорость равна а. Отобразим области изменения комплексного потенциала ы и безразмерной комплексной скорости (йо/(с сЬ)) = ~ на первый квадрант плоскости параметрического переменного ~ (рис. 8.60) так, чтобы свободной поверхности соответствовала мнимая полуось т, а стенкам — действительная. Комплексный потенциал имеет логарифмические особенности в точках А (источник) и С (сток). Соответственно этому Йо/Ыс имеет в точке А (ч; = а) полюс, а в точке С (с = оо) будет и = О (1/с). Кроме того, функция йо/сЬ в точке В(т=О), в которой происходит нарушение конформности отображения, имеет простой нуль.
Продолжая функцию йв~дт с помощью принципа симметрии на всю плоскость переменного т, находим, что, кроме упомянутых нулей и полюсов, функция Йо/сЬ будет еще иметь полюс в точке А,(т= — а). Учитывая, что при обходе А по бесконечно малой полуокружности 1гпв получает приращение д =йа, равное рас- 1) Вудс [55] обобщил задачу Лайтхилла на случай дозвуковой струи газа. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ СТРУЙ $393 ходу жидкости в струе, имеем Йи 2дт ~К л(Р— а~) ' (39.8) откуда следует, что и= ~~ 1п (т' — а').
д (39.9) дв 1+т сдг 1 — с (39.10) Пусть начало координат совпадает с точкой О. Тогда фор- мулы (39.8) и (39.10) дают 1 сй а~ 2д 1 — г т г= — — — Ит= — — — Нт, с Ив сК яс 1+т т' — а~ 1 1 откуда 4 1+т 1 — а т — а 1+а т+а — — 1п — + — 1п — + — !ив 1 — а2 2 1+а 1 — а 1 — а 1+а е [ , (39.11) и мы имеем возможность рассчитать любые геометрические эле- менты течения, например, из (39.11) вытекает, что хд — абсцисса точки  — равна х =- — —,1п2+ — 1и — + — 1п + 1па~. д 4 1 — а 1 1+ а 1 2 (1+а2) В лс 1 — а2 1~а 1 — а 1 — а 1+а 1 — а2 (39.12) Из (39.10) следует, что — = —.:=: 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
