Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Перемещение молекул вещества с различной скоростью под действием случайных снл— ди44~узия — имеет место в любом веществе, будь то газ, жидкосп, или твердое вешеспю. Большая часть объема живой клетки представляет собой жидкую среду, в которой диффузия играет существенную роль. Мембраны клеток, в основном состоящие из липидов, также допускают активную диффузию молекул, хотя и с гораздо меньшей скоросп,ю. Перенос ионов и макромолекул через мембрану происходит посредством специальных механизмов: переносчиков, каналов и проч. 12Ц. Если вещество имеет сложный состав и включает несколько компонентов, каждый из компонентов перемещается в направлении своих меньших концентраций, что приводит к выравниванию концентраций каждого из веществ.
Неоднородная смесь веществ в замкнутом объеме, предоставленная самой себе, станет со временем благодаря диффузии однородной (вещества перемешаются), и концентрация каждого из веществ во всем объеме станет одинаковой. В такой системе установится так называемое однородное (или гомогенное) стационарное состояние. Время установления стационарного состояния, естественно, определяется свойствами вешества, в основном, подвижностью его молекул. В активных кинетических средах, которыми являются биологические системы, кроме процессов диффузии происходят также взаимодействия между компонентами, описываемые, как правило, нелинейными функциями.
Эти нелинейные процессы могут приводить к установлению различных концентраций взаимодействующих компонентов в разных точках пространства, препятствуя, таким образом, вызванному диффузией выравниванию концентраций. Противоборство зтих двух процессов — взаимодействия компонентов в каждой отдельной точке пространства и диффузии — определяет поведение распределенной системы. Рассмотрение процессов, происходящих в распределенной системе, мы начнем с простейшего случая — с изучения процесса диффузии в одномерном реакторе (трубке, заполненной раствором некоторого вещества), предполагая, что во всякий момент времени концентрация раствора по сечению трубки одинакова. Тогда процесс диффузии может быть описан функцией С(«, т), представляющей концентрацию вешества в сечении с координатой «в момент времени т.
Опыт показывает, что диффузионный поток какого-либо иик Адольф йздиии КОМПОНЕНта (т. Е. МаССа днффуиднруЮШЕГО КОМПОНЕНта, ПРО- («заплота я и, Заза. холяшая в единицу времени через единицу плошади, перпен- 'вв'> — ' з 'Ф". зик и фиэиопог, офордикулярной к направлению диффузии) пропорционален градиенту концентрации зтого компонента, взятому с обратным лиФФ«зии,изовпоз- топь контзкзиык линз. 288 ЛЕКЦИЯ 13 Рис. 13.1. К выводу уравнения диффузии. Масса ЬМ, вещества, втекающего за время ог г до г+ Ьт в рассматриваемый объем через границу г, равна произведению диффузионного потока на величину сечения 5 и длину промежутка времени Ьг и, согласно закону Фика, равна д С(г,г) д. (13.3) Через другую границу с координатой г + Ьг из выделенного объема вытекает вещество, масса которого ЬМ„,э, д С(г+ Ьг,г) дг (13.4) Общее изменение массы ЬМ в объеме ЬУ„составляет ЬМ = ЬМ, — Ь Мг+а, дС(г+Ь~,г) дС(г,г) д.
д. (13.5) Здесь 1 — диффузионный поток интересующего нас компонента в направлении оси г. Знак минус в правой части (13.2) показывает, что диффузионный поток направлен в сторону убывания концентрации. Коэффициент 1) в уравнении (13.2) называется коэффициентом диффузии. Он численно равен диффузионному потоку при градиенте концентраций, равном 1, и зависит от свойств диффундирующего вещества и свойств остальных компонентов, составляющих смесь. При не слишком больших концентрациях веществ 1) мало зависит от концентрации самого вещества и определяется степенью подвижности молекул. Выведем уравнение, описывающее пространственно-временную эволюцию С(г, г) в случае одномерной трубки (рис.
13.1). Пусть поперечное сечение рассматриваемой нами трубки — 5. Выделим элементарный объем Ьг', скоординатами границ г и г+ Ьг, тогда Ь)г, = 5 ° Ьг. Не нарушая общности, предположим, что диффузия протекает в направлении оси г. 289 ас(.+ь.,2) ас(., ) дг дг (13.б) ЬЪ ЯЬг. Перейдем к пределу при Ьг 6 0: д ПдС(,2) „ (13.7) Разделив левую и правую часть (13.7) на Ьт и переходя к пределу прн Ьг — 6 О, получим уравнение диффузии в дифференциальной форме: ас(.,2) а ( ас(.д) а а.(, а. (13.8) В случае, когда коэффициент диффузии 12 в среде постоянен, имеем: дС д'С 2 а а" ' (13.9) или, в другой форме записи С, = РС .
В случае, когда диффузия происходит в трехмерном пространстве, причем имеет место изотропная диффузия, т. е. перемещение частиц вещества равновероятно по всем направлениям, уравнение (13.9) примет вил д С(гд) (13.10) а а' а' а' Здесь г — вектор г(х, у, б); Ь вЂ” оператор Лапласа: —, + —, + —, . дх' ду' дб2 ' Если в среде диффундируют л веществ с концентрациями С; (2 = 1, ..., л), процесс описывается системой и уравнений: д С,(г,2) =1х,ЬС,(г,т), 2 = 1,2, ..., л.
(13.11) д2 РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Запишем уравнение для изменения концентрации: Здесь 1); — коэффициент диффузии 2'-го вещества. Вообще говоря, коэффициент диффузии определяется не только свойствами самого диффундирующего вещества, но и свойствами остальных компонентов системы. Тогда вместо используемого нами коэффициента самодиффузии О; следует пользоваться коэффициентом взаимной диффузии (кросс-диффузии). Уравнения (13.9)-(13.11) описывают изменение во времени и пространстве концентраций веществ, когда в системе происходит единственный процесс — диффузия. Однако специфика химических и биологических систем определяется лзииае пиеа.симан ЙЗ26666 РВОВ-ЗЙООН, Т таз-Таят) — франнт ОМЙ МВТМНВТИХ И ЗО.
чзОнОм; ЗВ'нф ООИОВО. а Обиаети набеОИОЙ механихи, диффчтенцизиьнмх ятзен6ний, теерии еереитнеетей. ЛЕКЦИЯ 13 Здесь г — функция источника. В многокомпонентных системах возможны разнообразные взаимопревращения компонентов, например химические превращения веществ в ходе реакций. Вид функциональной зависимости скорости химической реакции определяется механизмом реакции, в общем случае функция 1: в уравнении (13.1) зависит как от концентраций реагирующих веществ, так и явно от пространственной координаты г и времени П Предположим, что вид функции 1 не зависит явно от времени и координаты пространства: б =У (Сь С,, ..., С„).
(13.13) С учетом химических превращений, происходящих в каждой точке системы согласно функциям (13.13), уравнения (13.11) следует переписать в виде дС,. ' =~ (С„С,,...С„)+)г,.ЛС,.(г,г). (13. 14) дг В случае одномерного реактора: дС,. д'С вЂ” ' = ~ (Сь Съ ..., С„) + г); дг дг' (13.15) Уравнения типа (13.1, 13.14, 13.15) называются автономными уравнениями типа «реакция — диффузия». Дифференциальные уравнения с обыкновенными, а тем более с частными производными, имеют, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Поэтому для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнениям добавить некоторые дополнительные условия.
Для обыкновенных дифференциальных уравнений необходимо задать начальные значения переменных в момент времени г = гв В случае распределенных систем этого недостаточно. Начальные и граничные (краевые) условия Кроме начальных условий, т. е. значений функций С; (г, г) в некоторый начальный момент времени г = гь следует задать также так называемые граничные тем, что кроме диффузии в них протекают и другие процессы.
Это приводит к возникновению новых членов в правых частях уравнений типа (13.9) — (13.11), описывающих изменения концентраций С; во времени. Например, в случае одного вещества в одномерном реакторе, кроме диффузии возможно наличие в некоторых местах трубки источников или стоков этого вещества. Их учет придаст уравнению (13.9) вид О + г(г,г).
дС д'С (13.12) д д" РАСНРЕДЕЛЕННЪ|Е БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 291 (или кйасвые3 условия, т. е. условия на границе области, в которой развертывается изучаемый процесс. Начальные условия задаются в виде функции зависимости концентрации от пространственной координаты в начальный момент времени гс.. (13.16) С. (го г) = я (г)- Граничные (краевые) условия могут быть заданы в различном виде в зависимости от закона изменения концентрации веществ на границе изучаемой области.
Рассмотрим основные типы краевых условий на примере одномерного реактора — трубки длиной 1 Наиболее распространены три типа краевых условий: 1. На краю трубки задана концентрация, которая может определяться, например, концентрацией вещества в резервуаре, с которым трубка находится в контакте: С(0, г) = р(1). (13.17) Здесь,и(г) — концентрация вещества в резервуаре в момент времени и В частности, если на границе трубки происходит поглощение вещества, возникает условие (13.18) С(0, г) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
