Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Пусть реакции протекают в узкой длинной трубке (одномерном реакторе), вдоль которой вещества могут диффуцдировать. Козффициенты диффузии Р„, Р, будем считать постоянными параметрами системы. Концы трубки, равно как и ее стенки, непроницаемы для веществ, участвующих в реакции.
Уравнения, описывающие распределенный брюсселятор. имеют вид — = А+ Х'У вЂ” (В+ 1)Х+ Р„ дХ д'Х д * дг' — — ВХ Х У+Р—, ду ду дт 'д"' (16.17) г — пространственная координата. Напомним, что для точечной системы имеется одно стационарное состояние, которое характеризуется значениями концентраций — В у= —. А Х=А, В ь =Х вЂ” А, т)=У вЂ” —. А Линеаризуем систему (16.17) и решение линеаризованной системы будем искать в виде ~(т,г) =С,е'" ~, г)(г,г)=С,е' ~.
Такими будут концентрации во всех точках реактора, если гомогенное стационарное состояние системы устойчиво. Для исследования условий потери устойчивости однородного по пространству решения введем переменные, характеризующие малые отклонения системы от однородного решения (16.18): УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ 337 Величины р и )( связаны дисперсионным уравнением типа (16.10), которое позво- ляет определить харакгер устойчивости исследуемого гомогенного решения. Дисперсионное уравнение для брюсселятора имеет вид (р —  — 1 + Е 7)Д(р+ А + )(г В„) + ВА = О. (16.18) В,(1- ГВ)' г А (16.19) Границы области волновых чисел /с, в которой реализуется неустойчивость Тью- ринга, даются выражением г,', = 1(( — !(Π— О А')* У . (16.20) Именно в этой области система (16.17) образует диссипативные структуры.
Аналитическое исследование устойчивости неоднородных стационарных решений представляет значительные трудности, и в основном для этой цели используют асимптотические методы. Так, устойчивость диссипативных структур в брюсселяторе исследовали методом малых возмущений, предполагая, что диссипативная структура носит квазигармонический характер (61 Стационарные решения представляли в виде х(г) = а, +аг соя ()т), у(г)=Ь, +Ьг сов((т)+ сг з(п (Ь.), а малые возмущения в виде ЙЕ г) = 2' А (г) соя (77гг), УЯ г) = 1 |7, (г)(соз,у)(г). (=о (=0 Показано, что при )(ам < Е < )( наблюдаются устойчивые структуры. Здесь Е („, определяются из выражений (16.19), (16.20): А' Е „= —, Е )."г, )3„( — 1) Компьютерные эксперименты показали, что в отсутствие потоков на границах в системе могут возникать несколько различных диссипативных структур в зави- симости от локализации возмущений однородного состояния.
Стационарные профили переменной Х для различных возмущений представлены на рис. 16.3. Если уравнение (16.18) имеет два действительных корня, причем один из них р( < О, а второй рг > О„то система в области гомогенного стационарного решения имеет неустойчивость седлового типа (неустойчивость Тьюринга). Условия су- ществования такой неустойчивости выполняются при ЛЕКЦИЯ 16 338 0,5 0 0,5 0 0,5 Пространство, нроизвольные единицы Рис. 16.3.
Стационарные диссипативные структуры, полученные при одинаковых значениях параметров путем наложения на однородное стационарное состояние локализованного возмущения. Отрезок 10,1) разбивали на 1О1 одинаковый интервал, после чего возмущение одного знака и одинаковой амплитуды налагались в точках виитервалах с номерами: 9, 21, 48, 72 (а); 9, 17, 34, 43 (б); 9, 55, 70 (в) [8]. Локализованные диссинативные структуры Описанные выше диссипативные структуры распространяются на всю систему. Этот факт является следствием предположения о том, что концентрации исходных веществ реакций А и В поддерживаются постоянными во всех точках пространства.
Такая ситуация является идеализированной. В реальном эксперименте реагенты вводятся в реакционный объем через границы. Это означает. что вещества А и В будут диффундировать в среде, что приведет к усгановлению их концентрационных профилей. Неоднородное пространственное распределение исходных веществ приводит к локализации диссипативных структур внутри определенных границ.
В случае, когда вещество В равномерно распределено по объему, а концентрация вещества А поддерживается постоянной на границе, систему уравнений УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ 339 (16.17) следует дополнить уравнением, описывающим потребление и диффузию вещества А.
Получим систему из трех уравнений дХ д'Х вЂ” = А+ Х'У вЂ” (В+ 1)Х +»», —,, д» огз дУ з д'У вЂ” — ВХ вЂ” Х У+1)— а» 'а" ' (16. 21) дА д'А — = — А+ Т), а "а" (0<г<1) н граничными условиями А(0) = А(1) = А. Концентрационные профили вещества Х, полученные в соответствии с системой (16.21) для разных значений параметра В, представлены на рис. 16А. к 15 ю 0,5 к 15 0,5 к 15 1О 0,5 Рис. 16.4.
Локализованная днссипативная структура, полученная прн численном решении системы (16.21) лля последовательно увеличивающихся значений параметра В. На границах поддерживались значения переменных, соответствующие гомогенному стационарному состоянию. Параметры системы: »)„= 0.026, »3„= 1.052 10 з, »3, = 5.26.10-5, » = 1; (а) В = 7; (б) В = 12; (в) В = 25 (81. ЛЕКЦИЯ 1б Пространственно-временные режимы в системе реакциязлектродиффузия Участие заряженных молекул в большинстве химических и биологических процессов обусловливает необходимость принимать во внимание вклад так называемого самосогласованного поля (электрического поля, возникающего в результате движения и взаимодействия заряженных частиц) в различные динамические режимы.
В живых организмах роль ионов очевидна. Среди наиболее значимых для клетки процессов с участием ионов — создание градиентов трансмембранного потенциала и движение электрического импульса. Зти процессы играют основную роль в проведении нервного импульса (лекция 18) и образовании структур рН вдоль клеточных мембран (лекция 19). Исследование механизмов таких явлений требует не только изучения работы конкретных механизмов каналов и переносчиков, но и понимания динамики в целом, то есть изучения организации пространственно-временных явлений с учетом самосогласованного поля. Существует два основных подхода к описанию электриче«."; .',,,',:,,::, ских явлений на мембранах и вблизи мембран.
Первый подход — использование эквивалентных электрических схем, мы воспользуемся этим подходом в лекциях 18, 19. Другой подход — использование уравнения электродиффузии. В сочетании с химическими реакциями уравнения электродиффузии пегеиееАиммей применяли, в основном, для описания воздействия внешних электрических полей (2, 4). При этом выдвигались предполой жм жения об электронейтральности как следствии высокой ион- ~ ной силы растворов. Такие предположения, справедливые для е г ди химических сред, позволяли значительно упростить анализ ~ задач.
Однако применительно к биологическим средам эти д, предположения справедливы не всегда. Так, вблизи клеточных мембран электронейтральность может быть нарушена в ренан«и и медицине. зультате активного транспорта ионов, существования двойного электрического слоя и фиксированных зарядов на белковых молекулах, встроенных в мембрану. Покажем на простой модели 19), что учет самосогласованного поля в системах с нелинейной химической кинетикой может приводить к биологически значимым эффектам, связанным с перераспределением зарядов и созданием градиентов потенциала. Уравнения реакция-злектродиффузия для концентрации двух типов ионов вблизи клеточной мембраны Рассмотрим систему, в которой помимо нейтральных присугствуют заряженные частицы. Зто могут быть, например, ионы, находящиеся вблизи клеточной УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ 341 мембраны, диффундирующие вдоль нее и вступающие в химические реакции.
Будем считать, что концентрация ионов много ниже концентрации нейтральных молекул, т. е. рассматривается раствор с низкой ионной силой. Изменения концентраций разных видов ионов описываются системой реакция — электродиффузия, которая для одномерного случая имеет вид дп,, д1, — '= — '+ ~(п,.), (16.22) д д. Втц д, дд 1,=— и;и,о, Г дх дх (16.23) где потоки компонентов 1 описываются уравнением Нернста-Планка, п; — концентрация 1 вида ионов,г(пд — нелинейная функция, описывающая изменение концентрации ионов за счет происходящих на мембране химических реакций, и — подвижность иона, г — валентность, Т вЂ” абсолютная температура,  — гад( зовая постоянная, à — число Фарадея, — — напряженность самосогласованно' дх го поля, сформированного зарядами ионов.
Потенциал самосогласованного поля находится из уравнения Пуассона д'(д — 4л'г" ч ~ги,, дх' Ело (16.24) где л — диэлектрическая постоянная среды, ц> — диэлектрическая проницаемость вакуума. Тогда для двух типов ионов (положительного п| и отрицательного пз) получим систему, которую после приведения к безразмерному виду можно записать как — ' = Р,,' + В, — ' — Вдс (с, — хус,) + ( (с„с,), (16 25 а) — '= Р,,' — В, +Вдс,(с, — хус,)+Е(с„с,), (16.25 б) Т(с~ хгсо) дг (16.25 в) х со ЙТ Кти(, г= —, г= —, тг = (оЬ = Р,= ~о ~ т'о Здесь с,= —, с,=— по! по2 ВТио1о и1хд(во иогяя, Р = ', В = ' '' ', В = ' ' ',по1ипоз — характерные концентрации, соответственно, положительных и отрицательных ионов, го — характерное время, выражающееся через константы химических реакций, Т. — размер рассматривае- ЛЕКЦИЯ ! 6 мой области, 1)1 и 1)з — безразмерные коэффициенты диффузии положительных и отрицательных ионов, В1 и Вз — подвижности ионов в электрическом поле, у= — — отношение характерных концентраций ионов, т = — — отношение ло2 2 ло1 т~ 4»тр'г,'Е'ло, валентностей ионов, з'= ' ', Дсь сз), я(сь сз) — функции, задающие еео Вт характер химического взаимодействия между ионами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
