Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Пунктиром обозначены изоклина горизонтальных касательных (прямая) и изоклина вертикальных касательных, которая имеет Х-образный характер. 6) поведение переменных и н г во времени в случае, когда фазовая траектория начинается в точке А. Случай налнорогового возбуждения (15]. В случае, когда равновесное значение потенциала на мембране не равно нулю, изоклина вертикальных касательных будет пересекать ось г не в нуле, как на рис. 18.3а, а в точке г = 7,. На рис. 18.4 представлены возможные случаи расположения главных изоклин в системе (18.7), когда 1, -е 0 В случаях (а) и (в) система имеет единственное устойчивое стационарное состояние, но кинетика переменных в случае (а) может иметь характер импульса, как мы это видели выше.
В случае (б) единственное стационарное состояние неустойчиво, в системе может реализоваться колебательная неустойчивость и предельный цикл. В случае (г)— два стационарных состояния 51 и Вз — устойчивы, а состояние 5з — неустойчиво. Система имеет триггерный характер. ЛЕКЦИЯ 18 374 Рис. 18.4. Главные изоклины в модели Фитцхью-Нагумо (18.7) лля разных значений приложенного напряжения. В случае (а) стационарное состояние локально устойчиво, но «возбудимо» в том смысле, что при достаточно больших отклонениях изображающая точка описывает траекторию, соответствующую одиночному «импульсу» (см.
рис. 18.3). В случае (б) стационарное состояние неустойчиво, возможно существование предельного цикла и автоколебаний (см. лекцию 8). В случае (в) стационарное состояние устойчиво. В случае (г) состояние 5, — неустойчиво, а 5, и 5з — устойчивы, между ними возможны переключения (9). Рассмотренное выше локальное поведение приводит к автоволновым явлениям: распространению импульса в случаях (а) и (в) (возбудимая среда), стоячим и бегущим волнам и возникновению устойчивых негомогенных распределений концентраций в случаях (б) (колебательная неустойчивость) и (г) (седловая неустойчивость). Пространственно распределенная система Фитцхью — Нагумо отличается от системы (18.7) тем, что в ней учтено распространение потенциала вдоль кабеля (нервного волокна): аи д" — = 7'(и) — и+з. +Π—,, аг дх' ' й — = Ьи — уг, аг (18.8) 1(и) = г(а — и)(и — 1).
Посмотрим, как возникает бегущий импульс в такой системе (рис. 18.5). МОДЕПИ РАСПРОСтРАНВНИЯ НН ВНОГО ИМПУЛЬСА. 375 Рис. 18.5. Распространение импульса в случае надпорогового (а) и подпорогового (б) воздействия: а) при начальном отклонении потенциала больше пороговой величины и = а в системе возникает бегущий импульс, который распространяется вдоль нерва без изменения формы (уедниенная волна); точки А, В, С, О соответствуют точкам на фазовом портрете 18.3а; б) прн начальном отклонении потенциала в точке возбуждения меньше пороговой величины и = а (точка Р на рис. 18.3а) бегущий импульс быстро затухает.
Для упрощения качественного рассмотрения будем считать Ь и у малыми: Ь = ВЕ, у= ВМ, О < к <1. (18.9) При 1, = 0 система (18.8) принимает вид ди д'и — = )3 —, + Г" (и) — т, д1 д2 дг — = а(Еи — Мт). д (18.10) Рассмотрим передний фронт импульса, изображенного на рис. 18.5. При е — 0 из (18.10) следует, что т = сопки Из рис. 18.5а видно, что т = О. Мы приходим к одному уравнению для потенциала и: ди ди — =13 —,+г"(и), дг да' представляющего собой уравнение Петровского-Колмогорова — Пискунова (15.1) с функцией )'(и) = и(а — и)(и — 1). Распространение фронта в модели Петровского-Колмогорова-Пискунова мы рассмотрели в лекции 15 и говорили о том, что в такой системе скорость распро- Б странения фронта постоянна и равна ( — (1 — 2а). Учет медленных изменений 'т' 2 величины г на участке траектории ВС (рис.
18.3а, 18.5б) приводит к следующему выражению для скорости распространения одиночного импульса (91: с= ~ — (и — 2иа+иа). и ~г 376 ЛЕКЦИЯ 18 Модель Ходжкина — Хаксли описывает электрическую активность гигантского аксона кальмара. В 1962 году Нобл 11 Н предложил использовать сходную модель для описания потенциалов действия рабочего миокарда и водителей ритма волокон Пуркинье. С той поры модель постоянно усложнялась и совершенствовалась по мере получения экспериментальных результатов о деталях работы системы.
Многие результаты были получены в лаборатории Нобла и в ходе рабо,мй „-„и, -„м ты над возглавляемыми им проектами. хайгигеич (тщб- Для моделирования активности клеток сердца — кардиоциЗЮ9) — советский роса й~ тов — использовали те же принципы построения модели. Сотрос в о мв ц временная модель кардиоцита включает существенно большее количеспю мембранных токов. В первой модели Нобла, как и в модели Ходжкина — Хаксли, суммарный ток мембраны имел ммкимтачных езаимо- « ДвйСТВИй.
три компонента: )т)а, К и ток утечки, который, по крайней мере частично, объясняется за счет ионов хлора. В дальнейших версиях модели была учтена роль Сам как важного деполяризующего тока [8]. Современная схема мембранных и внутриклеточных токов в модели клеток синусного узла сердца кролика (18) представлена на рис. 18.6. Она включает подробную расшифровку основных мембранных токов, функционапьные различия истинных и латентных водителей ритма, изменения внутриклеточных концентраций ионов натрия, калия и кальция, функцию саркоплазматического ретикулума.
Модель позволяет изучать механизмы регуляции системы в широком диапазоне условий эксперимента и объясняет многие наблюдаемые феномены. вобл Денис (На(яе Оепм) — английский биофизик и нейрофи- а«ххх. Автор деталь- ных моделей фуецио- нираввння сердца, руммОдитаг» рабгп па прерамме виртуаль- ное сердце». Руководи- тель мемяународмхо проекта «Физиом . ЦВпыо ТОто(эоГО являет. ся создание моделей, интмгмруххгзм анния о функционировании биопмических систем ст уровня биомацтсмо.
лекул до уровня целого ОРГВНИЗМВ. Добавление к модели (18.8) уравнения. описывающего трансмембранный перенос ионов Са'~, позволяет описать периодическое возникновение пачек импульсов, бегущих вдоль нервного волокна (13, 14). Модель Фитцхью-Нагумо представляет собой в некотором смысле упрощенную «модель» системы Ходжкина— Хаксли, позволяющую наглядно увидеть на фазовых портретах те свойства системы, которые определяют ее качественное поведение, в частности, существование порога возбуждения. В настоящее время получены рентгеноструктурные данные о молекулярном строении каналов, обеспечивающих «воротные» токи и осуществляющих перенос ионов На', К' и Сам через возбудимую мембрану нервной клетки. С учетом этих данных модель Ходжкина-Хаксли, зарекомендовавшая себя как очень хорошая эмпирическая модель, требует новой биологической интерпретации. Детальные модели кардиомиоиитов 377 МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕРВНОГО ИМПУЛЪСА.
Ьа Ьа.т ЬМ !8 $М !йг !]йа Ыаиа !йаай Рнс. 18.6. Схема мембранных н внутрнклсточныъх токов в модели клеток сннусного узла сердца кролика П8]. 1м — натрневый ток; 1с,т. 1с,д — кальциевые токи Т н 1. типов: 1~— акгнвируемый при гнперполярнзацнн ток; 1и — фоновый ток; 1„„1„, — быстрый н медленный калиевые токи задержанного выпрямления; 1м 1 — компоненты чувствительного к 4- амидопириднну тока; 1ꄄ— активнруемый АСХ калиевый ток; 1 т, 1н„к — Ха-К насос; 1„к, — Ха-Са обменник; 1с — Са насос; 1 „— рианодиновый кальциевый ток; 1, — Са насос саркоплвзматического регикулума 1СР); 1, — кальциевый ток внутри СР; ХЕй и 18й — сетевой СР и терминальные цистерны СР; ТС, ТМС, СМ, СΠ— тропонин, тропонин-М8 сайты, кальмодулин, кальсеквесгрин. Аксиомвтические модели возбудимой среды.
Автоволновые процессы и сердечные нритмии Для изучения процессов в сердечной мышце необходимо рассматривать двумерные и трехмерные модели. Первые успехи в анализе автоволновых процессов в биологических обьехтах были получены не при исследовании уравнений с частными производными, а при изучении гораздо более простых моделей. Пионерской в этой области была работа Винера и Розенблюта 117], в которой был предложен подход к анализу волн в возбудимых тканях, основанный на изучении формальной возбудимой среды. В более общей форме такие же идеи были развиты Гельфандом и Цетлиным [23, 24], а затем и другими авторами на ':,', '. 'ф® =, моделях клеточных автоматов.
При построении моделей учи- А й Ргв Рв тывали, что процесс возникновения и распространения возбуждения в биологических объектах, в частности в нервных тканях, в г обладает рядом четко выраженных свойств, отправляясь от которых можно построить формацьную модель этого явления. ч л, Р л6тзпьньФ мОдапвй Распространение волн в возбудимых тканях отличается от распространения обычных электромагнитных и механических 378 ЛЕКЦИЯ 18 волн.
Во-первых, волны возбуждения могут распространяться без затухания за счет запасенной в клетках энергии. Во-вторых, после периода возбуждения наступает так называемый рефрактерный период, в течение которого клетка не реагирует на поступающие к ней сигналы. Это свойство делает невозможным интерференцию и отражение волн. По окончании периода рефрактерности свойства клеток полностью восстанавливаются, и по ткани опять может распространяться волна возбуждения.
Сформулируем простейшее аксиоматическое описание возбудимой ткани. Будем считать, что такая ткань состоит из множества элементов, обладающих следующими свойствами: 1. Каждый элемент х множества Х может находиться в одном из трех состояний: покой, возбуждение и рефрактерность 2. Состояние возбуждения имеет некоторую длительность г (различную, вообще говоря, для разных х), затем элемент переходит на время Р(х) в рефракгорное состояние, после чего возвращается в состояние покоя. Моисеееич (1913- 3. От каждого возбужденного элемента возбуждение расВХ6) — Один и««ртпнеаши«мзтзьмтимм пространяется с некоторой скоростью р по множеству нахони«атер математиче- дящихся в покое элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
