Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Такая задача называется задачей о собственных значениях или задачей ШтурмаЛиувилля. Общее решение уравнения (14.7) имеет вид )1(г) = С,е "' + Сге (14.10) 299 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ При Л<0 задача не имеет нетривиальных решений. При Л>0 общее решение (14.10) содержит мнимые показатели и поэтому может быть записано в виде й(г)= 1г,соз /Лг+О,з)п 1Лг. (14.11) Краевые условия (14.9) дают л(о) = в, = о, г(1) =Р,$1пл1=0. Если )г(г) не равно тождественно нулю, то Рз ~~ О, поэтому з1п ч'Л1 = О, или ч'Л = —, г — ггл где л — любое целое число.
Величину,,1Л = — в литературе, посвященной ч и волновым процессам, обычно называют волновым числом и обозначают буквой lг. Таким образом, нетривиальные решения задачи возможны лишь при значениях л.=(;")'. (14.12) Этим собственным значениям соответствуют собственные фурии: Ю„(г) = О„з(п — г. пл (14.13) В дальнейшем произвольный множитель 1)„будем считать равным единице. Вид собственных функций )г(г) для краевой задачи о диффузии (14.4), (14.5) в одномерном реакторе длины 1 при различных значениях л изображен на рис. 14.1. Рассмотрим теперь уравнение (14.8) Т(г) + 1)ЛТ(г) = 0 и найдем его решения, соответствующие собственным значениям Л (14.12).
Это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, его решения для каждого л представляют собой затухающие со временем экспоненты (см. лекцию 2): Т (г) = А„е """'. (14.14) Здесь А„— не определенные пока коэффициенты. Возвращаясь к основной вспомогательной задаче (14.4), (14.5), видим, что частными решениями уравнения (14.4), удовлетворяющими нулевым краевым условиям, являются функции: С„(г г) = К„(г) . Т„(г) = А„е ""' гйп — г.
(14.15) Эти частные решения (14.15) представляют собой затухающие со временем сину- соидальные распределения концентрации С. Легко видеть, что выражение„стоя- ггл щее под знаком з)п, представляют собой произведение волнового числа lс„=— ЛЕКЦИЯ 14 ггл и координаты г.
Таким образом, и„= является «частотой колебания» пере- 2гг менной С в пространстве или, что то же самое, величина Л„= — является «пек„ 21 риодом» колебаний концентрации С по пространству г. Иначе говоря, Л„=— есть длина волны синусоиды, представляющей собой собственное решение С„ (рис. 14.1). Чем больше номер гармоники л, тем меньше период синусоиды в пространстве и тем больше коэффициент затухания этой синусоиды во времени (за 1 счет множителя е ' ' ' ).
Общее решение представляет собой суперпозицию частных решений. и=О п=1 л=2 л=З и=4 Рис. 14.1. Собственные функции Н„(г) для краевой линейной задачи о диффузии в одномерной трубке длины 1 с нулевыми краевыми условиями. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ Зависимость решений от начальных условий зо1 Вернемся к задаче с ненулевыми начальными условиями (14.2).
Представим решение в виде ряда: -(7)" . лл С(гн) = ~А„е ' яп — г. (14. 16) =! Функция С(г, з) удовлетворяет нулевым граничным условиям (14.5), так как им удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения начальных условий (142), получим выражение для А„: (!!(г) = С(г,О) = ~ А„яп — г. (14.17) Таким образом, А„представляют собой коэффициенты разложения Фурье (см. курс математического анализа) функции (о(г) по синусам в интервале (О, Г>: А„= !р„= — ~ 4!(~) яп — ~ 0~.
2' . ггл (14.18) (а Здесь ~ — переменная интегрирования. Формулу (14.16) можно записать в виде 2 " -("!") ", л"л, лл —,) е ' яп — г.яп 1 1 С(гн) = ) а (о(9) 19. (14.19) Изменение порядков суммирования и интегрирования законно, поскольку ряды сходятся равномерно по ~ при г > О. Обозначим: 2 С(г,Ц,'!)= —,) е ' ' ' яп г.з!и 1„, (14.20) Тогда С(г, г) можно представить через О(г, ~, г) в виде ! С(гы) = (6(гЛ,~УрЯЩ. о (14.21) 6(г, 9, !) называется функ!(лей мгновенного источника и характеризует распределение вещества в трубке 0 < г < 1 в момент времени ь если в начальный момент времени концентрация вещества равна нулю, и в этот момент в точке г = ~ мгновенно выделяется некоторое количество вещества, а концентрация ве!цества на концах трубки все время поддерживается нулевой.
Как мы увидим в дальнейшем, выражение для функции источника удобно использовать при решении неоднородного уравнения диффузии. зог ЛЕКЦИЯ 14 (О, г) = — (1, г) = О. дг ' дг (14.22) Краевые условия (4.22) дают: — (0) = О, — (1) = О. дй дй дг ' дг Продифференцировав выражение (14.11) по г, получим: — = -В,,й з1п,йг+ О,,асов.йг. дВ дг Краевые условия (14.22) дают: — =в,Л=О, о,=о, д., — =-В,Лз)пЛ1 =О.
дФ дг~, Отсюда, как и в случае нулевых краевых условий (14.5), получаются те же велиг— чины собственных значений ~Л„= —, но собственными функциями для одномерного реактора с непроницаемыми концами являются функции ггл Ю„= П„соз — г. (14.23) Решение краевой задачи (14.4), (14.22) поэтому будет иметь вид С(г,г) = ) о 2 " -( —,") о лл л"л — ~~~ е ' соз — г.соз — 9 4з(~)д~, (14.24) а функция источника, соответственно, может быть представлена виде 2 " -~ —,) '" ггл ггл б(г,~,г) = —,) е ' соя — г.соз — ~. (14.25) Таким образом, для краевых задач как первого рода (на границах заданы концентрации), так и второго рода (на границах заданы потоки) собственными Итак, мы получили выражения (14.19), (14.21) для решения однородного уравнения с заданными начальными условиями и нулевыми краевыми условиями.
При граничных условиях непроницаемости концов одномерного реактора на решения уравнения (14.7) накладываются краевые условия: зоз РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ функциями являются периодические гармонические функции пространственной координаты: хп ггл з)п — г, соз — г,и=1,2, ..., о. Если реакция происходит в безграничной трубке, решение однородного урав- нения С, =1)С„ с начальным условием С(0, г) = я(г) имеет вид 1 < -О С(г,г) = ~у(~)е lггггг (14.26) Решение неоднородного уравнения диффузии с нулевым начальным условием и нулевыми краевыми условиями Присутствие в правой части уравнения (14.1) членами"(г, г) означает наличие источника (или стока) вещества в данном месте через стенки трубки.
Например, при описании процессов диффузии ионов вдоль мембраны возможен трансмембранный перенос ионов (см. модель пространственно-временных распределений протонов вдоль мембраны водорослей в лекции 21). Для решения неоднородного уравнения диффузии С,= 0С„+г"(г, г) (14.1) с нулевым начальным условием С(г, 0) =0 Из этой формулы в частности следует, что если начальная концентрация была положительна только на конечном отрезке 0 < г < 1, то при любом г > 0 концентрация в момент г будет положительна всюду на числовой прямой: — < г < Таким образом, с помощью диффузии большие концентрации распространяются сравнительно медленно, в то время как малые концентрации распространяются за малое время на большие расстояния.
Следует, однако, иметь в виду, что уравнение (14.26) на очень малых интервалах времени плохо описывает процесс диффузии. Если рассматривается диффузия на конечном отрезке 10, 1) с условием непроницаемости на концах, то любая начальная концентрация с ростом г стремится к равномерному распределению по отрезку. 304 ЛЕКЦИЯ 14 и нулевыми краевыми условиями С (О, г) = О, С(1, г) = 0 лл решение С(г, г) также ищут в виде разложения в ряд Фурье по яп — г: С(г,г)= ) С„(г)яп — г. л'л и=! Здесь функции С„(г) могут быть получены при подстановке предполагаемой фор- мы решения в исходное уравнение (14.1), где функция ((г, г) также представляет- ся в виде ряда Фурье: ггл 1 (г, г) =,г г„(г) яп — г.
=! 1 (14.27) Таким образом, решение поставленной задачи имеет вид ! )е Г (т)о1г о С(г,г)=~ =1 ггл яп — г. (14.28) С(г.г) = ~16(г,ьд — т)~(ь,г)зьг)т, (14.29) оо г" -!(7)! С(г,ье,г — т)= — ,') е ' яп — г яп — 9. 1 (14.30) Легко видеть, что функция (14.30) совпадает с функцией (14.20). Различие состоит в том, что в случае формулы (14.20) мы изучали однородное уравнение диффузии и поэтому рассматривали источник вещества, действующий лишь в момент времени г = О, согласно начальному условию (14.2). Дальнейшее распределение вещества определялось в этом случае «пассивной» диффузией по градиенту концентраций. В случае неоднородного уравнения (14.1) функция 1"(г, г) задает распределение источников вещества, действующих постоянно.
Поэтому в выражении для С (г, г), через функцию источника необходимо суммировать действие мгновенных точечных источников во все моменты времени от г = 0 до рассматриваемого момента Г (интеграл по З) и во всех точках одномерного реактора (интеграл по ф. Таким образом, исходя из физического смысла функции источника 6 (г, ~, г) можно было бы сразу написать выражение (14.29) для функции, дающей решение неоднородного уравнения.
Как и в случае однородного уравнения, оно может быть представлено через функцию источника: 305 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ Общая краевая задача Решение обшей краевой задачи — уравнения (14.1) с начальными (14.2) и краевыми (14.3) условиями — сводится к решению задачи с нулевыми краевыми условиями. Для этого решение С(г, 1) представляют в виде суммы двух функций: (14.31) С(г, 1) = У(г, 1) + к(г, 1). Здесь У(г, 1) — известная функция (14.32) а и — неизвестная функция, которая определяется как решение уравнения к, = ОР„+ г" (г,г), где 1(гд) = 1".(г,г) — (У, — 2)У„].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
