Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Она обусловлена тем, что ионный состав протоплазмы нервных и мышечных клеток сильно отличается от ионного состава окружающей внеклеточной жидкости; в протоплазме концентрация ионов калия в 30 — 50 раз больше, а ионов натрия — в 10 раз меньше, чем снаружи. Положительно заряженные ионы калия, выходя через клеточную мембрану наружу, создают потенциал покоя. Ионы натрия (заряженные тоже положительно), проходя в обратном направлении, создают противоположный эффект, но так как в состоянии покоя мембрана значительно более проницаема для калия, чем для натрия, первый процесс доминирует, и в результате возникает указанная выше разность потенциалов.
МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА. 369 мВ 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Рнс. 18.1. Форма нервного импульса во времени. Потенциал отсчитывается от уровня потенциала покоя. По оси абсцисс отложено время в мс, по оси ординат — потенци- ал в мВ.
Опыты с использованием фармакологических агентов позволили разделить протекающий поперек мембраны ток на составляющие, соответствующие )т)а' и К токам (!ьв и 1к). В формировании тока принимают участие и другие ионы, в частности ионы Са~'. В модели Ходжкина-Хаксли их вклад характеризовали общим током «утечки» (1г). Общий ток!(1) представляет собой сумму токов от- Когда мембрана переходит в возбужденное состояние (под влиянием внешнего воздействия, возбуждения соседних участков мембраны и т.
д.) избирательным образом меняется ее проницаемость для различных ионов. Сначала происходит резкое увеличение натриевой проницаемости мембраны и поток положительно заряженных ионов натрия устремляется внутрь клетки. При этом разность потенциалов по обе стороны мембраны сначала снижается до нуля, а затем меняет знак: аксоплазма становится заряженной положительно по отношению к внеклеточной среде, причем разность потенциалов достигает в максимуме примерно 30 мВ.
(Таким образом, полное изменение мембранного потенциала по сравнению с исходным значением составляет примерно 100-120 мВ.) После этого снова начинает преобладать поток ионов калия наружу, и система постепенно возвращается к исходному состоянию покоя. Изменение потенциала при возбуждении показано на рис. 18.1.
Хаксли Зндрго фил- динг (дпбгем НеЮпр Нидеу) — английский нейрофизиопог и био. физик, лауреат Нобе- лееа«д премии по физиологии и медици- не в 1йбэ году. Братом Эндрю был писатель олдгм ха, р изеесп«ко р~мана- антнутспин О дивный новый мир» и прутик произведений. 370 ЛЕКЦИЯ 18 дельных ионов через мембрану и «емкостного тока», вызванного вариациями трансмембранного потенциала У.
Таким образом 1(/)=С +1,, л/У л/г (18.1) где С вЂ” емкость мембраны,1= /п«+ /к+ 1ц На основе экспериментальных данных о зависимости проводимости мембраны для различных ионов от потенциала на мембране А. Ходжкин и Э. Хаксли описали величины ионных токов с помощью функций, зависящих от «концентраций» некоторых гипотетических частиц, перемещающихся в мембране под действием электрического поля. Моделью Ходжкина-Хаксли называется следующая система нелинейных дифференциальных уравнений: а д'У дУ 7С+(Ух)Я«+(Е„.)д„,т'+(' — Е„)л,(18.2) 2Ю дх' л/п — = а„(1 — п) — /В„п, л// (18.3) л/лп — = а„(1 — лп) — /5 лп, л// (18.4) лй — = а (1 — /л) — /О /л.
л л (18.5) О, 01(У + 10) У+10 ехр -1 10 0,1(У + 25) У+25 ехр -1 10 ал =0,07ехр(У/20), ф„=0,125ехр(У/80), (18.б) /б =4ехр(У/18) /Зл = 1 У+30 ехр — — +1 1О Коэффициенты в формулах подобраны эмпирически. Модель (18.2)-(18.6) позволяет описать основные свойства проводящего нервного волокна. Рассмотрим некоторые из них.
1. Генерация импульсов. Допустим, что нервное волокно, находившееся первоначально в покое, стимулируется на протяжении короткого времени внеш- Здесь п, пл и /л — функции потенциала и времени, определяющие поведение натриевого и калиевого токов, а — радиус волокна, Š— удельное сопротивление пРотоплазмы, С вЂ” УдельнаЯ емкость мембРаны, Е«,Е„.,Е»,8«,8»,,Я, — постоянные параметры и, наконец, а„, а, ал, //„, ф, /ул — заданные функции потенциала, имеющие следующий вид 141: МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА.
371 ним источником тока. Как показывает анализ уравнений, при этом прежде всего начнет возрастать величина лг(У, г), что приведет к увеличению натриевого тока, равного ($~ — Е,)я .ггз'гз, а следовательно, и к увеличению разности потенциалов между протоплазмой и внешней средой (то есть к усилению деполяризации волокна). При увеличении деполяризации величина лт растет, а величина 7з уменьшается, причем эти изменения лт и )з связаны так, что величина т )г, входящая з в выражение для натриевого тока, сначала растет, а потом начинает убывать.
2. Подпороговая стимуляция, порог. Известно, что изменение потенциала мембраны приводит к возбуждению нервного волокна и возникновению в нем импульса лишь в том случае, когда это начальное изменение превышает некоторую определенную величину, называемую порогом, а слишком малые «подпороговые» изменения потенциала затухают, не порождая импульса. Наличие такого порога аналогично существованию определенной температуры воспламенения, то есть температуры, до которой нужно нагреть данное вещество для того, чтобы оно загорелось. 3. Рефрактерность.
Наличие у всех нервных и мышечных волокон рефрактерности, то есть некоторого периода невозбудимости, наступающего после прохождения импульса, тоже естественно вытекает из рассматриваемой модели. Как мы уже видели, через некоторое время после возникновения в волокне импульса параметр )г становится мал, а параметр л возрастает. В этих условиях при любом увеличении мембранного потенциала соответствующий калиевый ток будет превышать натриевый, то есть любая стимуляция будет подпороговой. В этом и состоит явление рефрактерности. 4. Аккомодация.
Из эксперимента известно, что если действовать на нервное волокно током постепенно нарастающей 'з силы, то такое воздействие приводит к возникновению импульса в волокне лишь в том случае, если скорость нарастания тока превышает некоторую определенную величину; при ф г 'р" рд (НГхицяц ЙсЬагб, т Ыгслишком медленном увеличении тока волокно не возбужда- яссу) „,р ется (это явление называется «аккомодацией», или «привыка- в сбласти математичением» волокна).
В модели Ходжкина-Хаксли наличие аккомо-,,д ир, дации объясняется тем, что при медленном нарастании тока семге'ед"Унт "внб' лее популярных мадеУСПЕВаЕт РаЗВИтЬСЯ НатРИЕВаЯ ИиаКтИВаЦИЯ, В СИЛУ ЧЕГО На- лебммббглгемм,„,. триевый ток не может превысить калиевый и импульс не воз- цхьге- Нагумо, мглфая никает. Минимальную скорость нарастания тока, при кото- сгммсоцв,р„янггг рОйЕщЕ ВОЗМОЖНО ВОЗНИКНОВЕНИЕ ИМПуЛЬСа, МОЖНО ОПрЕдЕ- бвмхиммсзяг"мвгмуь рефимгппсгии, кзотах» лить с помощью численного решения уравнений Ходжкина — д,,„,р Хаксли.
тем реахция-диффузия и других областях. Мс- Система (18.2)-(18.б) слишком сложна для аналитического дмть сьхрагм бел,„ исследования, Были предложены упрощенные модели, спо- рспьвпсни внииа намичесхих механизсобные описать те же свойства. Наиболее популярная из них — предложенная независимо Фитцхью 11, 21 и Нагу- еазббимастн мо [101.
372 ЛЕКЦИЯ 18 В этой модели система для локальных процессов сводится к системе из двух уравнений, которую можно представить в безразмерном виде: Ии г(г — = 1(и) — г+ 7„— = Ьи — уг, ~(г а11 Ди) = и(а — и)(и — 1). (18.7) Переменная и здесь выполняет роль мембранного потенциала К а г выполняет роль всех трех переменных: и, л, Ь в уравнениях (18.3) — (18.5).
В случае, когда 1, = О, расположение главных изоклин на плоскости (и, г) представлено на рис. 18.2 а,б. Графики на рисунках а и б отличаются величиной отношения Ыу. На рис. 18.2а система имеет одно устойчивое решение, соответствующее нулевому значению потенциала, на рис. 18.2б — три стационарных решения, два из которых устойчивы (О и 5з), а третье (5~) — неустойчивое.
Рис. 18.2. Расположение главных изоклнн системы (18.7) в случае 7,=0 на фазовой плоскости (и, ») для разных значений отношения Ыу: а — одно устойчивое стационар- ное состояние (О, 0), 6 — два устойчивых стационарных состояния (О, 0) н 5, и одно не- устойчивое — седло 5» С функцией видаДи) мы неоднократно встречались, ее график изображен на рис 3.10б и 15.2в. В задаче о распространении волны такой вцл локальной функции источника означал, что «размножение» и «разгорание» процесса начинается, если величина переменной и превысит некоторое пороговое значение — величину а.
Уравнения (18.7) отражают тот факт, что бурный рост потенциала начинается лишь в случае, когда значение потенциала превысит некоторый порог (величину а). В противном случае потенциал затухает. Поясним, как в такой системе возникает «импульс» (рис. 18.3).
На рнс. 18.3а пунктирными линиями изображены главные изоклины системы. Зададим некоторое начальное отклонение потенциала и. Если это отклонение переменной и мапо, меньше величины а во втором уравнении системы (18.7) (точка Р), то по короткой фазовой траектории система возвратится в со- 373 МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА. стояние покоя.
Такое поведение называется ноднораговым возбуждением. Если же отклонение переменной и велико, больше а (точка А), фазовая траектория имеет иной характер. Изображающая точка движется по траектории АВСИ) и достигает изоклины вертикальных касательных (АВ). потом движется вдоль нее (ВС), затем довольно быстро переходит в область отрицательных значений (С13), пересекая изоклину горизонтальных касательных, и потом вдоль изоклины вертикальных касательных возвращается в точку покоя (В).
На рис. 18.3б изображено поведение переменных и и к во времени при наднороговом возбуждении. Локальный элемент системы, обладающий таким типом поведения, называется возбудимым элементом. Рис. 18.3. а) фазовый портрет системы (18.7) при 1, = О, а = 0.25, Ь = у = 0.002 для малых (точка Р) и больших (точка А) первоначальных отклонениях потенциала и от стационарного нулевого значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
