М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 36
Текст из файла (страница 36)
На рис. 9.17 построена форма свободной поверхности для углов раствора клина 6', 18'и 60. Штриховой линией показано геометрическое место точек соприкосновения 403 ПОГРУЖЕНИЕ КЛ~4НА 5 433 свободной поверхности жидкости со щекой клина. Были вычисленц, в частности, углы наклона свободной поверхности кщеке клина в этих точках.
На рис. Я.18 представлен график суммарной силы сопротивления клина; по оси ординат отложена Рис. 9.18. Рис. 9.17. величина С„/1д' (лр), где С„=2У'/(рсЧ) — безразмерная результирующая сила давления на клин. В работе 3. П. Борисовой, П. П. Корявова и Н. Н. Моисеева ~38~, из которой заимствован приведенный в настоящем параграфе вывод начальных условий, изучается проникание симметричного клина в жидкий клин. Как частный случай пол~ается погружение клина в невозмущенную жидкость, а также растекание жидкого. клина по твердой поверхности.
Если мы рассмотрим симметричное столкновение двух жидКих клиньев с равными углами, то помимо вертикальной оси симметрии, совпадающей с общей осью клиньев, найдется еще и горизонтальная ось симметрии, которую можно принять за твердую стенку. Таким образом., задача о растекании жидкого клина по плоской стенке равносильна задаче о соударении жидких клиньев, и авторы работы рассматривают эту схему как модель течения при неустановившемся столкновении кумулятивных струй.
В работе 138~ показано, как можно рассчитать результирующую силу, действующую на клин, и найти распределение скоростей на свободной поверхности, если форма поверхности известна. 404 ~гл. ~х НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ Ряд интересных результатов получен в упомянутой выше диссертации Хан Ги Мана, хотя в ней задача не решена до конца. Прежде всего, в этой работе впервые рассмотрено погружение клина со скоростью, меняющейся со временем по степенному закону (43.1) и систематически исследованы особенности, которыми должна обладать функция я(г). Интересна также новая постановка задачи о взрыве на свободной поверхности. По характеру граничных условий эта задача оказывается чрезвычайно близкой к задаче о погружении клина.
Исследования Вагнера были продолжены также несколькими американскими учеными 1462, 480, 546, 552~. Сейчас мы вкратце коснемся только работы Гарабедяна [480~, в которой читатель может найти дополнительные указания на литературу. (Сведения о литературе по входу тела в воду имеются также в работе Мэя ~5481 и в обзорной статье автора ~941.) Так же как и Вагнер, Гарабедян рассматривал клин, погружающийся с постоянной скоростью. Предполагая, что я является аналитической функцией от г, он продолжил эту функцию на всю область течения.
Свободной поверхности жидкости соответствует 1тя=О, т. е. часть действительной оси. К сожалению, форма границы области, соответствующая клину, заранее не известна. Гарабедяну удалось найти такой частный вид я(г), при котором граничные условия на поверхности клина удовлетворяются. При этом получилось решение задачи о погружении заведомо несимметричного клина, причем давления на — -й — -Ю свободных поверхностях„г~ г~ справа и слева от клина р различны. Для двух предельных Ю случаев, когда угол, килеватости мал и когда он блиРит, 9. 19. зок к- а/2, разработаны асимптотические методы. -В первом случае используется приближенная аналогия со входом пластинки (см.
работу ~6271, а также [266~). Для больших углов килеватости, т. е. для острого клина, можно пренебречь подъемом воды. Тогда, обозначив через- 1 время, через т присоединенную массу, через О погружение (рис. 9.19), через У результирующую сил давления на клин и через о скорость погружения клина, которую для простоты будем считать постоянной'), в силу теоремы об изменении количества движения по.- 1) В работе ~2871 Л.'И. Седов р ассчитал погружение острого'клина заданной массы. Скорость погружения такого клина будет, очевидно, ° переменной. Гл ава Х СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ $44. Уравнения Чаплыгина для плоского установившегося течения газа Предположим, что давление р является функцией только плот ности р.
Пользуясь условием отсутствия вихрей до~ дох х дх ду (44.2) можно из (44.1) получить интеграл Бернулли Р ф ой р 2 Ро Теория струйных течений сжимаемой жидкости (газа) занимает в современной газовой динамике значительное место, и полное изложение этой теории потребовало бы отдельной монографии. Здесь мы изложим идеи точного и приближенного метода Чаплыгина, тесно связанные с теорией струй в несжимаемой жидкости, и дадим обзор дальнейшего развития теории газовых струй. Особенно беглым будет этот обзор в отношении сверхзвуковых и трансзвуковых газовых струй, так как для подробного изложения имеющихся на эту тему работ пришлось бы уделить слишком много места собственно газовой динамике и применяемым в ней математическим методам.
Основа теории газовых струй была заложена в докторской диссертации С. А. Чаплыгина [389~, которая много раз переиздавалась. Приведем без доказательств нужные нам уравнения установившегося плоского течения невязкого газа (см., например, [1891). Уравнения Эйлера в форме Ламба имеют вид 1 др 1 до~ дод дох~ — — = — — — +О рдх 2 дх ~ дх ду/' (44.1) 1 др 1 до~ /доу дох — — = — — — — 0 рду 2 ду х~,,Ь ду 408 [гл.
х СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ° Ро Обозначая через О угол скорости с осью х (откуда о„— го„=ое-'о) и учитывая„что х+юу=г, получаем равенство ° Ро (44.9) Введем в качестве независимых переменных величины о и О. Тогда равенство (44.9) примет вид о~В о дг дг д~р д(р .
Ро дф дф до дО до дО р до дΠ— сЬ+ — сЮ = — сЬ+ — ИО+ ~ — — сЬ+ — ИО 4 Ввиду незавйсимости'цо и ОО это равенство эквивалентно двум следующим: дг д~р ро д'ф е® -дг д<р ~ро д.'ф е~В до до р до о ' дО дО р дО о — + ~ — о — —, — = — + — — — .
(44.10) Исключим из (44.10) г с помощью перекрестного дифференцирования, причем будем иметь в виду, что р/ро зависит от о, но не зависит от О дОдо+ р дОдо о + Отсюда, производя очевидные сокращения и выделяя действительную и мнимую части, получаем 1 д(р д ~р~~ дф о до Но ~,ри~ дО 1 д~ родф одО р до (44.11) Уравнения (44.11) справедливы для общих баратропных процессов. В случае адиабатических процессов из (44.11), учитывая Из (44.7) и (44.8) следует, что о Их + оу Йу = Йр~ — о„дх+ о„ду = — ' дф.
Умножив второе из этих уравнений на ~ и сложив результат с первым, получим УРАВНЕНИЯ ЧАПЛЫГИНА равенство (44.6) и вводя вместо о переменное ~, получаем урав- нения Чаплыгина д~р 2~ дф дО (1 ~)1/(7-1) дт ~Ч' 1 — т (7+ 1)/(у — 1) д$ д (44.12) 2т (1 — т) 7У1ь-1) дВ Исключая из (44.12) функцию «р, можно получить линейное уравнение второго порядка в частных производных для функции тока 1 — с (2~+ 1) до'ф (44.13) —, —.О, 2 (1' -)Р+~~ дО' (1 — с)Р д ~Ь 3~ 1 — оо/ао 6Ь - 0 (44.14) уравнения (44.11) можно привести к каноническому вину д~р — дф д~р — дф до дя ' дз — =Ук —,.
—,= — ~'к,—,. (44.15) Для адиабатических процессов уравнения Чаплыгина были впервые приведены к каноническому виду (44.15) Л. С. Лейбензоном ~2121. Ойи были использованы для решения задач газовой динамики С. А. Христиановичем, Цянь Сюэ-сенем и др. Групповые свойства уравнения Чаплыгина для функции тока были изучены Л.
В. Овсянниковым 12501. Для случая произвольной зависимости р от р функция К определяется следующим образом 1292~: я.~ (~Ф)4 + др/ф (44.16) где Р =1/(у — 1). Это уравнение относится к эллиптическому типу при у — 1 1 ( — = —, т. е. при дозвуковых скоростях, так как в этом у+1 2Р+1 ' до,~, до,ф случае коэффициенты при —, и „вЂ”.
положительны. При сверхзвуковых скоростях уравнение (44.13) будет гиперболическим. Введя вместо скоростио новое независимое переменное я так, что 411 ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЧАПЛЫГИНА $451 С. А. Чаплыгин рассматрйвал те задачи теории струй; для ко- торых функцию ф можно выразить формулой Ь~=А+ВО+ ~.", В„~~„, и=1 (45.8) 1п ~ — ~= =6+1О=1п ~ — ' +1О= Й~Н 0 =1п у — +18= — 1п /с, . 1 2 (45.9) т. е.
что мы нашли ~Н = 1 (®Н) где Х, А, В, „— некоторые постоянные, а ф„определяются формулами (45.1), (45.3) и (45.7), так что каждый член ряда (45.8) удовлетворяет в отдельности основному уравнению (44.13). Посмотрим, каковы должны быть граничные условия таких задач. Так как при установившемся течении газ должен быть ограничен линиями тока, то вдоль граничного контура области (~, О) функция ф должна принимать те или иные постоянные значения. При этом, если рассматриваемая часть контура соответствует плоской стенке, то на ней О (угол скорости с осью х) должен сохранять постоянную величину. На поверхности струй имеем давление р=соп81, и следовательно, согласно интегралу Бернулли, скорость о должна сохранить постоянное значение о,.
Отсюда вдоль поверхности струй должно быть постоянно т=т~. Если в плоскости (т, О) рассматривать ~ как радиус-вектор, а Π— как угол в полярной системе координат, то граница области (~, О) будет состоять из прямых О =сопз1 (прямолинейные твердые стенки) и дуг окружности ~=~, (свободные поверхности).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
