Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Флуктуации, которые носят случайный характер, могут иметь различную амплитуду. Флуктуации с ббльшими амплитудами возникают реже. Вообще говоря, для флуктуации любой амплитуды существует среднее время ожидания. Таким образом, если долго ждать, в системе с шумом всегда возникнет флуктуация, которая «перебросит» систему из одного стационарного состояния в другое. Исследования последних лет показали, что в нелинейных системах шум может приводить к увеличению степени упорядоченности системы.
К таким явлениям относится стохастический резонанс, определяющий группу явлений, при которых отклик нелинейной системы на слабый внешний сигнал заметно усиливается с ростом интенсивности шума в системе. Точнее, существует некоторая оптимальная амплитуда шума, при которой отклик системы на слабый сигнал максимален. Термин «стохастический резонанс» был предложен авторами модели бистабильного осциллятора, предложенной для описания периодичности в наступле- 278 ЛЕКЦИЯ 12 нии ледниковых периодов на Земле [Ц. Модель описывала движение частицы асимметричном двухъямном потенциале под действием периодической силы в условиях болыпого трения. Устойчивые состояния соответствовали ледниковому периоду и современному климату Земли.
Периодическая сила соответствовала колебаниям эксцентриситета орбиты Земли. Расчеты показали, что реальная сила слишком мала, чтобы обеспечить переключения, однако они становятся возможными при учете дополнительной случайной силы. Исследования физических и химических систем как в эксперименте, так и на модели показали, что стохастический резонанс представляет собой фундаментальное физическое явление, типичное для нелинейных систем, в которых с помощью шума можно контролировать один из характерных временных масштабов системы (например, время переключения между метастабильными состояниями).
Пусть система испытывает малое внешнее периодическое воздействие, в результате которого она совершает колебательные движения вокруг состояния равновесия, как это мы видели для бистабильной системы без шума (12.8). Добавим в систему шум. При малой интенсивности шума время перехода между состояниями будет очень велико, намного больше периода внешнего воздействия.
При высоком уровне шума за время одного периола изменения внешнего поля система с высокой вероятностью многократно совершит переключения. Таким образом, при наличии шума высокой интенсивности периодическое воздействие не будет оказывать видимого влияния. Варьируя интенсивность шума, можно обеспечить режим, когда среднее время перехода через барьер близко к периоду внешнего воздействия. Переключения системы в среднем будут происходить с частотой внешнего воздействия, и шум будет служить в роли «усилителя» внешнего сигнала. Имеет место соответствие (резонанс) внешнего воздействия и воспринимающей системы (динамическая система + шум).
Это и есть явление стахастическага резонанса. Для систем с аттракторами, демонстрирующими динамический хаос, типично существование в фазовом пространстве аттракторов различного типа. Области (бассейны) притяжения этих аттракторов разделяются сепаратрисными гиперповерхностями. В отсутствие внешнего шума фазовая траектория будет принадлежать тому или иному аттрактору в зависимости от начальных условий. Воздействие внешнего шума приведет к возникновению переключений между существующими аттракторами системы. Если дополнительно к внешнему шуму на систему подается слабый периодический сигнал, не вызывающий переходов между апракторами, возможно появление стохастического резонанса. Отклик системы на слабое периодическое воздействие будет усилен.
Справедливо и обратное. Если к системе, которая в присутствии любого периодического поля имеет два аттрактора, добавить шум, между этими аттракторами возникает перемежаемосп. Этот эффект имеет место для системы (12.12), в области параметров, для которой фазовый портрет изображен на рис. 12.11. Для систем с хаотической динамикой В. Д. Анищенко [61 был установлен принципиально новый эффект — детерминированный стахастический резонанс. МОДЕЛЬ ВОЗДЕЙСТВИЯ СЛАБОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 279 Известно, что в системах с квазистохастическим поведением возможно явление объединения двух аттракторов с возникновением динамической перемежаемости «хаос — хаос».
Именно такое поведение демонстрирует система Лоренца, рассмотренная в лекции 1О (уравнения (10.1)). При воздействии медленного периодического сигнала можно путем изменения управляющего параметра добиться примерного совпадения периода сигнала и среднего времени переключения с одного аттрактора на другой, то есть условий стохастического резонанса. Среднее время переключений между аттракторами зависит не от амплитуды шума, а от параметров динамической системы. Изменяя управляющий параметр, можно управлять откликом системы на внешнее воздействие н наблюдать эффект типа стохастического резонанса в отсутствие шума.
Литература к лекции 12 1. Веп21 К., Бп(ега А., Чп1р)ап1 А. ТЬе шесйап1зш о( Яосйазбс гезопапсе. Х Роуз. А: Мага. бел. 14: 453-457, 1981. 2. Копки Н. 1.. Вю)п(оппадоп — е!еспорйуяса) азресьз. 1и: Рорр ЕА., ВеЫсег 3., Кол18 Н. 1, Резс1йа чЧ. (Едя.) Е1еспошайпебс Вюш(оппабоп, рр. 42 — 73. Мппсйеп-Ва16пюге, ПгЬап ас БсйчгятепЬегй, 1989. 3.
К)хшсйепко б. Уо., Р!пяппа Т. Уп., Акзуопоч 8.1. Модейп8 о( (Ье е((есг о( тчеак е!еснзс Ее1д оп а поп11пеаг ПапяпешЬгапе юп 1гапз(ег зузГеш. Вше!есггосоеоь Вюелег8. 35: 39-47, 1994. 4. Аксенов С. И. Вода и ее роль в регуляции биологических процессов. М.— Ижевск, ИКИ, 2004. 5. Аксенов С.
И., Грунина Т. Ю., Горячев С. Н. Физико-химический механизм влияния магнитных бурь и ЭПМ низких частот на биологические и социальные процессы. Биомедицинская радиоэлектроника. № 8 — 9: 77 — 88, 2007. 6. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. М., Наука, 1990. 7. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой. М., Эдиториал УРСС, 2008. 8. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В.
Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов, Издательство Саратовского государственного университета, 1999. 9. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Шиманский-Гайер Л. Динамическое и статистическое описание колебательных систем. М.— Ижевск, ИКИ вЂ” РХД, 2005. 10.
Бинги В. Н. Магнитобиология: Эксперименты и модели. М., Милта, 2002. 11. Плюснина Т. Ю., Ризниченко Г. Ю. Типы нелинейного поведения системы переноса ионов через мембрану при слабом воздействии электрического поля. Биофизика 41(4): 939 — 943, 1996. 12. Плюснина Т. Ю., Рнзниченко Г. Ю., Аксенов С. И., Черняков Г. Н. Влияние слабого электромагнитного воздействия на триггерную систему трансмембранного ионного переноса. Биофизика 39(26): 345-360, 1994. 280 ЛЕКЦИЯ 1г 13.
Ризниченко Г. Ю., Плюснина Т. Ю. Нелинейная организация субклеточных систем как условие отклика на приложенное электромагнитное поле. Биофизика 41(2): 428-432, 1996. 14. Ризниченко Г. Ю., Плюснина Т. Ю. Нелинейные эффекты при воздействии слабого электромагнитного поля на биологические мембраны. Журнал физической химии 71(12): 2264-2270, 1997. 15. Чижевский А. Л. Земное эхо солнечных бурь.
М., Мысль, 1976. 16. Чижевский А. Л. Космический пульс жизни: Земля в объятиях Солнца. Гелиотараксия. М., Мысль, 1995. ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ЛЕКЦИЯМ 1-12 Итак, в первых 12-и лекциях были рассмотрены основные понятия современной динамической теории систем и их применение к моделированию биологических процессов. Биологические процессы на всех уровнях происходят в открытых системах, через них проходят потоки вещества и энергии, имеет место многоступенчатая регуляция со стороны систем высшего уровня. Биологическим системам свойственны сложные типы поведения: ограниченность роста, мультистабильность, периодические и квазистохастические изменения переменных, характеризующих живую систему. Эти обстоятельства обусловливают необходимость использования для их описания нелинейных уравнений — обыкновенных, разностных, с запаздывающим аргументом. Современная теория динамических систем дает принципиальную возможность описания сложных типов динамического поведения, однако для описания каждой конкретной биологической системы требуется большая работа по формулировке модели, идентификации ее параметров, исследованию возможных типов ее поведения.
В лекциях 2 — 12 мы ограничились рассмотрением особенностей протекания биологических процессов во времени и возможностями их описания с помощью современной теории нелинейной динамики. В последующих лекциях будут рассмотрены эффекты, связанные с пространственной неоднородностью биологических систем. Активные кинетические среды в живых системах. Проблема формообразования. Распространение волн возбуждения. Пространственные структуры и автоволновые процессы в химических и биохимическихреакциях. Уравнение диффузии. Начальные и граничные условия.
Активные кинетические среды в живых системах Биологические процессы, как и вообще все процессы в природе, протекают в пространстве и во времени. При построении математических моделей некоторых процессов можно ограничиться рассмотрением локальной (точечной) системы, предполагая, что процессы во всех точках пространства протекают одинаково. Такой подход оправдан при рассмотрении однородных в пространстве объектов, таких как культура микроорганизмов в непрерывном культиваторе полного перемешивания.
Однако реальные системы, как правило, неоднородны в пространстве. Построение локальной модели является необходимым этапом при моделировании любой системы, так как для описания поведения системы в целом, естественно, надо представлять себе поведение отдельных ее частей. Однако связи, существующие между отдельными точками или «компартментами» пространства, например диффузионные потоки различных веществ, могут приводить к тому, что система в целом — совокупность таких компартментов (например, ткань— совокупность клеток) — приобретает качественно новые свойства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
