М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 41
Текст из файла (страница 41)
д. Проекции скорости о„и ое, введенные выше ~см. равенства (50.7)1, будем называть проекциями относительной скорости. Применим теорему об изменении количества движения к массе жидкости, ограниченной телом и частью сферы. Назовем головной частью тела переднюю часть тела, отсекаемую контрольной поверхностью. Сопротивление Х головной части тела равно О Х=2иг' ~ (р — р„)совбв)иО гЮ+ О е + 2риг' ~ ( — о„+)г„) о, в!и 0 сй. (50.! 5) О Здесь р — давление, р„— давление в бесконечности, а О в верхних пределах обоих интегралов представляет собой значение полярного угла О, соответствующее концу головной части тела, т.
е. верхней точке Т пересечения полутела контрольной поверхностью. Вследствие отсутствия источников в жидкости имеем е ~ о„в(и 000=0. (50.16) О 465 ~ 501 АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСШИРЕНИЯ СТРУЙ Пользуясь (50.9), находим, что расстояние ), носка тела от начала координат удовлетворяет уравнению О а„~, — ~ па(п) ~,"с)п. (50.28) Коэффициент а(п) следует задавать таким образом, чтобы ), было конечным. Мы можем выбрать линейный масштаб таким, чтобы к,=1; тогда О о„= ~ па ~п) Ып.
(50.29) Наложим на а(п) следующие условия: 1) интеграл, входящий в (50.29), сходится абсолютно; 2) при — е ~ и ~ О, где е — достаточно малая постоянная величина, а(п) не меняет знака. Найдем теперь асимптотическую форму тела в бесконечности. Подставляя Р„' из равенства (50.11) в (50.29), получаем О г — о„ж ~ "а (и) „„Ип. 1+г 81П йй 2 й, (1-~-п) (50.30) Преобразуем эту асимптотическую формулу. Разобьем промежуток интегрирования на два: от — У до — е и от — е до нуля.
Тогда интуитивно очевидно, что асимптотический закон (50.30) может быть заменен следующим'): Π— о„~ — 1 "а (п) з1п пл дп. 1+г 1 (50.31) 1) Строгое доказательство читатель ыожет найти в работах [871 н 1881. Перейдем к вычислению силы сопротивления головной части тела, для чего воспользуемся формулой (50.17). Подставляя в нее значения абсолютных скоростей $', = о„+ о„соя О и Ре —— =оΠ— о з1пО, где о„и оО берутся из формул (50.25), и заменяя произведения интегралов двойными интегралами, получаем г О О Х= — рп~дг ~ ап ~ г"'" (гата(п)а(т)ЄЄ— 1 -Ф -Ф вЂ” га(п) а (и) (1 — г')Р'Р' + + (1 — г') Гпа (и) а (ах) Р„Р' + пы (п) а (т) Р Р„'Д йп, $50) АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСШИРЕНИЯ СТРУЙ 4П последнее выражение для Х„не зависит от М„и в точности совпадает с формулой (50.34) для несжимаемой жидкости.
Таким образом, в случае дозвукового осесимметричного течения сжимаемость не влияет на асимптотический закон расширения струй. Несколько иначе обстоит дело в случае плоского течения. Как было показано в работе ~87~, полутело конечного сопротивления в газе, так же как и в несжимаемой жидкости, расширяется в бесконечности по параболическому закону — 2дх ~~ у', где Π— параметр параболы. Однако сопротивление такого полу- тела уже будет зависеть от числа Маха 2 Ч 2~ ~ 2 М2 или если задано сопротивление Х„, то параметр параболы будет зависеть от числа Маха, т.
е. в плоском случае сжимаемость влияет на параметр асимптотической параболы. 477 э б11 пОстАКОВкА зАДАчи и некОтОРые точные РешениЯ частной задачи об обтекании газового пузыря в прямолинейном канале постоянной ширины потоком невесомой капиллярной жидкости. К сожалению, это решение не является общим; так например, оно не описывает обтекания пузыря безграничным потоком. ф / т Рис. 12.2. Точные решения различных задач о струйных течениях тяжелой некапиллярной жидкости (некоторые из этих течений изображены на рнс. 12.3) были построены в работах Сотро (~590~, Рис. 12.3. рис.
12.3, а), Н. Берви (~271, рис. 12.3, б и в), Рудского 1"5881, Вилла (~622Я, рис. 12.3,г), Ричардсона (~5831, рис. 12.3,д), Леви [539~, Джона ~513~, Гарабедяна, Мак-Леода и Витоусека 4841 и И Цзя-шуня ~6521. При этом использовались методы под ора, [гл. хн стРуйные течения тяжелой жидкости в той или иной мере близкие к методам Н. Е. Жуковского.
Получению точных решений задач о струйных течениях невесомой капиллярной жидкости посвящены работы Мак-Леода 15501 и О. М. Киселева 1150~. Особенно следует отметить первую из этих работ. В ней дается точное решение задачи об обтекании цилиндрического газового пузыря, давление внутри которого равно давлению торможения. Более подробные сведения о некоторых названных выше работах можно найти в книгах Л.
Н. Сретенского ~316~, Векаузена и Лейтона ~63Ц, Милн-Томсона [2261, а также в первом издании настоящей книги. $ 52. Методы малого параметра Эти методы основаны на представлении искомых функций в виде рядов по степеням малого параметра, в качестве которого могут служить величины Ег, 1/Рг, М~е, 1/Юе и некоторые другие. Подстановка рядов в краевые условия сводит исходную нелинейную задачу к бесконечной последовательности линейных краевых задач для искомых коэффициентов. Определив несколько начальных коэффициентов, можно получить представление об асимптотическом поведении решения при стремлении малого параметра 'к нулю. Обычно приходится ограничиваться нахождением первого приближения, так как при переходе к приближениям более высокого порядка вычислительные трудности быстро возрастают.
Идея решения задач о струйных течениях тяжелой жидкости при помощи разложения искомых функций в ряды по степеням 1/Рг принадлежит Воронцу 153, 6471. К. Воронец сделал попытку найти в первом приближении решение задачи об истечении тяжелой жидкости из отверстия в вертикальной стенке (за нулевое приближение было взято течение невесомой жидкости). Однако он не учел, что комплексный потенциал и(~), так же как и отображающая функция, зависит от параметра 1/Рг, и получил поэтому неверные результаты. Впоследствии это решение было исправлено и обобщено в работе О.
М. Киселева и Л. К. Гадеевой ~1601. М. И. Гуревич и Г. Н. Пыхтеев 196, 971, а затем Рихтер 15841 тем же методом нашли в первом приближении решение задачи об истечении тяжелой жидкости из-под щита. Очень важно доказательство сходимости отыскиваемых рядов (доказательство разрешимости задачи методом малого параметра). Строго говоря, только имея такое доказательство, мы можем быть уверены в том, что асимптотические разложения искомых функций действительно имеют тот вид, какой мы им приписываем а рпог1. Первое доказательство разрешимости задачи методом малого параметра 1/Ег было получено О. М. Киселевым 11461 при исследовании течения, индуцируемого вихрем в ограничен- МЕТОДЫ МАЛОГО ПАРАМЕТРА 479 ной массе тяжелой жидкости. Г.
Н. Пыхтеев ~2761 дал аналогичное доказательство для задачи о течении в односвязной области, ограниченной полигональной твердой стенкой и свободной поверхностью конечной длины. Может также случиться, что решение, найденное методом малого параметра, не будет равномерно пригодным во .всей области течения. Такая ситуация возникает, в частности, в задачах о течениях, содержащих свободно падающие струи. При исследовании таких течений Кларк ~4531 и Бентвич 14261 успешно применили метод сращиваемых асимптотических разложений 144$ В этом методе ищутся асимптотические разложения по различным малым параметрам, каждое из которых пригодно в определенной области потока.
Затем они «сращиваются» таким образом, чтобы в целом полученное решение приближенно описывало все поле течения. До сих пор речь шла о применении малого параметра 1/Ег для исследования быстрых течений тяжелой жидкости. При изучении медленных течений тяжелой жидкости можно использовать в качестве малого параметра число Фруда Ег; при этом нулевое приближение будет соответствовать течению с горизонтальной твердой стенкой вместо свободной поверхности. Л.~Н.
Сретенский 1"3141 первым применил метод малого параметра Ег. Он решил задачу о течении от источника, находящегося под свободной поверхностью жидкости, которая покоится на бесконечности. В. А. Лазарев ~2061 тем же способом исследовал равномерное движение гидродинамических особенностей под свободной поверхностью. В работах Хайерса и Кайнера ~506, 5291, посвященных течениям тяжелой жидкости в канале с криволинейным дном при скоростях, близких к критической, т. е. при Ег т 1, применяется метод Фридрихса, основанный на разложении искомых функций в ряды по параметру а=('/,1п Ег)'~', и доказывается существование течения, близкого к уединенной волне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
