Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Там же была рассмотрена модель генетического триггера, основанная на биохимической схеме регуляции белкового синтеза Жакоба и Моно. Эта модель в зависимости от параметров может иметь либо одно, либо два устойчивых стационарных состояния (третье — неустойчивое). Таким образом, в этой модели можно проследить переход от унистационарного к мультистационарному режиму. В лекции 16 мы видели, что модель «брюсселятор» может быть использована для описания процессов возникновения устойчивых неизменных во времени и неоднородных по пространству структур — морфогенеза. Однако точечная модель этой системы имеет лишь одно стационарное состояние. Поэтому для описания процессов дифференцировки она не пригодна Рассмотрим распределенную модель «генетического триггера», предложенную Д. С.
Чернавским с сотрудниками [25, 26]. Основой этой модели служит рассмотренная в лекции 7 модель генетического триггера Жакоба и Моно, описывающего регуляцию синтеза двух ферментов — продуктов реакций. Модель сводится к системе двух дифференциальных уравнений (7.19), переменными которых являются безразмерные концентрации продуктов. Посмотрим, как будет вести себя распределенная система, локальным элементом которой служит такой РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ТРИГГЕРЫ И МОРФОГЕНЕЗ. МОДЕЛИ РАСКРАСКИ ШКУР 389 триггер, если между ними возможен перенос продуктов. С учетом диффузии уравнения (7.19) принимают вид — — х, +17, дг 1+х, ' ' дг2 ' (19.1) дх, )'.т д'х, дг 1+, ' д.' Здесь хь хз — безразмерные концентрации первой и второй систем синтеза, 2,п 22 — эффективные параметры их производства.
При т = 1 фазовый портрет локальной системы имеет одну усгойчивую особую точку и не может описывать процессов переключения в системе. При т = 2 и определенных значениях отношения 2,1/Ц > у система приобретает триггерные свойства. На фазовой плоскости такая система имеет две устойчивые особые точки, между которыми расположено седло (рис. 7.10). В распределенной системе (19.1) им соответствуют три пространственно однородных стационарных решению (19.2) (1) х,= — + — -1, хз= —— у 1 Е Е Е (19.3) (19.4) (3) х, = л" = х . Величина х, в формуле (19.4) является положительным корнем уравнения хо'+х,-2.=0.
(19.5) Для исследования устойчивости гомогенных решений системы (19.1) при гл = 2 используем методы, рассмотренные в лекции 16. Введем новые переменные, характеризующие отклонения переменных от стационарных состояний: Дгд) = х, — х,, п(г,г) = х, — х,.
Линеаризованная система в новых переменных запишется в виде д» д'~ д 'д." (19.6) ЛЕКЦИЯ 19 Здесь 27,х, 27тх2 (19.7) Решение, как и в лекции 16, ищем в виде 9(бг) = Ае'"е~', д(цг) = Ве"е'"', где р — показатель экспоненты временного сомножителя, а Й вЂ” волновое число, lс = 2лг/ Л„, где л — номер гармоники при разложении решения в ряд Фурье, л=1,2,.... Дисперсионное уравнение для системы (19.6) имеет вид (р+1-)'О,И р+1+й'73,)- Р=о. (19.8) Его решение: сс2 7 сс р„= — 1 — (1), +П,) — х (О, — О,) — +ар.
(19.9) Подстановка в (19.9) выражений (19.2)-(19.4), (19.7) показывает, что в случае несимметричных корней (1), (2) — формулы (19.2), (19.3) — решения устойчивы к малым флуктуациям любой длины волны. Зависимость Ке ркт имеет характер, изображенный на рис. 16.1г. Исследование на устойчивость симметричного решения (3) показывает, что это решение неустойчиво к возмущениям длины волны, превышающим некоторое критическое значение 1261.
Зависимость Верня имеет характер, изображенный на рис. 16.16. Выражение для критической длины волны имеет вид 2тг' — О, — О, + Л 1 — а)9 (19.10) При стремлении Вь Оз к нулю Л, также стремится к нулю, и симметричная система становится неустойчива к любым возмущениям.
Мы имеем совокупность одинаковых клеток, симметричные состояния которых неустойчивы. При наличии диффузии обмен метаболитами затрудняет переключение отдельных клеток при малых флуктуациях, оказывается возможным переключение лишь целых областей, причем каждая клетка переключает соседнюю в свой режим. Исследование показывает, что в системе (19.1), где учтен лишь обмен клеток метаболитами, при граничных условиях замкнутости системы не возникает устойчивых периодических диссипативных структур, которые мы видели в системе «распределенный брюсселятор» (13.17).
Модель, учитывающая обмен как продуктами, так и субстратами, ведет себя более сложным образом. Такая модель была рассмотрена в работе 127]. В ней предполагается, что параметр 7. для каждого из продуктов пропорционален концентрации соответствующего субстрата, в безразмерном виде обозначим их кон- РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ТРИГГЕРЪ| И МОРФОГЕНЕЗ. МОДЕЛИ РАСКРАСКИ ШКУР 391 дг ' 1+х,' ' " дг' ду2 Ауг д уг 2 гз д„2' (19.11) Уравнения (19.11) для каждого из субстратов учитывают приток (В), потребление, пропорциональное концентрации субстрата и скорости прироста продукта, отток из сферы реакции ( — у) и диффузию.
В уравнениях для концентраций продуктов учтем, что скорость прироста каждого продукта пропорциональна концентрации соответствующего субстрата. Тогда, в отличие от уравнений (19.1), уравнения концентрации продуктов хь хт принимают вид (19.12) Для упрощения исследования будем считать, что А, = А, = А, В, = В, = В.
Уравнения (19.12) приводятся к виду уравнений (19.1) при условии, что Е.~ =Ауь (ч =Аул Кроме того, в уравнениях (19.12) предполагается, что характерные времена процессов, связанных с метаболизмом продуктов, существенно меньше времен процессов притока и оггока субстрата. При исследовании локальной системы, в соответствии с иерархией времен (лекция 6), уравнения для продуктов центрации как уь уь Таким образом, вопрос о том, в каком режиме будет работать каждая конкретная клетка, решается в результате конкуренции двух видов взаимодействий, которые мы рассмотрели в лекции 7, — специфического (через диффузию продуктов хь хз) и неспецифического (через диффузию субстратов уь уз).
Напомним, что в лекции 7 мы ввели понятие специфического переключения триггера (путем изменения величин переменных) и неспецифического (путем изменения величин параметров системы), ведущего к изменению характера фазового портрета. В данной модели субстраты выступают в качестве параметров для уравнений, описывающих интересующие нас триггерные свойства продуктов. Однако для этих «параметро⻠— концентраций субстратов — выписываются соответствующие уравнения. Из этого примера видно, что понятия переменных и параметров — относительные.
Величины, которые были приняты параметрами (постоянными величинами) в одной модели, могут стать переменными в более детальной модели. Для концентрации субстратов выписываются уравнения, учитывающие постоянный приток субстратов извне, их расходование в ходе ферментативной реакции, отток, пропорциональный концентрации субстрат~ и диффузию: ЛЕКЦИЯ 19 392 (19.11) могут быть заменены алгебраическими. В зависимости от параметров А, В система (19.11), (19.12) может иметь одно или три гомогенных стационарных состояния. При достаточно больших скоростях притока субстрата в системе имеется три стационарных состояния, одно из которых симметричное, а два других— несимметричные. В некоторой области параметров, ширина которой убывает при уменьшении тд, симметричное состояние теряет устойчивость и система приобретает триггерный характер.
Это соответствует приобретению клеткой способности к дифференциации. В тканях, клетки которых компетентны к дифференциации, возможно возникновение морфологических диссипативных структур. Область параметров, при которых возможны неоднородные в пространстве постоянные во времени распределения концентраций — диссипативные структуры, — зависит от соотношения коэффициентов диффузии основных метаболитов и соответствующих им субстратов и тем шире, чем меньше это отношение. При этом системы с более высоким уровнем метаболизма (большими значениями параметра А) в системе (19.11)-(19.12) обладают более широкими в параметрическом смысле возможностями для образования неоднородных в пространстве структур.
Прохождение системы через бифуркацию седлового типа (см. лекцию 16) при переходе от одного к трем стационарным состояниям сопровождается возникновением неустойчивости в системе. Это соответствует тем моментам развития, когда система «выбирает» одну из возможностей; решающее значение здесь приобретает параметрическая регуляция, которая происходит под влиянием как генетической программы, так и условий внешней среды. В морфогенезе характер конечной структуры определяется параметрами системы: интенсивностью метаболизма и соотношением коэффициентов диффузии основных метаболитов. Однако реализоваться структура может лишь при наличии малых (но конечных) неоднородностей в распределении метаболитов, при этом морфогенетические неоднородности возникают лишь в случае, когда имеет место глубокая дифференцировка. Раскраска шкур животных Модели, основанные на моделях типа реакция — диффузия, были успешно использованы для описания раскраски шкур животных (1, 7, 181.
Особенно много в этой области сделал один из крупнейших специалистов в области математической биологии ХХ столетия Джеймс Мюррей. Результаты этих работ описаны как в оригинальных статьях, так и в книгах издательства Шпрингер 18, 9, 101. Наблюдаемая раскраска шкуры животного, например, зебры или леопарда(рис. 19.1), определяется распределениями химических веществ, которые закладываются на стадии эмбриогенеза в течение первых недель развития зародыша. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ТРИ?ТЕРЫ И МОРФОГЕНЕЗ. МОДЕЛИ РАСКРАСКИ ШКУР 393 Рис. 19.1 . Раскраска шкур диких животных: а — леопард Раигсга рагс(ив с детенышами; б — зебры (Еяиив ягесуе).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
