Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Фракталы можно рассматривать как множества точек, вложенные в пространство. Например, множество точек, об- ПРИМЕРЫ ФРАКТАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ 231 Кривая Коха Пример предложен Хельге фон Кохом в 1904 году. Построение, представленное на рис. П.1, начинается (п= 0) с отрезка прямой длиной Ц1) = 1.
Отрезок делится на три части, средняя часть вынимается, вместо нее встраиваются фонкокнипьс Фабиан Хельга (ксп две стороны равностороннего треугольника, длиной 1/3 каждая. В рЕЗуЛЬтатЕ ПОЛуЧаЕМ КрИВуЮ ПЕРВОГО ПОКОЛЕНИЯ (П = 1) 1а70-1яяв) оведо«ий мвт6МВтик, ЗВтс[г Осно. ИЗ ЧЕТЫРЕХ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ, КажДОЕ ДЛИНОЙ ПО 1/3. мккгпмамггмкрабстпо Длина кривой первого поколения составляет величину Ц1/3) = 4/3. Следующее поколение получается при замене каждого прямолинейного звена уменьшенным образующим элементом.
В результате получим кривую второго поколения (и = 2), состоящую из /(/м4 = 16 звеньев. Каждое звено имеет длину г1 = 3 =1/9. Длина кривой второго поколения равна ЦН9) = (4/3) = 16/9. Заменяя все звенья предыдущего поколения кривой уменьшенным образуюшим элементом (треугольником без нижней стороны) получаем новое поколение кривой. Кривые для трех поколений представлены на рис. П.1. Кривая и-ного поколения при любом конечном и называется предфракталом.
разуюших линию в обычном евклнцовом пространстве (Е = 3) имеет топологическую размерность Р,= 1 и фрактальную размерность Р = 1. Линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна. Аналогично, множество точек, образующих поверхность в евклидовом пространстве, имеет топологическую размерность Р,=2 и фрактальную размерность Р = 2. Обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Однако существуют множества, для которых топологическая и фрактальная размерности не совпадают. Это имеет место в случае, когда при последовательном уменьшении измеряющего элемента длина кривой не стремится к определенному пределу. Например, существуют кривые„закрученные так сильно, что длина их окажется бесконечной„или поверхности, изогнутые столь причудливым образом, что они занимают все пространство.
Фрактальная размерность Р кривых„подобных береговой линии, заключена в интервале от 1 до 2, фрактальная размерность существенно пространственных объектов — облаков— от 2 до 3. Вот некоторые примеры фрактальных множеств, предложенных математиками. Мандельброт Бенуа (Веггоя МВСОВ(ОТСС Три-го)с) — фр цуэский и американский математик Основатель и 66д)эций исследова- тель в области фрвк- ТВПЬНСЙ ГЕОМВТРИН.
Рабство в области ЛИНГВИСПВИ, ТЕОРИИ иГГГ, экономики, аэро. НЗВТИКИ, Г6СГ'РВФИИ, ФИЭИОПОПГИ, ВСЧГОНО мии, физики. Придумал пснити6 "фрактвп" (ст латмкэкко 6661ов, озиачакэцего «сломан- ный, разбитый ). См. Б. Мандельброт Фрактвпьнап Г60 метрил природы [1 У[. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЛЕКЦИИ 1О 232 Получим выражение для величины размерности О. Длина предфракгала зависит от номера поколения и для л-го поколения определяется формулой ь(о) = (4/3)". Длина каждого звена составляет д = 3 . Отсюда число поколений л можно представить в виде л = — 1лд11лЗ.
Длина предфрактала запишется в виде Е(о) = (4/3)" = ехр~ — ) = ехр~1п 6~1 — — ). (П2) ( !пав(1п4 — 1пЗ)) ( ( !п41) 1пЗ ) ~ ~ 1пЗЯ и=1 л=3 Рис. П. 1. Кривая Коха. Первые четыре шага построения. ПРИМЕРЫ ФРАКТАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ 233 Р = 1п 4Лп 3 — 1.2628. Треугольник Сернинского Сходным образом строятся фрактальные салфетка и ковер Серпинского, изображенные на рис. П2, ПЗ. Рис. П. 2. Построение треугольной салфетки Серпинского. Начальный элемент — треугольник со всеми внутренними точками. Образующий элемент исключает из него центральный треугольник. На рисунке показаны пять поколений предфракталов.
Фрактальное множество получается в пределе при бесконечно большом числе поколений и имеет фрактальную размерность 0 =!лЗЛп2 = 1.58... Сравнивая формулу (П.2) с формулой (П.1), получим выражение для фрактальной размерности кривой Коха: На каждой стадии построения предфракталы Коха могут быть растянуты влинню, поэтому топологическая размерность триадной кривой Коха Р,= 1. Таким образом, кривая Коха — фрактальное множество с фрактальной размерностью Р = 1п 4Лп 3. Серпинспий Вацлав Франц сп !Не рптвн ууабаи ртапслтей, 1 айа — тато! — пспьстий ыатвыатит. Основные труды посвпцтены теории ынсиаств, тео- рии чисел, теории фунлтий, тсполотии.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ЛЕКЦИИ 1О 234 и = О п=З Рис. П. 3. Построение ковра Серпннского. Начальный элемент — черный квадрат со стороной, равной 1. Из него вырезается белый квадрат со стороной, равной 1/3. Далее нз каждого черного квадрата вырезается снова белый квадрат, со стороной, равной 1/3 стороны черного квадрата. На рисунке показаны четыре поколения предфракталов. Размерность подобия 0 = 1л8Лп3 = 1.89...
Кннторово множество Канторово множество названо в честь великого математика Георга Кантора, открывшего его в 1883 году. Построение кривой Коха можно рассматривать как процесс добавления к отрезку. все более мелких деталей. Построение канторова множества сводится к выбрасыванию из первоначального отрезка все более мелких отрезков (рис. П4). п=О Рис. П. 4. Канторово множество. и=1 п= 2 ~ п=З ~ п=4 ВВ ВВ П=5 П!! Пн Ю Ю ° В В ° 1! 11 1111 Ю Ю ° В ° В Н! 1 11Н Ю Ю ° В ВВ 1Н! Н1! НРИМЕРЪ| ФРАКТАЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ 235 и| О -! ~ н| 2фф в|3$ ф ф И И 1! 6! 1111 1111 в=5 Рнс. П.
5. Трнвдный канторов стержень. Высота стержня в н-м поколении пропорцио- нальна его плотности. Построение начинается с отрезка длины 1, который делится на 3 равные части. Затем средняя часть изымается. Число отрезков станет 2, а их полная длина уменыпится до 2/3. Затем процесс повторяется на каждом из оставшихся отрезков.
На каждом этапе отбрасывание средней трети удваивает число отрезков и уменьшает общую длину на одну треть. В пределе полная длина канторова множества стремится к нулю, а его фраКтаЛЬНая раЗМЕрНОСтЬ, КОтОруЮ МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ ПО аиа- Квввосеа|в|овяв Пево Рмапви сади|О логии с формулой (П.2), составит Рвгср, 1845-1 91 8!— П = 1п2ЛпЗ - 0.63092. Реальные системы, имеющие фрактальную структуру, 1еарии ммввапв аивимеют конечную массу. Пример распределения массы шввдаееупввныи вфрактальном множестве дает канторов стержень. Будем считать первоначальным элементом не единичный отрезок, ав а стержень из какого-либо материала с плотностью ро.
Исходный стержень имеет длину /о=! и, следовательно, массу двпмпвдммммовваро= 1 нечнаю и впапне упаря- даченнОГО мяввеапв Разрезаем стержень на две половины равной массы наивнее, одеяапви. р, = р, = 1/2, которые затем в результате ковки укорачивают до ам", чем нетя|впвнмх. длины /1 = 1/3 (одинаковой для обеих половин). В результате такой обработки плотность возрастает до ро-— ,и|Л| — — Зуд. Повторяя процедуру, получим в и-м поколении /У/= 2" стержней, каждый из которых имеет длину !; = =3 и массу р;=2 при 1=1,...,А/ — номер стержня. При этом общая масса в ходе обработки сохраняется, поэтому ~р,=1. Мандельброт сравнивает этот процесс со свертыванием молока, когда первоначально равномерное распределение массы в результате разбивается на множество мелких областей с высокой плотностью. На рис.
П.5 изображен вариант триадного канторова стержня. М(х) 1 0,5 -т 1 х Рис. П. 6. Масса канторова стержня как функция координаты. Объект называется чертовой лестницей (дегбрз зза!гсазе). Литература к лекции 10 1. 1.огепг Е. )ч!. Оегепшшию поп-репогйс ()очи. Х Агтол. 5сй 20: 131-141, 1963. 2.
Козз1ег О. Е. Ап ейцабоп Гог сопбпцоцз сЬаоз. Рйук г".егг. А 57(5): 397 — 398, 1976. 3. топ КосЬ Н. ()пе гпбгЬоде 8еогпепзг)це е1ешегпазге роцг!'ешг)е де сена)поз г)цех!юла де 1а гЬеопе беа соцгЬез р1апез. А с!а Маг)зетаг!са 30: 145-! 74, ! 906. 4. Алексеев В. В. Динамические модели водных биоценозов. Человек и биосфера 1: 1-137, 1976. 5. Алексеев В. В., Крышев И.
И., Сазыкина Т. Г. Физическое и математическое моделирование экосистем. СПб, Гидрометеоиздат, ! 992. 6. Алексеев В. В., Лоскутов А. Ю. О возможности управления системой со странным атграктором. В кнл Израэль Ю. А. (Ред.) Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем, т. 8. Л., Гидрометеоиздат, 1985. 7. Анищенко В.
С. Сложные колебания в простых системах. М., Наука, 1990. 8. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов, Издательство Саратовского государственного университета, 1999. 9. Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Базыкин А.Д. Анализ сложною динамического поведения в модели хищник — две жертвы. В кис Израэль Ю. А. (Ред.) Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем, т. 5, с. 163 — 180.
Л., Гидрометеоиздат, 1982. 10. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М, Наука, 1985. ПРИМЕРЫ ФРАКТАЛЪНЫХ МНОЖЕСТВ 237 11. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. М.— Ижевск, ИКИ-РХД, 2003. 12. Базыкин А. Д., Березовская Ф. С., Буриев Т. И. Динамика системы «хищник- жертва» с учетом эффектов насыщения и внутривидовой конкуренции. В кн.: Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике, с. 6-33. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1980.
13. Базыкин А. Д., Хибник А. И., Апонина Е. А., Нейфельд А. А. Модель эво- люционного возникновения диссипативной структуры в экологической системе. В кн.: Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике, с. 33-47. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1980. 14. Буриев Т. И.. Базыкин А. Д. Динамика системы «хищиикчжертва» с учетом эффектов насыщения и внутривидовой конкуренции. В кн.: Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений, с.31-38. Самарканд, СамГУ, 1980. 15.
Кольцова Э. М.„Гордеев Л. С. Методы синергетики в химии и химической технологии. М., Химия, 1999. 16. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной дина- мики. М., Эдиториал УРСС, 2000. 17. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.— Ижевск, ИКИ вЂ” РХД, 2002. 18.
Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракгалов. М., Мир, 1993. 19. Пуанкаре А. О науке. М., Наука, 1990. 20. Ршниченко Г. Ю., Рубин А. Б. Математические модели биологических про дукционных процессов. М., Издательство МГУ, 1993. 21. Синай Я.Г. Теория фазовых переходов: Строгие результаты. М.-Ижевск, ИКИ вЂ” РХД, 2001.
22. Тарасевич Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование: Диф- ференциальные модели. Стохастические и детерминистические модели. М., Эдиториал УРСС, 2001. 23. Федцер Е. Фракталы. М., Мир, 1991. 24. Шредер М. Фракталы. Хаос. Степенные законы: Миниатюры из бесконечного рая. М.-Ижевск, ИКИ вЂ” РХД, 2005. 25. Шустер Г. Детерминированный хаос. М., Мир, 1988. Микробные популяции как объект моделирования и управления.
Непрерывная культура микроорга- низмов. Модель Моно. Микроэволюционные процессы в микробнык популяциях. Возрастные распределения. Двухвозрастная модель. Непрерывные возрастные распределения. Микробиология является одной из областей современной биологии, где ма- тематическое моделирование стало действенным средством научного исследова- ния. Более того, математические модели прочно вошли в практику биотехноло- гического производства микроорганизмов как инструмент управления биотехно- логическими процессами. Мы остановимся на моделях, которые не только лежат в основе моделей микробиологических систем„но являются базовыми моделями всей математической биологии, в том числе используются в популяционной ди- намике, при моделировании иммунных и других процессов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
