М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 18
Текст из файла (страница 18)
5.18. Рис. 5.19. Ф, а, Ь, с, ц', и е имеем четыре уравнения, получаемые из условий (22.12) и (22.13), уравнение, определяющее длину пластинки: у ~' Ь(%+а)о(Ь+ио)ой+ио)2 о~ Д (Р+ 1) ($о — и2 )о Я2 — и~ )о о (23.13) и дополнительное уравнение, вытекающее из условия для направления возвратной струйки: 2 ( агс1Π— + агс1Π— -~ агс1д — „— сс = р, (23.14) 1 1+с 1 — с где Р— угол между направлением скорости в струйке и осью х. При заданном значении Р получается шесть уравнений в соответствии с числом неизвестных параметров. При, помощи соотношений (23.11) и (23.12) можно обычными методами вычислить все геометрическее и гидродинамические характеристики течения. В частности, взяв интеграл от функции (23.12) по бесконечно малой полуокружности с центром в точке и = ~, найдем расход жидкости в струйке Е: (1-~ а') [(1+6' — ")'+4~'сЧ Ч ~ ~ [(1+У вЂ” е2)2 ~-4сРео~о 5 231 РАзличные схБмы ОВтекАния плАстинки Рис.
5.20. Рис. 5.21. Легко показать, что комплексная скорость Йо/дг обладает следующими свойствами: на вертикальных сторонах прямоугольника ~йи/Иг~=о„=сопй, на горизонтальных агд(йа/дг) принимает кусочно постоянное значение, получая при обходе точек А и А' приращения, равные л. Таким образом, функция Йв/Иг в этих точках имеет простые нули. При продолжении на всю плоскость, в соответствии с принципом симметрии, она будет иметь простые полюсы в симметричных точках и = — а, и = = а — (л/2 — лс/2) и станет двоякопериодической функцией с периодами л и лс.
Эту функцию можно выразить через отношения тэта-функций (см. ~ 13): 'Ь, е - б (и — ) д ("+ ) (23.18) с8г ' 61 (и+ а) бз (и — а) При определении постоянного множителя перед дробью использовалось условие в точке О: аи/дг~, о =о,е'". Производная от комплексного потенциала йо/аи принимает мнимые значения на вертикальных сторонах прямоугольника и действительные значения на горизонтальных его сторонах. При продолжении функции йо/аи на всю плоскость в симметричных относительно сторон прямоугольника точках порядок особенностей и нулей сохраняется, т.
е. Йо/ди будет эллиптической функцией с периодами л и лс. В основном прямоугольнике она имеет полюсы второго лорядка'в точках и.=+.л/4~ -+ лс/4, простые нули в точках и=~ а, и=~(л/2 — а)+лс/2 и в вершинах прямоугольника и = О, л/2, л/2+ л с/2, л с/2. Поэтому '"" =Л ~ (2и)~ (" — а)~ (и+а)~ (и — ')' ('+') 2319) ди дз (2и) с вершинами О, л/2, л/2+ л'с/2 и л'с/2 (с — чисто мнимый параметр) вспомогательной плоскости и = $ + ~~) (рис. 5.21).
При отображении бесконечно удаленная точка В (г=оо), в силу центральной симметрии течения, перейдет в центр прямоугольника и = л/4+ лт/4. Критические . точки А и А' переходят со- У ответственно в точки и = а и и = л/2 — а+ л с/2. 190 игл. ч КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ эти свободные линии отходят от границ каверны, образуются двойные спирали с полюсами в точках С и Е. Схема Тулина оказалась удобной при исследовании кавитапионных течений с несколькими свободными поверхностямЯи была использована почти одновременно несколькими авторами ~73, 117, 339, 531~. Для расчета течения, изображенного на рис. 5.22, отобразим область течения в физической плоскости на первый квадрант д у вспомогательной плоскости и Ю (рис.
5.23). Рис. 5.23. Рис. 5.22. Производная комплексного потенциала Йо/аи принимает мнимые значения на мнимой полуоси и действительные значения на действительной полуоси; в критической точке Л (и = а) и Фв начале координат О (и = 0) она имеет простые нули, а в точке В (и=~) полюс третьего порядка. Продолжая функцию Йо/аи на всю плоскость и учитывая, что в симметричных относительно осей точках сохраняется характер нулей и особенностей,-находим (23.27) Комплексная скорость Йо/аг имеет кусочно постоянный аргумент на.действительной оси и кусочно постоянный модуль на мнимой оси. При обходе точки и = а против часовой стрелки агд фи/аг) получает приращение, равное л. Следовательно, в силу принципа симметрии при продолжении функции Йю/аг через мнимую ось в симметричной точке будет находиться простой полюс, т.
е. функция Йи/аг должна включать множитель вида (и — а)/(и+а). Для того чтобы учесть приращение модуля при обходе точек С и Е, рассмотрим функцию (Йо/дг)', модуль которой принимает на действительной оси кусочно постоянное. значение. При обходе точек Е (и =Ь~) и С(и =сг) против часовой стрелки аг~(Йо/аг)' получает приращение, равное соответственно (1/л) 1п(о„/о,) и (1/я) 1п(о,/о„); поэтому функция (Йо/дг)' должна включать множитель (и — Ы)" ~ > '" '"'"' (и — сК)" /"~ '" <'в~'"'. 192 КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ поверхностью, в струе и под свободной поверхностью над твердым дном.
Значения коэффициента нормального давления на пластинку в безграничном потоке представлены в таблице ХХЧ. ТАБ ЛИЦА ХХУ Значения коэффициента нормального давления С„(0, а) (по схеме тулина) З0' 60 15' 900 20~ Приведем асимптотическую формулу для малых чисел кави"тации, полученную В. А. Лазаревым: С = (!+О) (1+ —,— + ...), и=90'. (23.33) Ра:смотрим схему Жуковского — Роиисо (рис. 5.24). Свободные границы переходят в две полубесконечные прямые, параллельные скорости набегающего потока- о У Принимается, что вдоль параллель.
Е р ных прямых скорость монотонно убывает от о, на струях до о„на х бесконечности. Это предположение А необходимо для единственности решения задачи, поскольку математически возможно бесчисленное мно- жест во течений с немо нотонно убывающими вдоль СВ или ЕО ско- Рис. 5,24. ростями. Таким образом, эта схема тоже содержит неопределенность.
Кроме того, условие замк- нутости (21.5) не может быть выполнено. Несмотря на указанные недостатки этой схемы, ее применение оправдано тем, что она, по сравнению с другими схемами позволяет с меньшими затратами времени на вычисления рассмотреть кавитационное обте- 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,1281 0,1711 0,2605 0,3752 0,5017 0,6329 0,7655 0,2400 0,2777 0,3399 0,4212 0,5161 0,6202 0,7304 0,8443 0,9604 1,0778 1,1958 0,3379 0,3?97 0,4364 0,5060 0,5861 0,6744 0,7690 0,8683 0,9711 1,0765 1,1837 0,4235 0,4711 0,5286 0,5950 0,6692 0,7499 0,8358 0,9262 1,0200 1,1167 1,2156 0,5639 0,6230 0,6870 0,7557 0,8288 0,9056 0,9859 1,0691 1,1549 1,2428 1,3327 0,8096 0,8911 0,9735 1,0569 1,1411 1,2262 1,3120 1,3986 1,4859 1,5737 1,6622 0,8798 0,9679 1,0565 1,1453 1,2345 1,3237 1,4136 1,5031 1,5937 1,6842 1,7749 193 РАЗЛИЧНЫЕ СХЕМЫ ОБТЕКАНИЯ ПЛАСТИНКИ $231 кание тел в канале и вблизи плоского дна 13301, а также учесть весомость жидкости ~471.
Впервые эту схему (при решении другой гидродинамической задачи) рассмотрел Н. Е. Жуковский ~1221. Для исследований кавитационного обтекания препятствий ее использовали Рошко, Плессет, Перри, Эпплер, Ву и др. Широкий круг задач с применением этой схемы, которую мы назвали схемой Жуковского — Рошко, рассмотрен в работе ~33011). Решение задачи для пластинки будем искать в параметрическом виде.
За область изменения параметрического переменного и = 5+и~ возьмем прямоугольник с вершинами О, я/2, я/2+гав/2, юл/2. Соответствующие точки в области течения ~(рис. 5.24) и в параметрическом прямоугольнике (рис. 5.25) обозначены одинаковыми буквами. В этом прямоугольнике функция Йо/ди будет иметь полюс третьего порядка в точке 0 (и= ==Ь+~л/2), простые нули в критической точке А (и=а) и в вершинах прямоугольника О, В, С и Е.
г — >~ Продолжая по принципу симмет- ю А д ф рии эту функцию на всю плоскость и, получаем эллиптическую функ- Рис. 5.25. цию, которая в основном прямоугольнике, кроме указанных нулей и полюса, имеет простой нуль в симметричной точке и = — а и полюс третьего порядка в точке и= — Ь+юл/2. По нулям и полюсам нетрудно построить функцию йо/ди в виде отношения тэта-функций: Йо 61(2и) 61(и — а) о1(и+а) (23.34) 643 (и — Ь) 64 (и+Ь) Переходя к определению комплексной скорости Йо/дг, устанавливаем следующие ее свойства: ~йо/дг[=.о,=сопз1 на вертикальных сторонах прямоугольника ОЕ и ВС; агд(йо/дг) =О на верхней стороне прямоугольника ЕС; агд(йи/дг) =сс на отрезке ОА нижней стороны прямоугольника; агд (йо/дг) =а — л на отрезке АВ.
Следовательно, функция Йо/дг имеет простой нуль в точке и=а и простой полюс в точке и= — а. Продолжая функцию 'дв/дг через вертикальные и горизонтальные стороны прямоугольника на всю плоскость переменного и, убеждаемся, что она удовлетворяет следующим условиям: Й~ и+я банг ~-иа Й~ и+ж 4Ь 1 и 7 м.
и. Гуревич 1) Решение задачи кавитационного обтекания наклонной пластинки по этой схеме было получено в работах ~31а, 5541. 194 кАВитАционное ОвтекАние тел ~ГЛ. Ч (см. ~ 13). В точке и=а функция обращается в нуль, т. е. должно выполняться условие д,(2а+а)=0. Отсюда находим параметр а: а = (я — я)/2. (23.36) Постоянную С можно найти, например, из условия для скорости на задней кромке О (и=0): Еа — =ОоЕ".
Ж и=о Подставляя в выражение (23.35) для скорости и=О и учитывая два последних равенства, получаем у ЕЕа о~ (о) .р, (,„) — о так что Га ~з ( +сс~ ) =~оЕ .р (и д ' (23.37) Функции (23.34) и .(23.37), с помощью которых находятся все геометрические и гидродинамические характеристики течения, содержат три неизвестных параметра: У, Ь и ~т~. Для их определения мы имеем: уравнение, определяющее величину скорости набегающего потока, бз (Ь+ а/2) ~о =0„; и Ь+дт~з о 4з (Ь сс/2) (23.38) условие монотонности изменения скорости вдоль параллельных прямых (условие экстремума скорости о=оодз ($+ а~2)/6, ($ — а/2) в точке 0 Д=Ь)) 6з (Ь+ сс/2) ~з (Ь вЂ” ~/2) 0 (23.39) дз (Ь+ а/2) дз (Ь вЂ” а/2) и выражение для длины пластинки я/2 — — с$.
(23.40) т. е. комплексная скорость во вспомогательной плоскости и является квазидвоякопериодической функцией с множителями периодичности 1 и е-"", причем в основном прямоугольнике она имеет один простой полюс (в точке и= — а). Следовательно, ее можно представить так: Йо ~ 01 (0) 61 (и+ а+а) (23.35) Ж 61 (а) 61 (и+а) РАЗЛИЧНЫЕ СХЕМЬ1 ОБТЕКАнИя ПлАстинКИ $231 Таким образом, система уравнений (23.38),-(23.40) замыкается. Результаты вычислений коэффициента нормального давления С„из 1471 представлены в таблице ХХ'Ч1. ТА Б ЛИЦА ХХЧ1 Значения коэффициента нормального давления С„(0, а) (по схеме Жуковского — Рошко) 60о 20о 30 15о 90о 10о зо Приведем асимптотическую формулу из ГЗЗОД, найденную при условии О (( яп а: а Р— 7з1п а) +12з1пйа(4+и з1па)+ ' ' ' 2л з1па 4+я з1п а (1+ С1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
