Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Начальные условия для функции Р к (г, О)= ф(г), ф(г) = ф(г) — У(г,О), а граничные условия — нулевые: Д (1) = О,,й (1) = О. Метод нахождения функции к мы разобрали выше. Таким образом, решение (14.31) представляет собой сумму двух составляющих. Функция У(г, 1) в каждый момент времени 1* задает распределение концентраций, линейно меняюшееся с пространственной координатой между значениями д1(гя) и дг(1"') на концах трубки.
Функция и(г, 1) задает отклонение от этой, линейной по г, функции (рис. 14.2). Рис. 14.2. Иллюстрация к формуле (14.31) Итак, мы рассмотрели аналитические методы решения однородных (типа (14.4)) и неоднородных (типа (14.1)) уравнений, описывающих диффузию одного вещества в одномерном реакторе. Как мы видели, решение представляется в виде интегралов, причем удобный для аналитического исследования вид решения может быть получен лишь в небольшом числе частных случаев. Еще более сложной ситуация становится при рассмотрении системы нескольких веществ, способных вступать в химические реакции и диффунлировать в трехмерном про- ЛЕКЦИЯ 14 Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем При построении и исследовании математических моделей биологических систем особый интерес представляют стационарные состояния систем, которые устанавливаются по истечении достаточно большого промежутка времени (при г -+ ).
При этом особенно важен вопрос об устойчивости стационарных состояний. Действительно, только устойчивые стационарные состояния могут реализоваться на практике, поскольку в любой реальной системе всегда присутствуют малые флуктуации. Понятие устойчивости подробно обсуждается в лекции 2. Если некоторое стационарное состояние системы неустойчиво, это означает, что с течением времени в системе устанавливается какой-либо иной режим. Для точечной системы зто могут быть другие устойчивые стационарные состояния (в триггерных системах, лекция 7), автоколебания (лекция 8) или динамический хаос (лекция 10).
В распределенных системах неустойчивость однородных в пространстве (гомогенных) стационарных решений может приводить к возникновению диссипативных структур, автоволновых процессов и квазистохастическнх режимов. Стационарные, т. е, неизменные во времени, решения можно найти из условия обращения в нуль производной по времени: дС вЂ” =О. д Поясним, как ставится задача об устойчивости стационарных решений распределенных систем на примере одного автономного уравнения с одной пространственной переменной. Пусть реакция происходит в тонкой трубке длины 1.
Уравнение, описывающее изменение переменной С в пространстве и во времени, имеет вид дС д'С вЂ” 7(С)+ Р д дг (14.33) странстве, а именно с такими системами мы имеем дело в биологии. Однако, как мы увидим ниже, некоторые выводы о свойствах решений могут быть сделаны на основании качественного исследования моделей. Одна из проблем, при решении которой оказываются эффективными методы качественного исследования— изучение устойчивости стационарных состояний распределенных систем. В любом случае, условием возникновения в распределенных системах сложных пространсгвенно-временных режимов является неустойчивость гомогенного сталионарного состояния.
Границы области параметров, в которой возникает такая неустойчивость, могут быть установлены на основе анализа линеаризованной системы подобно тому, как зто мы делали для локальных систем в лекциях 2, 4, 5. Для такого исследования оказывается важным уметь решать линейные системы, разобранные выше, поскольку, как правило, задача об устойчивости стационарных состояний нелинейной системы требует решения прн г — э» линейной задачи (подобно тому, как для изучения устойчивости нелинейной точечной системы необходимо исследовать линеаризованную систему, см.
лекции 2, 4, 5). РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ 307 Пусть краевые условия соответствует непроницаемости трубки на торцах: дС дС (О 0) = — (О 1) = О. (14.34) д1 дг Поскольку речь идет о стационарном решении (поведении переменной С при г — ~ ), начальные условия не играют роли. Пусть Сс(г) — стационарное решение уравнения (14.33), т. е. решение задачи а'с У(С)+ 1) —, = О (14.35) дг с краевым условием непроницаемости границ. Зададим системе некоторое возмущение о(г), т. е. выберем в качестве начальной функции в зтой задаче функцию, близкую к Сьс С(0, г) = Сс(г) + о(г), б(г) ~ 1.
Пусть Сх(д г) — решение задачи (14.33), (14.34) с такой начальной функцией. При малых о(г) функция Сх(д г) может быть представлена в виде СхО, г) = Сс(г) + Ю(к„г). (14.36) Подставим выражения (14.36) и (14.37) в формулу (14.33): )=Х(С + '(С, „а'С.,д'йпг) а ' а '' ' 'г'а.' а.' Учитывая то обстоятельство, что Сс — стационарное решение, удовлетворяющее уравнению (14.35), получим уравнение для о(д г) до(О ) д'о(О ) д а„2 (14.38) с начальным условием о(0, г) = о(г) и краевыми условиями дЖОО) дЖ, 1) дг дг (14.39) Здесь и в дальнейшем считаем для краткости, что козффициент диффузии 1) = 1.
Стационарное решение Сс(г) называется устойчивым, если для достаточно малых отклонений от стационарного состояния (б(г)) функция СхО, г) при всех г~ 0 мало отличается от Сс(г). Вблизи Сс(г) нелинейную функцию 1'(С) можно приблизить линейной функцией, использовав первый член разложения по С в ряду Тейлора: 1(С) = 1'(С,)+~,'(С,)(С вЂ” С,), С вЂ” Сс = о(д г). (14.37) 308 ЛЕКЦИЯ 14 Итак, для исследования устойчивости стационарных состояний распределенных систем нужно изучить поведение при г — > решения линейной задачи (14.38), (14.39). Как правило, свойства линейной задачи определяют устойчивость или неустойчивость решения соответствующей нелинейной системы.
Исключение составляют случаи нейтрального поведения решений линейной задачи, как это имело место и при исследовании точечных систем (лекция 5). Пусть задача (14.33), (14.34) имеет однородные по пространству стационарные решения. Рассмотрим вопрос об устойчивости таких решений. Для однородных сгационарныхрешений Г (С ) = А = сопз1. Поэтому задача (14.38), (14.39) представляет собой линейное уравнение диффузии с соответствующими краевыми и начальными условиями.
Выше (см. (14.23)) мы видели, что собственными функциями такой задачи с условиями непроницаемости на концах отрезка являются функции 'ктгг сов —, к=О, 1, .... Решение д(г, г) задачи (14.38) с начальной функцией а(г) можно представить в виде яжг а(дг) =,') а,(г)соз —. на Подставляя это выражение в (14.38), получим следующее уравнение для нахож- дения ан да (г) Г 7с'гг' +А а„(1), ая(0)= 1. а ~ 1' Отсюда: (14.40) а,(г)=ехр —, +А г Величины аг задают временной характер нарастания или затухания соответст'кггг вующей гармоники возмущения а(д г), в то время как множители соя определяют распределение начального отклонения вдоль пространственной координаты.
Если в формулах ( 14АО) А < О, то при любом /с = О, 1, 2, ... функция а(д г) — э 0 при г — > О, какова бы ни была начальная функция а(г). Таким образом„в этом случае любое малое возмущение однородного по пространству стационарного решения со временем затухает. Если А = О, показатель экспоненты отрицателен Йггг при любых й, кроме й = О.
В такой системе будут затухать все гармоники соз 1 для Е = О, 1, 2,..4 относительно нулевой гармоники линейное приближение не РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ К2Гг дает ответа. Если А > О, существует конечное число гармоник вида сов —, которое приводят к развитию возмущений стационарного однородного решения, (2 а именно: это только те гармоники, для которых < А = ~'(С„) . Если началь- 12 нос возмущение не содержит этих гармоник, то оно со временем будет исчезать.
Вспомним, что в начале нашего рассмотрения мы положили Р= 1. Если учесть коэффициент диффузии, в системе, где г (Са) > 0 и потому возможны незатухающие начальные возмущения, номер наивысшей незатухающей гармоники в соответствии с (14.38) можно определить по формуле Таким образом, номер наивысшей незатухающей гармоники тем больше, чем длиннее реактор, и тем меньше, чем выше значение коэффициента диффузии. Незатухающие гармоники, развиваясь, могут приводить систему к установлению пространственно неоднородных диссипативных структур или автоволновыхрежимов. Исследование устойчивости неоднородных по пространству стационарных решений более сложно. Для этого необходимо изучить собственные значения диффе- 22 ренциального оператора Е22 = —, + ~,'(С,(г))22 с условиями 22'(О) = г'(1) = О.
Если 21г' все собственные значения такой задачи отрицательны, то решение Се(г) устойчиво. Если какие-то собственные значения положительны, то для некоторых возмущений разовьется неустойчивость. В случае одного уравнения с условиями непроницаемости на концах одномерного реактора можно доказать, что все неоднородные по пространству стационарные решения задачи неустойчивы. При других граничных условиях могут появиться устойчивые неоднородные по пространству решения уравнения (14.32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
