М.И. Гуревич - Теория струй идеальной жидкости (1123851), страница 12
Текст из файла (страница 12)
А. Лаврентьев ~2011). Рассмотрим, следуя Бриллуэну [4391, два вида задач об обтекании препятствий с отрывом струй. а) Если в точках отрыва струй А и В кривизна струй конечна, т. е. удовлетворяются условия (17.6) и (17.7), то такое течение будет называться обтеканием замкнутого контура с непрерывной кривизной (за исключением точки С) или, сокращенно, обтеканием контура. б) Если хотя бы одно из условий (17.6) или (17.7) не удовлетворяется, т. е. хотя бы в одной из точек А или В кривизна струи бесконечна, то такой тип течения будем называть обтеканием дуги. В случае а) обтекаемую дугу можно замкнуть контуром с непрерывной кривизной (в частности, в точках А и В), удовлетворяющим второму условию Бриллуэна, т.
е. таким контуром, который нигде не пересекается поверхностями струй (рис.4.1). В случае б), если в окрестностях точек А и В, в которых кривизна струй бесконечна, контур и поверхности струй обращены выпуклостью в сторону жидкости, замкнуть дугу АВ контуром с непрерывной кривизной невозможно, так как струи, очевидно, пересекут контур (рис. 4.5) '). ~) Вопросы разрешимости струйных задач идеальной сжимаемой и весомой жидкости кратко рассматриваются в главе Х и в главе Х11 соответственно. з) Напомним, что если в точках А и 8 кривизна меняет знак, то обтекание замкнутого контура с непрерывной кривизной (за исключением точки О делается возможным (рис.
4.8, 4.9). ОБТЕКАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ [гл. 17 Применение вариационных принципов к решению задач теории струй оказалось очень полезным, и возможности этого приме-. нения в настоящее время далеко не исчерпаны. Впервые на возможность применения к изучению струйных течений вариационных принципов указал, по-видимому, Рябушинский ~5821. Гарабедян, Леви, Шиффер и Спенсер 1483, 4851 использовали идею Рябушинского для доказательства существования симметричных плоских и пространственных струйных течений.
Переходя к вопросу о существовании и единственности решения задачи о струйном обтекании неограниченным потоком дуги или контура, следует указать на две основные работы — работы Лере 15341 и М. А. Лаврентьева [20Ц. Используя методы функционального анализа, развитые Лере совместно с Шаудером ~535~, Лере весьма полно исследует проблему существования и единственности решения задачи о струйном обтекании препятствия неограниченным потоком, Вопрос об эффективном решении задачи Лере в своей работе не рассматривает. Лере рассматривает препятствия двух видов.
Но во всех случаях каждая прямая, параллельная скорости в бесконечности, направленной вдбль оси х, пересекает препятствие не более чем в одной точке.~ Препятствия первого вида имеют всюду конечную кривизну, которая, если ее рассматривать ка~ О~ функцию длины дуги, удовлетворяет условию Гельдера с показателем в интервале от '/, до 1. Рйс. 4.14. Препятствие В,С, второго ви- да, названное Лере акколадой (скобкой), изображено на рис.
4.14. Дуги В,В, и С,С, выпуклы в сторону потока. Дуги В,А и АС, вогнуты в сторону потока. При движении от С, к С, и от В, к В, абсолютные значения кривизн дуг В,В, и С,С, возрастают (или во всяком случае не убывают). Дуги В,А и АС, могут содержать прямолинейные отрезки. Точка А может быть угловой точкой, точкой заострения и.точкой, касательная в которой непрерывна. За исключением последнего случая, линия тока, подходящая к препятствию, раздваивается в точке А. Препятствие, вогнутое в сторону потока, и круговое препятствие являются частными случаями акколады.
Основное функциональное уравнение, которым пользуется Лере, получается из (18.17) и интегрального соотношения (18.1б). Лере доказал, что для рассмотренных им препятствий задачи $181 УРАВНЕНИЯ ВИЛЛА И НЕКРАСОВА о струйном обтекании контура и дуги всегда имеют по меньшей мере одно решение, удовлетворяющее условиям Бриллуэна. Следующие задачи имеют единственные решения: 1. Задача об обтекании выпуклой дуги. 2. Задача об обтекании симметричной дуги. 3. Задача об обтекании выпуклого кругового контура. 4. Задача о симметричном обтекании контура в том случае, когда препятствие является акколадой.
Кроме того, Лере показал, что существуют симметричные выпуклые контуры, для которых задача о струйном обтекании имеет несколько решений. Заметим, что работы Вайнштейна, Лере и Шаудера не только определили одно из важнейших направлений теории струй, но и явились основополагающими для функционального анализа. Идеи Лере получили дальнейшее развитие в фундаментальных работах Кравченко ~524~, Удара ~56Ц, Гурона ~505~. Первый из этих авторов обобщил результаты Лере на случай препятствия, помещенного в канале с прямолинейными стенками (следует обратить внимание читателя на проведенный Кравченко анализ случая, когда расстояние между препятствием и,'стенками канала мало). Второй исследовал вопросы существования и единственности в случае препятствия, помещенного в канале с искривленными стенками.
Впоследствии Кравченко удалось обобщить свои результаты 1525~, изучив условия существования (но не единственности) решения задачи о струйном обтекании в канале дуги, имеющей угловые точки, и дуги, для которой х (у) удовлетворяет условию Липшица. Гурон ~505~, используя результаты Кравченко, доказал единственность решения задачи о струйном обтекании в прямолинейном канале по схеме Кирхгофа выпуклого препятствия, состоящего из криволинейных дуг. Основную теорему Лере — Шаудера использовал В. Н.
Монахов ~231, 2321 для доказательства однозначной разрешимости задачи об обтекании гладкого препятствия, скорость на котором не обращается в нуль, причем на свободных поверхностях скорость задается как функция декартовой координаты х. Исследование проводится с помощью введения системы координат х, ф (ф — функция тока) и применения результатов теории краевых задач 'для квазилинейных эллиптических систем, развитой В. Н. Монаховым (см.
его книгу 1234~). Существование и единственность решения ряда струйных задач методом Лере доказал М. И. Хайкин ~372~, причем он рассматривал задачи, в которых на свободных поверхностях скорость задается как функция дуговой абсциссы. И. Л.
Гуревич обобщил результаты В. Н. Монахова и доказал существование решения задач о струйном обтекании ~гл. ~ч ОБТЕКАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ препятствий с угловыми точками, когда на свободной границе скорость задана как функция дуговой абсциссы з. Им доказана также единственность при некоторых ограничениях на кривизну препятствия ~79 — 811. Перейдем к оригинальной работе М.
А. Лаврентьева 12011, основанной на развитых им вариационных принципах. Основной вариационный принцип М. А. Лаврентьева имеет следующую простую гидродинамическую интерпретацию: если считать скорость потока в бесконечности равной единице, то при деформации части обтекаемого контура скорость потока вдоль недеформированной части контура будет уменьшаться или увеличиваться в зависимости от того, будут ли деформированные части контура находиться в первоначальной области течения или вне ее ~2001. В первой части статьи 1201~ изучены функции, реализующие конформное отображение полуплоскости на области с одной Препята5ае Рис. 4.15. бесконечно удаленной граничной точкой. Вторая часть статьи посвящена приложениям полученных математических результатов к теории струй. В работе доказывается существование и единственность решения струйной задачи об обтекании неограниченным потоком дужки, симметричной относительно оси х.
При этом рассматривается только одна половина течения. В качестве естественного обобщения исследуйся и задача о срыве струй с препятствия для полуплоскости (рис. 4.15). Эта задача отличается от задачи о симметричном обтекании дужки тем, что на струи не накладывается более условие, запрещающее им проникать в другую (верхнюю) полуплоскость. Кроме того, в задаче о симметричном обтекании дужки рассматривается не только случай, когда струи уходят в бесконечность, но и случай, когда они могут соединяться на конечном расстоянии за дужкой.
М. А. Лаврентьев установил также некоторые достаточные признаки существования конечных и бесконечных струй'). 1) В литературе свободные поверхности струй часто называются просто струями. В тех случаях, когда это не сможет привести к недоразумениям, мы иногда будем употреблять термин ~струиъ в таком смысле. % 181 УРАВНЕНИЯ ВИЛЛА И НЕКРАСОВА 139 В отличие от Лере, М.
А. Лаврентьев не делает никаких предположений относительно числа точек пересечения дужки у с прямыми, параллельными вектору скорости в бесконечности (ось х), но требует, чтобы каждый перпендикуляр к оси х пересекал дужку у не более чем в двух точках или по отрезку.
Что касается условий, налагаемых на обтекаемую дужку у, то требуется только, чтобы она состояла из конечного числа дужек с ограниченной кривизной. М. А. Лаврентьев доказал, что если отмеченные выше условия выполняются, то решение задачи об обтекании дужки существует и является единственным. М. А. Лаврентьев не ограничился рассмотрением вопроса о существовании и единственности решения струйных задач. Так, М. А. Лаврентьев рассматривает в своей работе задачу об обтекании выпуклых контуров, симметричных относительно оси х. Эта задача имеет несколько другой смысл, чем указанная выше задача о струйном обтекании контура в работе Лере, так как автор не рассматривает вопроса о том, конечна или бесконечна кривизна струи в точке ее отрыва от тела, и вопроса о выполнении первого условия Бриллуэна.
М. А. Лаврентьев интересуется только тем, пересечет 4 или не пересечет контур сорвавшаяся с него струя. При такой постановке задачи доказываются следующие три тео- ~7 ремы. 1. Множество точек выпуклого контура Г, в которых А возможен (при симметричном обтекании Г) отрыв струй, представляет собой дугу Г, с концами А, А', расположенны- Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
