Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Пространственно-временные режимы в системе Белоусова-Жаботинского На рис. 17.5 показана последовательность развития во времени разного рода режимов на поверхности чашки Петри в ходе реакции Белоусова-Жаботинского. В лекции 16 мы говорили, что если локальный элемент системы обладает колебательными свойствами, распределенная система может демонстрировать ведущие центры (а), спиральные волны (в), сложные пространственно-временные распределения (б, г).
На каждой серии рисунков показано последовательное развитие процессов во времени 114). Встает вопрос: можно ли с помощью внешних воздействий влиять на развитие этих сложных структур во времени и пространстве? Воздействия заключаются в изменении скорости притока конечных и промежуточных веществ в сферу реакции, различных режимах постоянного и периодического освещения, радиоактивном облучении частицами высокой энергии. Такие исследования имеют большой практический смысл. Они позволяют находить способы управления автоволновой активностью и помогают искать режимы воздействия на спиральные волны в активной ткани сердца, распад которых приводит к фибрилляциям.
Действительно, уже в первых аксиоматических моделях активных сред (см. лекцию 18) было обнаружено, что если в среде имеется спиральная волна, выход ее «кончика» на границу активной области приведет к затуханию такой волны (15). Реакция Белоусова-Жаботинского представляет собой хорошую экспериментальную модель для изучения управления волновой динамикой. При изучении воздействий разной природы используются разные модификации ВУ.-реакции. Воздействие а частиц высокой энергии из циклотрона изучают на системе, в которой вместо соединений Се используют феррони — комплекс двухвалентного железа Ре(11) с фенантролином (рпеп).
При облучении раствора в капилляре наблюдаются две плоских волны, которые расходятся в противоположных направлениях от центра облучения. При облучении раствора в чашке Петри наблюдается возникновение концентрационной волны с центром на облученном участке раствора. Под действием тотального облучения всего реакционного объема наблюдается полное гашение автоволновых процессов [16). 357 РЕАКЦИЯ БЕЛОУСОВА-ЖАБОТИНСКОГО ЕИМИЕР; И й' Ейнци ГЖИ ИЙФи Рис. 17.5. Различные пространственные режимы в реакции Белоусова — Жаботинского. 358 ЛЕКЦИЯ 17 Рис. 17.6.
Спиральные волны в тонком слое возбудимой реакционной среды Белоусова— Жаботинского, размер ячейки 9 кв. мм 17]. С точки зрения экспериментальных возможностей особенно удобно использовать разные протоколы светового воздействия, постоянное освещение всей реакционной системы или ее части, постоянное освещение разной интенсивности, периодическое освещение и др. Управление с помощью светового воздействия становится возможным при использовании в качестве катализатора реакции светочувствительных ионов Кп(Ьру)з~'. Обычно реакция проводится в чашке Петри. заполненной тонким слоем силиконового геля, в которую добавлены реагенты, необходимые для протекания ВУ.-реакции.
В такой системе наблюдаются расходящиеся спиральные волны, однако воздействие тонкого лазерного луча приводит к разрыву фронта и возникновению двух спиральных волн (рис. 17.6) 17, 8]. Управление траекторией кончика спиральной волны В лаборатории профессора Штефана Мюллера (Магдебургский университет, Германия) была разработана техника, позволяющая «выводить» кончик одной из волн за границу чашки Петри, и в дальнейшем наблюдать эволюцию единственной спиральной волны, «кончик» (пр) которой совершает сложные пространственные перемещения, траектория зависит от режима освещения [6].
При постоянном освещении кончик описывает циклоиду с четырьмя «лепестками» (рис. 17.7, пунктирная линия). Изучалось воздействие световых импульсов на траекторию кончика спиральной волны. Импульсы подавались в тот момент, когда фронт волны достигал некоторой точки (на рисунке помечена крестом), или с некоторой заданной задержкой. Мюллер Штефан ! Мойег агегеп) — ие- мецкий физик, физиио- лелги, бисфизик, ирт» иый специалист е сбпасг'и прсцассса самс сргеиизации а физиче.
свих и химических РЕАКЦИЯ БЕЛОУСОВА-ЖАБОТИНСКОГО 359 Рис. 17.7. Два типа траекторий кончика спиральной волны, полученных в эксперименте для светочувствительной ВУ;реакции. Расстояние от центра невозмушенной траектории (пунктир) до точки измерения (крестик): а — 0.49 мм, б — 0.57 мм 161. Запое Впапимир Сар. пнюнч — российский физик, физико-химиК специапист а области математическото мо- (17 12) п~ир~нип аа~~пноеык процессов и образоеанин структур е реакционно-диффузионных системах. т к — = и — и — и(и — т)), т(г й — =и — р, т(г ,Ыи е — = Г р — и'(и+ к))+бх туг Наблюдали два типа режимов.
В случае, когда «точка измерения» находилась близко от центра невозмушенной траектории, через некоторое время движение кончика приходило на асимптотическую траекторию с центром в «точке измерения», при этом расстояние между положением кончика и точкой измерения не превышало размеров петли циклоиды (рис. 17.7а). Наличие обратной связи приводило к синхронизации — период импульсного светового воздействия устанавливался равным времени, в течение которого кончик спиральной волны описывая одну петлю циклоиды. В случае, когда точка измерения находилась относительно лалеко от центра невозмушенной траектории, кончик спирали описывал траекторию, по форме напоминающую дрейф 4-лепестковой циклоиды вдоль круга большого радиуса, центр которого опять находится в «точке измерения».
Оба режима оказались устойчивы по отношению к малым смещениям точки измерения, то есть представляют собой аттракгоры. Сходный результат получается, если световой импульс подается с некоторым запаздыванием по отношению к моменту прохождения волны через точку измерения. Радиус «большого круга», по которому перемещается циклоида, растет с увеличением времени запаздывания.
При периодической модуляции постоянного освещения наблюдается синхронизация движения кончика и дрейф «кончика» волны (рис. 17.7а). Для математического описания процесса использовали модель 110]: ЛЕКЦИЯ 17 Здесь переменные и, к и и соответствуют концентрациям НВгОь катализатора и концентрации бромида. Член (в в третьем уравнении отражает индуцированный светом поток ионов Вг, )", д — безразмерные параметры.
Оценка констант скоростей отдельных реакций показывает наличие временной иерархии процессов в системе: (17.13) е « ««1. Выполнение этого неравенства позволяет считать концентрацию бромида и «очень быстрой переменной», правую часть уравнения для этой переменной приравнять нулю и найти для ее квазистационарного значения выражение через концентрации более медленных переменных: (17.14) Подставив это выражение в первое и второе уравнения системы (17.12) и учитывая диффузию реагентов, получим для такой модифицированной модели «орегонатор» систему типа реакция — диффузия: ди, 1~ и — д1 — = к'и+ — и — и' — (б +(л) дг У-, (17.15) д» Здесь переменные и и к соответствуют концентрациям НВгОз и катализатора.
В работах группы С. Мюллера и В. Зыкова (б, 10) с использованием системы (17.15) на модели изучены параметры системы, при которых воспроизводятся наблюдаемые в эксперименте режимы (рис. 17.8). Рис. 17.8. Рассчитанные на модели (17.15) траектории кончика спиральной волны для амплитуды воздействия А = 0.01 и разных значений времени запаздывания г в «контуре управления» световыми импульсами. а) г = 0.8, б) г = 1.5 16]. РЕАКЦИЯ БЕЛОУСОВА — ЖАБОТИНСКОГО 361 лт 0 0.5 20 Т, 4.0 60 Т Рис. 17.9. Типы траекторий кончика спиральной волны, полученные в ходе вычислительных экспериментов на модели (17.15) прн разных периодах гармонической модуляции параметра бт, чувствительного к световому воздействию.
По оси абсцисс отложен период модуляции, по осн ординат — амплитуда модуляции. Пунктирные линии обозначают границы областей, в которых происходит резонансный сэахват» частоты собственных колебаний системы частотой воздействия; )уул — отношение числа петель, которые описывает кончик спиральной волны, к числу периодов модуляции светового воздействия, Тс — собственный период оборота кончика спирали в отсутствие внешнего воздействия 1101. Модель позволяет также изучить возможные режимы поведения кончика спиральной волны при разных амплитудах и частотах модуляции периодического светового воздействия.
Общая картина видов траекторий суммирована на рис. 17.9, общая теория такого типа систем была разработана В. И. Арнольдом, а графики областей, в которых наблюдается подобный тип поведения, получили название «языков Арнольда». Модельные исследования автоволновых процессов в реакции Белоусова — Жаботинского внесли важный вклад в изучение возможностей управления автоволновыми процессами втаких жизненно важных органах, как мозг и сердце. В последующих работах было показано, что с помощью этой реакции можно моделировать большое разнообразие процессов, в том числе формирование спиральных волн (в терминологии кардиологов — реентри), появление которых в миокарде связывают сфибрилляциями и различными аритмиями— опасными сердечными заболеваниями (рис. 17.10). Ванек Владимир кар лоан ч — росоецний фии«С физико-химик, биофизик.
Специалист в области диссипатиа- ных счцитур. Им Впер- ены обнаружены антиизпны, копабетельные лмссцз», степина. прин гаккцие и ытрнк- волны, В таска локепизо. санные структуры в химичесзик реакци- онно-диффузионных 362 ЛЕКЦИЯ 17 Рис. 17.10. Трехмерный вращающийся вихрь (реентри) в желудочках собаки (а, б), модель [1], и в реакции Белоусова — Жаботинского (в,г), эксперимент [1Ц. Сложная форма вихря в трехмерной модели возникает из-за сложной геометрии и анизотропии среды желудочков. Более полувека продолжается экспериментальное и теоретическое исследование ВХ-реакции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
