М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Первый член ряда (26.1) равен постоянной, которую мсжно принять равной в(и; 0)=1по„где о,— величина скорости на бесконечности. Соверщенно аналогично можно провести рассуждение и в общем случае при обтекании системы тонких профилей 1334а~. Пусть в физической плоскости г = х+ ~у область течения ограничена системой твердых поверхностей у, исвободными границами у,.
Пусть, далее, форма контуров у, задана уравнением у=~(х); тогда предположим, что ~ ~ (х) ~ ~ е1, ~~' (х) ~ ~ е, и (г) =)по„+~в„и„(г) +~ в„в„и„„(г)+..., и й,л г(г) =г+Хв„„(г)+Х в„в„(г)+..., и Кп (26.3) (26.4) сходящихся вне малых окрестностей конечного числа особых точек. Такими особыми точками могут быть концевые точки разрезов, точки отрыва и замыкания струй, а также заданные оеобенности в потоке. В дальнейшем ограничимся вычислениями линейных членов. С помощью равенств (26.3), (26.4) и интеграла Бернулли нетрудно где е — некоторое малое положительное число, а 1 — характерный линейный размер.
Первое условие выполняется во всех точках у„ второе — во всех точках у„за исключением малой окрестности передней кромки. Кроме того, будем считать числа кавитации 0~ малыми (~.О„~ <. е). При этих ограничениях кривые 7 = 7, + у, мало отличаются от системы прямолинейных параллельных разрезов у =7, +у, в некоторой плоскости г=х+~у (здесь у, и у, отвечают у, и 7, соответственно). Системы координат х, у и х, у выбираются так, чтобы действительные оси были параллельны разрезам у. Выбирая в качестве области изменения параметрического переменного плоскость г с прямолинейными разрезами, искомые функции можно также представить в виде рядов 224 КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ Сгл. р к замкнутому контуру Ь®' необходимо вычесть соответствующие приращения интегралов. Таким образом, гидродинамическая задача об обтекании тонкого профиля сводится к нахождению функции а(г).
Из соотношений (26.7) и (26.9) нетрудно получить линеаризованные граничные условия для функции в=и †(26.13) ~,~' г ~3 Рис. 5.49. Например, поведение функции вблизи «точки замыкания» каверны (г = О) устанавливается при помощи теоремы ~ 21. В самом деле, поскольку и=о„г+0(е), имеем и (8) ж и — 1п О ~~~ я- /й ~ я-'/а (26.15) Определим теперь поведение функции а(г) вблизи передней кромки при отрывном обтекании. Для этого отобразим внешность дуги и каверны, а также плоскость г с разрезом на второй квадрант вспомогательной плоскости ~ (соответствиеточек видно на рис, 5.48), В малой окрестности б начала координат ~=0 где ~ (х) — ордината контура профиля, а О~ — число кавитации й-го профиля. Если отыскивается кавитирую:ций профиль по заданному распределению давления Ср — — 2(р — р„)/ро"„, то задача сводится к задаче Шварца с граничными условиями и= — С /2 на у,'~', и=О~/2 на ф'.
(26.14) Для построения функции в (г), кроме граничных условий (26.13) и (26.14), необходимо также знать ее поведение вблизи особых точек. Все особенности могут быть легко установлены путем предельного перехода от нелинейной задачи к линейной ~334а1. 225 5 263 ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КАВНТАЦИОННОГО ОБТЕКАНИЯ комплексную скорость Йв/Иг и отображающую функцию г(~) можно представить в виде ==~— ,",~(О, г=Ра(О, где 0 <'.] ~©) ~, ~д(~) ~ ~ оо, е,— малый параметр, соответствую- щий критической точке О. Отсюда следует, что а,= 1ин — „1п =.= — =0(г-'/4), И Йи 2 (26.16) е,- О ~1 ~Ь т.
е. функция а, (возмущение логарифма скорости вблизи передней кромки) при отрывном обтекании имеет особенность вида г-'". Аналогично устанавливается особенность функции а г-'/~ вблизи передней острой и закругленной кромок при безотрывном обтекании 1334а1. ° ЪФ На примере обтекания изо- сФ лированной дужки с развитой ..:-:.... Уг кавитацией (рис. 5.50, а) рас- 8 * Д' смотрим два 'основных метода, Ж~ которые широко используются 72 при решении кавитационных / Ф задач.' Наиболее эффективным методом, позволяющим не толь; ко осуществить численные ра= й Е а счеты, но и провести аналитическое исследование, является уу' метод конформного отображе- Ю ния близкой области в пло- Рис.
5.50. скости г=х+~у на некоторую вспомогательную область (полуплоскость, квадрант, полуполосу, полосу, прямоугольник) и' последующего аналитического реше- ния краевой задачи для функции а. Близкой областью в данной задаче будет вся плоскость г с прямолинейным разрезом (рис. 5.50, б), Длина разреза Е (длина каверны) заранее неизвеетна и находится ноеле решения задачи. Если уравнение дужки у, задано в виде у=~(х), О~х~ 1 Д вЂ” длина хорды лужки), то функция а(г) =и — Ко определяется из краевой задачи (см. (26.13)): Уг о = ф/Их =у(х), и=О/2, аг~гг /4 а у,сг (х — ~~,) . /й 0::х~~1, у= — О, 1<х Ь, у= — 0 и 0::х~Е, у=+О, в точке г=О, (26.17) в точке г=Е.
8 М. И. Гуревич КАВитАционное ОБтекАние тел ~гл. 'ч Используя функцию (26.18) для отображения плоскости г с разрезом на верхнюю полупло- Рис. 5.5!. ! скость ~=$+~т1 (рис. 5.51),' приходим к следующей краевой задаче для функции а(~): (26.19) 1 Решение задачи можно получить по формуле Келдыша — Седова 12921: в=~ — — —, +А+В~ + —. (26.20) / +а 1 / 1 б(1)Ж О 4 Для нахождения неизвестных действительных параметров А, В и а необходимо воспользоваться условием замкнутости.(26.8). !т ф в Я~) — „~ф =О (26.21) и условием на бесконечности ~о ~2=сО = о~|ц=$ =О. (26.22) Вычисление гидродинамических характеристик профиля по формулам (26.10) — (26.12) сводится к нахождению соответству- о = 6 ($) = д (х), и= О/2, (4~) 1 9 в®) 1 х = Ц /(~2+ 1), — а ~ $ -: О, — оо < $ < — а, 0 < $ < оо, в точке ~=0, в,'точке ~= оо, 4263 ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КАВИТАЦИОННОГО ОБТЕКАНИЯ После решения системы (26.34) нетрудно найти размеры каверны и гидродинамические характеристики профиля.
Подъемная сила, сопротивление и момент сил относительно передней кромки определяются соответственно формулами 1 1' = — ро'„) у (х) Йх, Х = ро'„') у (х) — „Лх, И~(х) (26.36) М = — ро'„~ ух Их. О Преимущество метода интегральных уравнений состоит в том,. что он дает единый подход к исследованию задач об обтекании как одиночного профиля, так и системы произвольного количества профилей и в плоском, и в пространственном случаях. Однако получение численных результатов связано с решением системы сингулярных интегральных уравнений вида (26.34), а существующие методы, как известно, пока недают эффективного решения подобных уравнений.
Из численных методов решения таких уравнений заслуживает внимания меюд дискретных особенностей, усовершенствованный И. И. Ефремовым ~118), неоднократно применявшим его в задачах о кавитационных течеииях. И. И. Ефремов использовал метод, принятый в теории безотрывного обтекания крыла ~261, предварительно сделав в уравнениях (26.34) замену переменных )/з=т, )/х=г. Такая замена значительно уменьшила количество дискретных особенностей, необходимое для достижения заданной точности вычислений. Методом интегральных уравнений были также исследованы многие вопросы кавитационного обтекания, в частности очень важный вопрос о влиянии конечности размаха крыла при кавитационном обтекании ~118, 133, 256, 559, 6401.
В заключение краткого изложения основ теории кавитационного обтекания тонких тел следует отметить, что здесь не ста вилась цель дать всестороннее освещение всех вопросов линей ной теории. Многие работы, содержащие оригинальные и. палезныс результаты, остались здесь неупомянутыми. За дальнейшими библиографическими справками можно обратиться к уже упомянутому выше обзору автора ~941, к монографиям И. И.
Ефремова ~1181 и А. Н. Панченкова ~257~, а также к обзорным статьям 154, 6181. ОБТЕКАНИЕ ПРЕПЯТСТВИЙ ОГРАНИЧЕННЫМИ ПОТОКАМИ ф 27. Обтекание клина потоком конечной ширины Во второй главе рассматривалось истечение струи из сосуда. При этом схема течения, изображенная на рис. 2.1, оказалась в известной мере универсальной, включающей в себя в качестве частных случаев схемы остальных задач, рассмотренных в той же главе. Однако схеме рис. 2.1 можно придать еще новое истолкование.
Продолжим течение, изображенное на рис. 2.1, симметрично относительно стенки вверх, переместив для удобства начало координат (рис. 6.1) и заменив ф Е~ стенку НС линией тока, распоА~ ложенной внутри жидкости. Оче- у, видно, что на рис. 6.1 изображено 0 яу» симметричное струйное обтекалр т ние клина с углом раствора 2лр. потоком жидкости, вытекающей из канала, ограниченного плоскими стенками, и мы можем, не решая задачу заново, воспользоваться результатами главы П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
