Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 64
Текст из файла (страница 64)
ааорраа двмамс (моггау сагам О.) — аигпиастиа, мгарммиоам учтива, матаматив, (19 13) мж е остии. Автор ипассичасмм «ииг по матамаи аоеа Егии иии (а, а, 1о, ж, аз). = Е(А В)+Е)вЧ'А, дА д = 6(А В)+ Е)вЧ~В ЭВ дг При этом генетически детерминированные клетки — меланобласты — мигрируют к поверхности эмбриона и превращаются в специализированные пигментные клетки — меланоциты, которые располагаются в батальных слоях эпидермиса. Раскраска волосяного покрова определяется меланоцитами, приносящими в волосяные фолликулы меланин, который затем поступает в волосы и определяет их цвет. Независимо от биохимических и клеточных деталей процесса, для моделирования важно, чтобы характерный размер цветовых неоднородностей был значительно больше размера одной клетки.
Например, известно, что размер паттерна эмбриона, соответствующего будущему пятну на шкуре леопарда, составляет около 0.5 мм в диаметре, что составляет около 100 клеток. Использованные Мюрреем 17 — 91, Майнхардом (5, 61 и другими авторами модели построены по сходному принципу. Это модели тьюринговского типа, описывающие химическое взаимодействие двух веществ (морфогенов), способных к диффузии, причем коэффициенты диффузии сильно отлича- тт~:.,;;";,гтт -'," 'Ч ются. Начиная с классических работ Гирера и Майнхардта (3, 2, 41, предполагается, что распределение морфогенов обеспечивает «позиционную информацию», необходимую для протекания процессов морфогенеза.
В частности, концентрация морфогенов предопределяет цвет, в который будет окрашена в данном месте шкура животного. Общий вид системы: ЛЕКЦИЯ 19 394 где В(А, В), С(А, В) — нелинейные функции, описывающие локальное взаимодействие компонентов А и В системы, оператор Лапласа Ч' описывает диффузию, О» 44в — коэффициенты диффузии, причем Ох < 11а. В одной из первых работ по моделированию морфогенеза Гирер и Майнхардт (31 использовали подобную систему при построении модели дифференцировки клеток гидры. Рис.
19.2. Гидра. Р'(А,В) =/с, — /с,А+ — ' 14,А' С(А,В) = /44А' — /с,В. (19.14) Гидра (Нуг)га) — простой хорошо изученный практически одномерный организм, представляющий собой цилиндр (туловище), с одной стороны которого находится подошва (нога), а с другой — голова со щупальцами (рис. 19.2). Процессы самоорганизации наблюдали в опытах по регенерации этого организма. Из сформировавшейся гидры вырезали морфологически однородные куски и помещали в питательную среду.
Через двое суток из фрагментов регенерировапи полноценные животные, причем у них воспроизводилась исходная ориентация от головы к подошве, что позволило говорить о позиционной дифференцировке клеток гидры. Были проделаны и более сложные опыты (171, которые указывали на наличие двух агентов — активатора образования «головы» и ингибитора, действующих противоположным образом в процессе формирования структуры. Ингибитор производится в той же области, что и активатор, но диффундирует на значительно ббльшие расстояния. Функции г(А,В), О(А,В) системы (19.13) в модели Гирера-Майнхардта имели вид РАСНРЕДЕЛЕННЫЕ ТРИТТЕРЫ И МОРсВОГЕНЕЗ. МОДЕЛИ РАСКРАСКИ ШКУР 395 Функция Р(А, В), описывающая локальную динамику концентрации активатора, имеет автокаталитический характер относительно А и убывает с ростом В. Результаты численного исследования показали, что модель демонстрирует хорошее качественное соответствие эксперименту в случае, когда коэффициент диффузии ингибитора Оя намного превышает коэффициент диффузии активатора Рд.
Впоследствии были найдены реальные биохимические факторы, которые активируют и подавляют формирование головы гидры. Но оказалось, что эти вещества не находятся в том химическом взаимодействии, которое диктуется моделью, а их коэффициенты диффузии близки по величине. Модель Гирера — Майнхардта не нашла прямого экспериментального подтверждения, но сыграла огромную роль вразвитии математической биологии и стимулировала детальное экспериментальное изучение процессов морфогенеза гидры. Дж. Мюррей в своих работах по моделированию раскраски шкур животных использовал систему, описывающую взаимодействие морфогенов как ферментативную реакцию с субстратным ингибированием.
Такой вид записи функций )г, б был предложен Томасом (15) для описания реакций в системе ферментативных реакций взаимодействия кислорода с ферментом уриказой. Выражения для функций, описывающих взаимодействие субстрата А и фермента В, в модели Томаса следующие: Ь(А,В)=Ус, — lс,А — Н(А,В), св(А,В) = lс — Ус4 — Н(А,В), Н(А,В) = /св + /с, А + /св А' Функции Ь'(А, В) и 6 (А, В) содержат члены, соответствующие постоянному при- току и сптоку из сферы реакции, скорость которого пропорциональна концентра- ции соответствующего реагента. Третье слагаемое описывает скорость образова- ния фермент-субстратного комплекса, вид функции Н отражает наличие суб- стратного ингибирования. В дальнейшем такого типа функции использовались разными авторами для описания образования структур самой различной природы.
Разумеется, для каж- дой конкретной реакции значения параметров будут различными — важно нали- чие нелинейной зависимости скорости от концентрации реагентов. Примеры большого числа таких моделей даны в книге 181. В работах Мюррея по моделированию раскраски шкур животных использо- ваны сходные уравнения. В качестве безразмерной системы дифференциальных уравнений использована система д.
— =уГ(и,г)+7 и, дг ду — =у8(и,г)+с(7 Р, д Г(и,г) = а — и — Ь(и,г), (19.14) 8(и, г) = сг (Ь вЂ” г) — Ь (и, г), риг Ь(и,г) = 1+ +)Г 2' ЛЕКЦИЯ 19 396 Здесь и, г — безразмерные концентрации «морфогенов», а, Ь, гу, р, К вЂ” положительные параметры.
Коэффициент у' может быть истолкован с разной точки зрения 18): 1) в одномерном случае у пропорционально линейным размерам области, где происходят реакции. В двумерном случае коэффициент у пропорционален плошади такой области; 2) у отражает относительный вклад биохимической реакции в процессы из- менения концентрации переменных (по сравнению с диффузией); 3) увеличение у эквивалентно уменьшению отношения коэффициентов диффузии б. На модели (19.14) были проведены многочисленные компьютерные эксперименты, которые позволили описать пятнистую и полосатую окраску животных.
Предполагали, что шкура млекопитаюшего представляет собой замкнутую поверхность с периодическими граничными условиями. Начальные условия задавали как возмушення относительно значений, соответствующих гомогенному стационарному состоянию. Для системы на плоскости проводили серии компьютерных экспериментов для разных форм поверхности и значений параметров системы. При этом получали паттерны раскраски, очень похожие на наблюдаемые в природе (рис. 19.2, 19.3). Рис. 19.2. Примеры моделирования раскраски хвоста леопарда.
(а, б) Темная раскраска соответствует превышению концентрации морфогена и над стационарным значением. Значения параметров: а = 92, Ь = 64, а = 1.5, р = 18.5, К=0.1. Стационарное состояние: и =1О, Г = 9. Для одной н той же геометрии системы в случае (а) у = 9 — полосы, (б) у = 15 — пятна, (в) у = 2 5, рассмотрен более длинный домен, хорошо видно, как пятна переходят в полосы, здесь темным пятнам соответствует и < и, (е) раскраска гепарда (Асб лопух )иЬаги), (д) хвост ягуара (Рапгега овса), (е) преднатальная раскраска хвоста самца генегты — небольшого млекопнтающего хищника семейства внверровых (белена йепепа), (лс) хвосты взрослого леопарда, на кончике хвоста пятна переходят в полосы 18]. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ТРИП ЕРЫ И МОРФО1 ЕНЕЗ.
МОДЕЛИ РАСКРАСКИ ШКУР 397 Рис. 19зй (а) Формирование полос в основании ноги зебры; Щ результаты моделирования 181. В ходе компьютерных экспериментов с двумерной моделью было показано, что характер геометрии рассматриваемой области ограничивает типы возможных пространственных структур. Когда область узкая, могут существовать только простые полосы, по существу структура одномерная. Для того чтобы возникли пятна, необходима область, имеющая достаточно большую длину и ширину (рис. 19.2). Модель позволяет воспроизвести структуры в области более сложной геометрии (сопряжение ноги и туловища) и выявить общие закономерности окраски. В книгах Дж. Мюррея [8, 10, 23] приведены теоретические обоснования и многочисленные примеры моделирования раскраски шкур различных животных, крыльев бабочек, а в книге Майнхардта — примеры трехмерного моделирования форм ракушек 151.
В последующие годы были разработаны модели, учитывающие механическую деформацию (растяжение) эпителиального пласта клеток 1191, модели возникновения структур в ансамблях мезинхимальных клеток — формирование зачатков перьев у птиц, формирования скелета конечностей и др. 111, 8, 91. Модели агрегации амеб.
Роль хемотаксиса Сложные пространственные структуры могут возникать в сообществах организмов, например, микроводорослей. Хорошо известно явление образования пятен фитопланктона в океане. В колониях бактерий и амеб могут формироваться весьма сложные правильные структуры. Было показано, что важным условием возникновения структур является наличие хемоглаксиса — способности клеток выбирать направление своего движения в зависимости от градиентов химических веществ. Принципиальный механизм формирования таких структур заключается в том, что однородное распределение активных (делящихся и подвижных) клеток теряет устойчивость при достижении клетками некоторой пороговой плотности вследствие хемотаксиса по отношению к аттрактанту, выделяемому в среду самими клетками. Фронт растущей колонии начинает двигаться.
Позади фронта Зоб ЛЕКЦИЯ 19 клетки переходят в пассивное состояние из-за большой локальной плотности и малой концентрации субстрата. Классическим примером самоорганизующейся системы являются коллективные слизевики Ис1уозГе[зилз с[ззсоЫеилз. В условиях голодания популяции этих слизевиков агрегируют благодаря волнам цАМФ в среде, создаваемой самими клетками. В момент прохождения фронта волны мимо клетки, эта клетка перемешается по градиенту концентрации цАМФ, т. е. в направлении, противоположном движению волны.
В результате слизевики собираются в компактный агрегат в центре, из которого исходят волны атгракганта. Рассмотрим одну из моделей этого процесса [14, 12]. Модель содержит три переменных: концентрацию хемоапрактанта цАМФ вЂ” и, концентрацию рецепторов я и концентрацию клеток и. Палеиава Аиярей Алексеилравич — рас- сийский физик, биофи- зик, спмвалисз в сбмаделирсВзиил лраивсссв сззкхехзмизв. ции в физических, хи- мичеаеи и биаигичв- ди [ и'+А — = 3'и~ю з — зз + П„АО, дг [ из+1 — = В-(1+ Ни) Я, дя дг (19.15) — = бз„ьи — 7(,Т(8 — 8,) МЧМ). ди 4 Первое уравнение модели описывает локальное изменение концентрации цАМФ, пропорциональное количеству клеток и нелинейной функции, состоящей из двух слагаемых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
