Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 47
Текст из файла (страница 47)
2. На границе задано значение производной: дС (Од) =1 (1). а. (13.19) К этому условию мы приходим, если задана величина диффузионного потока 7, протекающего через торцевое сечение трубки: У(0,1) = Π— (О,г). дС дг В частности, в случае непроницаемости торца трубки, когда диффузионный поток на границе равен нулю, — (0,1) =О. ас (13.21) дг 3. На краю трубки задано линейное соотношение между производной и функцией: — (О, 1) = — ( [С(О, 1) — В(1)]. ас (13.22) а.
' Тогда величина 1 в формуле (13.19) — известная функция, которая выражается через заданный поток 7 по формуле Р(г) =— !(О г) (13.20) В 292 ЛЕКЦИЯ 13 Это граничное условие соответствует случаю, когда на границе имеется диффузионный поток между трубкой и резервуаром, концентрация вещества в котором известна. Пользуясь двумя выражениями для диффузионного потока, протеас кающего через сечение г= О, 7= л(С вЂ” д) и ! = — Π—, получаем математичедг )г скую формулировку краевого условия в виде (13.22), где 2 = —, д — заданная В функция. В случае если функции С,(х, г) непрерывны в изучаемой области вместе со своими вторыми производными, система уравнений типа (13.14, 13.15) вместе о начальными (13.16) и граничным и условиями одного из типов (13.17, 13.19) илн (13.22) имеет единственное решение. Возможны типы задач, в которых краевые или начальные условия не следует учитывать.
Рассмотрим процесс диффузии в очень большом объеме. В течение небольшого промежутка времени влияние потока веществ, заданного на границе, в центральной части рассматриваемого объема оказывается весьма слабо, и концентрация вещества здесь определяется, помимо химических реакций, в основном начальным распределением вещества. При рассмотрении поведения переменных на малых временах в таких задачах считают, что реакция происходит в неограниченном объеме, и ищут решение системы уравнений типа (13.14) при заданных начальных условиях, а граничных условий ставить не нужно.
В определенных случаях пренебрегают точным учетом начальных условий. Действительно, влияние начальных условий ослабевает с течением времени. При этом, если концентрация веществ поддерживается постоянной на границе, то в момент времени, достаточно удаленный от начальною, концентрация веществ определяется лишь граничными условиями.
В этом случае можно считать, что опыт продолжается бесконечно долго, и начальные условия тем самым отпадают. Литература к лекции 13 1. Р(е!д В. 3. апд Вшйег М. (Ейз.) Озсй1айопз апй ггачейш8 ч ачез ш сЬепйса! зуягешз. Х, г'., Ъ%1еу-(пгегзс!енсе, 1985. 2. Р)е1д К. з., Колба Е., Хоуез В. М. Озсй1апопз ш сЬепйса1 зумепп: П.
ТЬогоийй ала1угйз об гешрога1 озсй1айопз ш гйе Ьгошаге-сепшп-ша1оп(с ас!й зузгеш. Х Ат. Сйе. 5ос. 94: 8649-8664, 1972. 3. Р!е1й К. Х апй Хоуез В. М. Озс(11айопз (п сйепйса1 зузгешз: г ч'. 1йпш сус1е ЬеЬачюг ш а пюйе! ог" а геа! сЬеппса1 геасйоп. Х СЬель Рйук 60, 1877 — 1884, 1974. 4. Мешйапй Н. ТЬе а)8опйпйс Ьеашу ог зеа зЬе!йс Вегйп, 8рппйег, 1995. 5. Мштау 1. О.
МаГЬегпа11са) Ью1ойу. Вегйп, Брппйег, 1993. 6. Мштау з. 13. Магйешайса) Ьго!ойу: П. Брайа) шойе1з апд Ьюшегйса! арр1юайопз. Х. г"., Брппйег, 2003. 10. Белоусов Б.П. Периодически действующая реакция и ее механизмы. В 11. Ванаг В. К. Диссипативные структуры в реакционно-диффузионных системах. М.— Ижевск, ИКИ-РХД, 2008. 12. Васильев В.
А. Романовский Ю. М., Яхно В. Г. Автоволновые процессы. М Наука, 1987. 13. Винер Н., Розенблют А. Проведение импульсов в сердечной мышце: Матема- 14. Иваницкий Г. Р., Кринский В. И., Сельков Е. Е. Математическая биофизика клетки. М., Наука, 1978. 15. Кринский В. И. Нестационарная скорость распространения импульса, латентность и их связь с фибрилляцией. Биофизика 16: 87 — 94, 1971. 16. Кринский В. И., Фомин С.
В., Холопов А. В. О критической массе при фиб- рилляции. Биофизика 12(5): 908 — 914, !967. 17. Мазуров М. Е. Идентификация математических моделей нелинейных динамических систем. М.— Ижевск, РХД, 2008. 18. Мюррей Дж. Математическая биология: Том 1: Введение. М.— Ижевск, ИКИ— РХД, 2009. 19. Романовский Ю.
М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. М., Наука, 1984. 20. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическое мо- 21. Рубин А. Б. Биофизика: Т. 1, 2. М., Изд. Высшая школа, 1987; Изд. Книжный дом Университет, 1999; Изд. Академия, 2004. 22. Филд Р., Бургер М. (Ред.) Колебания и бегущие волны в химических системах. М., Мир, 1988. 23. Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. М..
Наука. 1974. 7. 8. 9. РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Кон(пя)су А. В. ап6 УЬаЬобпя)су А. М. МесЬашяш алд шайешабса1 пюре! о( йе ояс111абпй Ьгошате гетто(п-Ьгопюша1оп(с асЫ геас6оп. Х Рнуа Сйетн 88(25): 6081 — 6084, 1984. Тпппй А. М. ТЬе сЬеппса1 Ьаяь о( йе пюгрйо8епея(я. Р1п(. 7'гана Ю. Бос. 7.ол- сон В 237: 37-71, 1952. %1епег Ы. апд КояепЫпей А. ТЬе шайетпа6са1 Гоппп1абоп от" йе ргоЫетп от" сопбпс6оп о( ппрп1яея !п а пепног1г о( соппестед ехсйаЫе е1ешептя, ярес!Всайу (п саггйас шпяс1е.
АгсЬ. 1тт. Сагйо(. Мехко 16: 205 — 265, 1946. Сборник рефератов по радиационной медицине за 1958 год, с. 145 — 147. М., Медгиз, 1959. Перепечано в: Греховая М. Т. (Ред.) Автоволновые процессы в системах с диффузией, с. 176 — 189. Горький, ИПФ АН СССР, 1981. тнческая формулировка проблемы проведения импульсов в сети связанных возбудимых элементов, в частности в сердечной мышце. Кибернетический сборник ИЛ 3: 7 — 86, 1961.
делирование в биофизике: Введение в теоретическую биофизику. М.— Ижевск, ИКИ вЂ” РХД, 2004. Решение однородного уравнения диффузии с нулевыми граничными условиями. Метод разделения переменных. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма — Лиувилля. Решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Решение общей задачи. Линейный анализ устойчивости гомогенных стационарных решений одного уравнения типа «реакция — диффузия>.
Решение краевых задач для системы нелинейных уравнений типа «реакция— диффузия» при произвольных функциях правых частей уравнений может быть выполнено при помощи компьютера. Методы аналитического решения разработаны только для линейных уравнений, не содержшцих нелинейных функций относительно концентраций С, вида С, = )ЗСМ + г" (г, г) с соответствующими начальными и граничными условиями. таких задач подробно изложены в учебниках и монографиях, посвященных уравнениям математической физики 11].
Ниже мы подробно рассмотрим решение линейной краевой задачи. В пространстве и времени это решение может быть представлено в виде ряда Фурье — бесконечной суммы гармонических функций пространственной координаты с убывающими со временем амплитудами. Отсюда становится понятным, почему в нелинейных системах с диффузией при наличии малых флуктуаций могут возникнуть автоволновые процессы и периодические по пространству постоянные во времени структуры (диссипатнвные структуры). Нелинейная система оказывается своеобразным «фильтром», выделяющим некоторые из членов гармонического ряда (разложения по синусам и косинусам) и поддерживакнцим их существование, в то время как более высокие гармоники затухают во времени.
Рассмотрим общий путь решения одномерной краевой задачи для уравнения (14.1) с начальным условием С(г, 0) = (д(г) (14.2) и граничными условиями первого рода на обеих границах узкой трубки длины й С(0. г) ы,и)(г), С(1, г) = рз(г). (14.3) Задачу решают в три этапа. Сначала ищут решение однородного уравнения (14.4) С,=ОС с начальным условием (14.2) и нулевыми краевыми условиями: С(0, г) =О, С(1, г) =О. (14.5) (14. 1) Методы решения Самарсний Апександр Андреевич () Ш 0- 2008) — российский советский физик, ма- тематик Специалист е Области вычисли- тельной математики, матмкатической физи- ки, теории матемвти- ЧЕОКХО МОГМПЩЮВВ ния.
Создатель теории ОткфаТОДНО ДВЗНОСТНЬЗГ скем, общей теории устойчивости разност- нык схем. С З 946 года совместно с академи- ком А. Н. Тихоновым [см. лекцию 6) разрв- бетьмал численные ьмтоды и вел первые в СССР прямые рвсче- ТЫ МОГЦНОСТИ ВЗДЫВВ атомной, а позвав водородной бомбьг.
С 60-х годсе вместе с учениками занимался проблемами лазерного ТВГЗМОЯДЕДНОГ'О СИНТЕ. за, магнитной и радиа- ционной газодинамики, создания мощных ла- ЗЮДОВ, ЕЭДОДИНВМИКИ, атомной энергетики, физики плазмы и ддуГими. 298 ЛЕКЦИЯ 14 Затем ищут решение неоднородного уравнения (14.1) с нулевыми граничными условиями (14.5). Наконец, последний этап: решение общей краевой задачи— уравнения (14. 1) с начальным условием (14.2) и граничными условиями (14.3). Решение однородного уравнения Пусть в системе имеет место только один процесс — диффузия. Решим основную вспомогательную задачу: найдем решение уравнения (14.4), не равное тождественно нулю и удовлетворяющее нулевым краевым условиям (14.5). При этом воспользуемся методом разделения переменных, представляя решение в виде С(г, г) = Я(г)Т(г).
(14.6) Здесь Ю(г) — функция только пространственной переменной г, а Т(г) — функция только переменной времени к Подставим решение в форме (14.6) в уравнение (14.4) Т'В = РТА и произведем деление обеих частей равенства на РИТ. Получаем: 1 Т' Я" — = — =-А РТ )1 где 2 = сопзд т. к. левая часть равенства зависит только от д а правая — только от г.
Отсюда получим два самостоятельных уравнения для переменных г и к 11"(г) + И(г) = О, (14.7) Т'(г) + РХТ(г) = О. (14.8) Для определения функции )г(г) мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение (14.7), причем вследствие граничных условий (14.5) функция 11(г) должна удовлетворять дополнительным условиям й(0) = й()) = О, (14.9) так как в противном случае мы имели бы 7(г) = О и С (г, г) = О, в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции Т(г) никаких дополнительных условий нет. Таким образом, в связи с нахождением функции Я(г) нам необходимо найти значения А, называемые собственными значениями, при которых существует нетривиальное решение задачи (14.7), (14.9), а также найти сами эти решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
