М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 13
Текст из файла (страница 13)
4.16. ми левее точек Г с экстремальными ординатами (рис. 4.16). 2. Свободные струи, соответствующие двум различным обтеканиям выпуклого контура, не имеют общих точек. 3. При двух различных обтеканиях контура Г со срывом струй давление жидкости на Г будет большим для того течения, которое соответствует более раннему отрыву струй.
Наконец, в работе ~20Ц решена интересная экстремальная задача о дуге Г с наименьшим лобовым сопротивлением, вписанной в данный прямоугольник. Оказывается, что дуга Г состоит из трех частей: Ав, ВС, С0, причем ВС представляет собой отрезок прямой таких размеров, что струи при обтекании ВС $183 УРАВНЕНИЯ ВИЛЛА И НЕКРАСОВА рассматриваемая задача сводится к решению ннтегро-днфференциального уравненйя Вилла.
Задача о фильтрации ВПЖ по указанному выше закону математически эквивалейтна задаче о взрыве линейно распределенного заряда в импульсной постановке, принадлежащей М. А. Лаврентьеву (12051, стр. 387). В этой постановке течение, возникающее под действием импульсного давления на поверхность грунта, считается потенциальным, а грунт моделируется средой, движущейся подобно идеальной жидкости при скоростях, ббльших некоторой критической скорости о„и абсолютно твердым телом при скоростях, меньших о,. В статье [1??~ рассмотрена задача о взрыве симметричного линейно распределенного заряда криволинейной формы Й'АВ «" З Рис А.20. на поверхности грунга СС' (рис. ~ 20, а). На поверхности грунта 0С «р=сопз1=0, на 0'АВ «р=соп81, АВС вЂ” линия тока; модуль скорости на ВС постоянен и равен о,.
В этой задаче, в отличие от рассмотренных выше, криволинейный участок твердой границы А0 не примыкает к свободной поверхности. В силу этого непосредственно применить метод ЛевиЧивиты так, как это делалось в ~ 16, не удается. Для решения такого класса задач Л. М. Котляр ~1771 предложил искать функцию «о Я) в виде «о Я) =«о, (~)+й Я), где «о, Я) — функция Жуковского для некоторой вспомогательной задачи.
Например, в задаче о взрыве заряда (рис. 4.20, а) функция а,(~) строится для схемы течения, изображенной на рис. 4.20, б, которая получается из рассматриваемой схемы заменой дуги АО отрезком прямой и поворотом АВ с сохранением углов в точках А и .О. При этом для определения неизвестной функции Й(~) получается краевая задача, сводящаяся к операторному уравнению, аналогичному (18.15). Для доказательства однозначной разрешимости операторного уравнения в11771используется метод Некрасова. В этой работе приводятся некоторые численные результаты для задачи о взрыве по схеме рис.
4.20, а. ОБТЕКАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ ~ГЛ: 3Ч .$ 19. Метод Седова До сих пор рассматривалось обтекани ного криволиней- ного 'препятствия. Общий метод' для решения задачи о струйном обтекании нескольких,',криволинейных дуг был дан Л. И. Се- довым [290, 292~, / Пусть мы имеем а криволинейных дуг, обтекаемых с отрывом струй ~рис. 4.21). Пусть' величина скорости в бесконечности й на струях имеет"значение о,.' Ось х' направим параллельно'скорости на'=' Юд бегающего потока в бесконечности. Л Направление струй в бесконечности Ау тоже возьмем параллельным оси х, ~г так как в противном случае они Ю~ пересекут свободную поверхность основного потока.
~2 Область, занятую движущейся жидкостью, конформно отобразим Б~ на верхнюю полуплоскость комплексного переменного и = и, +~и,. Е1 так, чтобы бесконечно удаленным А~ точкам на крайних струях соответствовала точка и,= оо, точкам А, Рис. 4.21. и В, соответствовали бы точки и=О и и=1 (рис. 4.22). Контуры обтекаемых дуг А~В„переходя в некоторые отрезки аф~; критическим точкам Е„Е„..., Е„соответствуют точки Г, 8, . ° °, О„на отрезках и Ь, й Ь, —.;, Я„Ь„;' бесконечно уда Рис.
4.22. ленным точкам струй фф..., С„, соответствуют'некоторые точки с„с„..., с„, в интервалах Ь,а„Ь,а„..., Ь„"',а . Область изменения и=~р+гф представляет собой вс™ю пло'-'; скость, разрезанную вдоль полупрямых, параллельных дейсчви= тельной оси (рис. 4.23). Эти полупрямые ф = сопят соответствуют струям и-дужкам, Разрезы начинаются от точек Е„Е„..., Е„, соответствующих критическим точкам, в которых происходит раздвоение линий тока. Овтеклние кРиволинейных пРепят ий 146 ГГЛ.~ 11)' Формула (19.3) определяет функцию в(и) с конечными значениями в точках а . Условия конечности ункции в(и) вточках Ь„, имеют вид и =пХ вЂ” '" 'П' " "' (19А) $ — а~, ~$ — а $ — Ьу (1=1,2,...,п).
Условия (19.4) можно рассматривать как а уравнений для определения а постоянных е~ абсцисс образов критических точек в плоскости и. По предположению в бесконечности скорость на струях параллельна оси х и по величине равна о,; следовательно, величины с„с„..., с„, должны служить нулями функции в(и), т.
е. корнями уравнения в(и) =О. (19.5) Составим теперь интегро-дифференциальное уравнение для определения функции р(и), являющееся обобщением уравнения Вилла. На основании соотношений ди,~и — с — =о е-'" йо а2 о э (19.6) можем написать — = — П ' е'" <"). СЬ Ор, ~и — С (19.7) На отрезках а~е~ ь е~ ' Р$~6)! Д~ ~ ' !И(~)! (198) к!у(и) ! ~м $ — и .~~ $ — и 1=1 а~ Й=1 а На отрезках е~бд ь е~ и (и) = р — — ~ ~$ — и ~ '1!а6)! " '!а®!с$ 1=1 аА 1=1 а~ (19.9) а а — Ь~ В формулах (19.8) и (19.9) д(и)= П „„(напомним, что 1=1 штрих означает главное значение интеграла при наличии полюса у подынтегральной функции). игл, я (20.2) где ~р,— значение ~р в точках А и В.
Так как на дуге ВСЯ имеем в= ~ оИз, для определения связи о между ~ и я на дуге ВСА получается уравнение ~/йв ~р,(и = о,з, ~ ~ (и) йи. (20.3) о 1) Требование симметричности не принципиально. Оно введено только для удобства изложения. 148 ОБТЕКАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРЕПЯТСТВ1Й монографии рассмотрели случаи струйного обтекания дуги неограниченным потоком жидкости, обтеканир симметричного препятствия в канале, обтекание и дуг по схеме Кирхгофа и нахождение"формы профиля, движущегося под свободной поверхностью. ф Монография (356~ вызвала к жизни многочисленные исследования, посвященные обратным краевым задачам теории струй и принадлежащие главным образом о ученым казанской школы гидро- У динамиков.
Современное состоя- 4 ' ние вопроса отражено в обзоре ~2461. В качестве примера рас- З С смотрим простейшую задачу (см. работы Г. Н. Пыхтеева ~271 — 2731). Возьмем дугу ВСА, сим- у метричную') относительно оси х рис 4 24 (рис. 4.24). В отличие от ~ 18, дуго- вую абсциссу 8 будем отсчитывать от точки:С'к точкам А и'В.'так,.
что на дугах СА и"СВ будем иметь з>"0 и йр=осЬ. Пусть длина дуги' ВСА равна 2я,"'и скорость на 'ВСА задана уравнением ~~ =, ~0~ (4~~0), (20.1) где ~ (з/з,) — известная функция, удовлетворяющая условиям ~(0)=0, ~(1)=1. Отобразим области изменения г, комплексного потенциала в=(р+гф и функции а=~1п(йы/(о,фг)) на верхнюю полупло- скость параметрического пере- Ф менного 1, причем соответст- вие точек областей г и 1 вид-оо -г ~? но из рис.
4.24 и 4.25. Об.Р Ю Р А .у ласть изменения и ничем не отличается от изображенной Рис. 4.25. на рис. 1.2 и, очевидно, у (р ~й 149 $201 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА Зная я как функцию от ~, мы знаем и скорость о=оо~(з/8о) как функцию от 1, а тогда легко найти и функцию в в зависимости от 1. Действительно, в бесконечности а = 8+ ~ 1п (о/оо) обращается в нуль, на свободных поверхностях 1тпа=1п(о/оо) = =О, а на дуге ВСА мнимая часть в есть известная функция 1. Значит, для определения в (1) можно воспользоваться формулой Шварца для полуплоскости: (20.4) Если найти зависимость 8(1) из (20.3) затруднительно, то а(1) можно найти из (20.4) с помощью замены переменного интегрирования (см.
(20.3)): о/ое 1/2 ~о~о (20.5) О ! Задачу можно, таким образом, считать решенной. Форма дуги ВСА и струй находится с помощью равенства „., 90 ЕЙЙ~ д~ Оо (20.6) в котором после подстановки пределов интегрирования выделяют действительную и мнимую части. Сопротивление контура можно рассчитать (см. работу 127Ц) как путем суммирования проекций давлений на дугу, так и с помощью формулы, аналогичной формуле Леви-Чивиты (16.22). В рабстЕ 127Ц раССМОтрЕН ПрИМЕр, КОГда О=Оо~(я~го) =Оо(З/Зо)1", где Х >1, а в работе 12731 найдено точное решение струйной задачи об обтекании некоторого двухпараметрического семейства контуров.
Глава У КАВИТАЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ ф 21. Явление кавитации. Постановка задачи Кавитацией называется появление в жидкости областей, за. полненных парами или газами. Как известно, реальные жидкости слабо сопротивляются растягивающим усилиям ~отрицательным давлениям), хотя в некоторых специально поставленных опытах удавалось подвергать особо чистую жидкость отрицательному давлению, не вызывая разрыва сплошности'). Однако жидкости, встречающиеся в природе и используемые в технике, содержат взвешенные твердые частицы и растворенные газы и менее способны воспринимать растягивающие усилия, чем жидкости, очищенные от примесей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
