Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Быстрота смены поколений делает микробные популяции чрезвычайно удобным объектом для изучения процессов микрозволюции. Пусть требуется изучить микрозволюционный процесс в популяции, протекающий в течение 100 генераций, например, проследить последствия повышения фона радиации. В популяции однолетних организмов (например, сельскохозяйственных культур) для проведения такого исследования не хватит всей жизни одного исследователя. Для человеческой популяции на сто поколений приходится период времени более 2000 лет. А для микробной популяции с временем генерации г = 20 мин. наблюдение 100 генераций займет около полутора суток.
Рассмотрим процесс восстановления популяции после воздействия неблагоприятного фактора. Пусть процесс происходит в условиях непрерывного культивирования. Предположим, что в микробной популяции в результате неблагоприятного внешнего воздействия погибает значительная часть клеток. После снятия неблагоприятного фактора в популяции будет происходить процесс восстановления. В результате действия протока количество мертвых клеток будет уменьшаться, а количество живых будет определяться двумя процессами — вымыванием и размножением.
Со временем доля живых клеток увеличивается, и популяция возвращается к активному состоянию. Рассмотрим простейшую модель такой системы [13). Разделим все клетки на два типа. Первый тип — потерявшие способность к размножению в результате воздействия неблагоприятного фактора неживые клетки. Второй тип — сохранившие способность к размножению клетки.
Динамика живых и неживых клеток может быть описана системой уравнений: 252 ЛЕКЦИЯ 11 Если воздействие неблагоприятного фактора было сильным и погибла значительная часть популяции, потребление субстрата в начальные моменты процесса восстановления будет незначительным. Концентрация субстрата в среде значительно повысится за счет его постоянного поступления.
При этом можно считать, что и х,ц = сопз1. Тогда уравнение для субстрата можно исключить из рассмотрения. Анализ кинетики восстановления сведется к рассмотрению простой системы первых двух уравнений и алгебраического соотношения для количества клеток. Решив систему уравнений, получим соотношение, определяющее долю живых клеток в популяции в любой момент времени и пв рр инни и й севегтьевич— биофтпин, специепист в абгисти зеапюцисн- ной теории, знспери- ментепьной знспагии, ~прОВгтпегнгза мигохб ного синтезе. Профес- сор Креснаирснаго ГОСТДЦТСТВВННОГО Тннеегхитете.
х аае" Н (11.25) х 1+ае где ао — отношение количества живых и неживых клеток в начальный момент времени. Можно оценить время, которое необходимо популяции для устранения по- следствий неблагоприятного фактора. Будем считать процесс восстановления законченным, если в популяции на сто живых осталась одна неживая клетка. Пусть в результате неблагоприятного воздействия в популяции отношение жи- вых клеток к неживым составляло 1:100. Оценки 1131 показывают, что для из- менения соотношения числа живых и неживых клеток в 10 раз необходимо 4 примерно тринадцать с половиной поколений культуры.
Даже при очень силь- ном неблагоприятном воздействии, например при ао = 10, время восстановле- ния до 90% уровня живых клеток составляет 27 генераций. Это объясняется логарифмической зависимостью времени восстановления от отношения живых и неживых клеток. На сходных моделях можно анализировать конкуренцию мутантных форм в микробных культурах. Несмотря на то, что частота мутаций, приводящих к улучшению некоторого признака, чрезвычайно низка, именно такие мутанты вытесняют исходную форму за счет действия естественного отбора. Анализ экс- периментального материала на основе таких моделей позволил сделать опреде- ленные выводы о совместном действии мутаций и отбора.
Преимущества имеют следующие мутанты: ° мутанты, способные более полно утилизировать имеющийся субстрат, т. е. имеющие отличную от исходной формы зависимость,и х П5), ° «экономичные» мутанты, способные более полно использовать субстрат, ° более «резистентные» мутанты, менее чувствительные к воздействию внешнего фактора, ° мутанты с пониженными скоростями отмирания, ° менее «мутабельные» мутанты, МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ 253 ° быстро растущие н быстро отмирающие мутанты, ° мутанты с увеличенной максимальной скоростью роста, ° мутанты, выделяющиеся в неоднородных средах, например, способные противостоять вымыванию из ферментера: прилипать к стенкам или слипаться в комки и выпадать на дно. Оценка времени замены исходной формы мутантной при воздействии неблагоприятного фактора (например, антибиотика), показывает, как быстро распространяются нечувствительные к ингибиторам мутанты в открытых системах.
Возрастные распределения микроорганизмов Однородность клеток в микробной популяции всегда относительна. Большую роль в процессах роста микробной популяции играет возрастная структура. Делиться, т. е. увеличивать численность популяции, способны только клетки, достигшие определенного возраста (или определенного размера). р~;'";;.,:,а: ", .„:,. Возрастная гетерогенность популяции может служить причиной сложной немонотонной динамики ее численности. Рассмотрим простейшую двухвозрастную модель клеточ- ф;;:;.Чй ной популяции [171.
Популяция разбита на две группы клеток: молодые и старые. "в Понятие «молодые» и «старые» применительно к разным видам микроорганизмов можно трактовать по-разному. Сэвлаиова натальи В КЛЕтКаХ ЭУКаРИОтОВ МОЛОДЫМИ МОЖНО СЧИтатЬ КЛЕТКИ фа- Вииаснмасмиа(ЭяЗЭ ЗЫ 6Ь В КОтОрОй СИНтЕЗИруЕтСя бЕЛОК, а СтарЫМИ вЂ” ВСЕ ОС- Э~~) РЭ«о 'Й "мв' сний фиэин, бисфиэин, тальные, начиная с о-фазы синтеза ДИК. Именно на этих „„,г поздних стадиях существуют ингибирующие кейлоны, угне- лированив в минрсбио. тающе действукяцие на скорость деления. ЛОГИИ И ИММ~НОЛО3'ИИ, Будем считать, что клетки первой группы интенсивно растУт, НО НЕ ДОСТИГЛИ фИЗИОЛОГИЧЕСКОй ЗРЕЛОСТИ И НЕ СПОСОбНЫ нмн асеан Офннэи в делиться.
Члены второй группы способны к делению. Процесс деления может быть задержан при помощи различных ингибиторов. Уравнения для численностей молодых (Ф1) и старых (Жэ) клеток имеют вид (11.26) Здесь Т~ — среднее время созревания молодой клетки, Тэ — среднее время пребывания старой клетки в репродуктивном периоде, 2) — скорость протока. Удельная скорость деления клеток пэ=Т,'. Множитель 2 в первом уравнении отражает тот факт, что старая клетка делится на две молодые. 254 ЛБКЦИЯ И При отсутствии лимитирования субстратом продолжительность первой фазы Т, постоянна, продолжительность второй фазы Тз зависит от взаимного влияния клеток.
которое осуществляется с помощью метаболитов (кейлонов), выделяемых клетками в среду. Если скорость выделения н распада кейлонов много больше скорости протока и скорости деления клеток, концентрация кейлонов пропорциональна числу клеток, их выделяющих. Обозначим концентрацию ингибирующего метаболита У. Его влияние на удельную скорость деления клеток можно записать в виде Т,' =ю=аЦ1+( — )" 1', ! /с, (11.27) где гас — скорость деления в отсутствие ингибитора й Здесь л — порядок инги- бирования, й~ — константа ингибирования. Были рассмотрены три ситуации: 1) ингибиторы выделяются только молодыми клетками, 2) ингибиторы выделяются только старыми клетками, 3) ингибиторы выделяются независимо от возраста.
Исследование модели показало, что только предположение о выделении ингибиторов старыми клетка- ми позволяет описать колебательные режимы в системе. В рамках модели зто означает, что скорость деления зависит от численности Из. (1+( г) 1-~ д(, Введем безразмерные переменные: У, х= —, д~а В безразмерных переменных система имеет вид Нх 2сгу — — „— (д+ 1)х, й 1+у" ф сгу — =х — Ду— ш' 1+ у" (11.28) Штрих у времени опущен. Кроме тривиальной особой точки (О, О) система (11.28) имеет еще одну особую точку: (1 — б)сг х=2оу —, у= — 1, 1 — д' (1+ Б)сг тип которой может быть различным в зависимости от параметров.
Ширина области неустойчивости в пространстве параметров зависит от порядка ингибиро- МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ 255 вания: чем больше л, тем она шире. Области неустойчивости на плоскости па- раметров (гг, д) для второго и третьего порядка ингибирования изображены на рис. 11.5. 30 Рнс. 11.5. Параметрические области неустойчивости стационарного ненулевого решения при я = 2 (двойная штриховка) и л = 3 (простая штриховка). 20 10 0 0,2 0,4 0,6 0,8 6 Фазовый портрет системы в области неустойчивости содержит предельный цикл (рис.
11.6). Динамика переменных изображена на рис. 11.7. Рнс. 11.6. Фазовый портрет системы (11.28) в области неустойчивости ненулевого ста- ционарного решения. Жирная линия — предельный цикл. 256 ЛЕКЦИЯ 1! Рис. 11.7. Поведение во времени переменных модели (11.28). Непрерывные модели возрастной структуры микроорганизмов Такие модели оперируют не с численностями отдельных групп„а с непрерывной функцией распределения организмов по возрастам. Уравнение для плотности функции распределения было впервые получено Маккендриком в 1926 г.
[4), а затем «переоткрыто» Х. фон Ферстером [П в 1959 году и носит его имя. Имя этого ученого мы уже упоминали в лекции 3 в связи с обсуждением закона гиперболического роста человечества. Вместо интегральной характеристики — числа клеток Ж(г) — введем функцию распределения числа клеток по возрастам л(д т). Произведение численности на величину возрастного интервала л (с т)дт — это количеспю особей в момент времени г, имеющих возраст в интервале [т т+ дт). Общее число особей всех возрастов в момент времени ! определяется интегралом )У(!) = ~л(ц т)Ыт. о В уравнении Ферстера две независимые переменные — время г и возраст т, который отсчитывается с момента рождения особи.
Уравнение представляет собой дифференциальную форму закона сохранения числа особей. Согласно этому закону, дивергенция функции л(г, т) в пространстве переменных ! н травна сумме источников и спжов: дл(ц т) дл(д т) + ' = р(цт)л(г, т) — Т)(г)л(д т) — оэ(б т)л(д т) . (11.29) д! дт В уравнении (11.29) слева стоит полная производная е(лЫО при этом учтено, что Ыт(л! = 1.
В правой части — члены„которые описывают процессы, приводящие к изменению числа клеток данного возраста. Первый член р(д т)л(ц г) — прирост числа клеток за счет поглощения суб- страта. Убыль клеток может быть вызвана разными причинами — смертностью, миграцией. Для проточной культуры всеми этими процессами можно пренебречь по сравнению с протоком клеток через культиватор, скорость протока В(г) не зависит от возраста клеток, но может зависеть от времени. МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ 257 Второй член справа характеризует скорость оттока клеток возраста т в момент времени к Третий член описывает переход клеток в нулевой возраст вследствие процесса размножения„а(г,т) — вероятность разделиться за время ш' клетки, достигшей возраста т в момент времени г.
Прирост численности в результате размножения происходит в нулевой возраст и войдет в граничное условие при г= О. Начальное распределение клеток по возрастам в момент времени г = 0 считается заданным: л(О,т) = фф (11.30) Второе граничное условие показывает, сколько клеток рождается в момент времени г от родителей всех возрастов: п(ПО) =к~я(г,т)%(дт)йт'. (11.31) 0 Здесь /с — число потомков в одном акте размножения, п(б г') — число клеток в возрасте т', И(г, гердт' — вероятность размножения родителя в возрастном интервале (т', г'+ сй'). Вероятность размножения родителя в формуле (11.31) равна вероятности убыли числа клепж этого возраста за счет размножения в правой части уравнения (11.29): И'(г,т)дт=ш(бг)~й, в=И' — =И~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
