Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 34
Текст из файла (страница 34)
модкли виологичвских соовщвств 2) з Для устойчивого по Пяпунаву движения малое начальное возмущение не нарастает, т. е. движение х*(й) устойчиво по Пяпунову, если для любого в > О можно указать такое 6(в), что для всякого движения х(й), для которого | «(йп)— — хе(~п) | с 4 при всех ю > 8п выполняется неравенство | х(й)— -х*(й)| с л Если малое начальное возмущение д'не только не нарастает, а со временем стремится к нулю, то есть! х(й) — хе(г) | -+ О пгессеисимесн-дмм (Ратаса вайса.пмйа при ~-+, то движение обладает более сильным свойством ттв1 твеоз фринам асимптотической устойчивости. ский физик и матема- В понятии орбитальной устойчивости рассматривается не расстояние между точками исходной и возмущенной траекто- свиасти стсйматарий в один и тот же момент времени, а минимальное расстояние от изображающей точки возмущенной траектории до ор- ма и ве н~ биты Г*, соответствующей исходному движению.
Орбитапьно устойчивое движение может не быть устойчивым по Ляпунову. Устойчивость движения по Пуассону предполагает, что соответствующая фазовая траектория при й — э не покидает ограниченной области фазового пространства. Находясь в этой области бесконечно долго, она неизбежно будет возвращаться в сколь угодно малую окрестность начальной точки. Времена возврата могут соответствовать периоду или квазипериоду при регулярном движении, а могут представлять собой случайную последовательность, если решение отвечает режиму динамического хаоса. Предельные множества Понятие предельного множества играет важнейшую роль в нелинейной динамике. Изучая некоторые модели биологических систем, мы уже сталкивались с несколькими типами предельных множеств.
В первую очередь, с устойчивыми стационарными состояниями типа устойчивый узел и фокус, а также с устойчивыми замкнутыми фазовыми траекториями — предельными циклами (лекция 8). В динамических системах третьего порядка кроме этих двух типов возможны тороидальные предельные множества, соответствующие квазипериодическим фазовым траекториям, и еще более сложные хаотические предельные множества. Пусть в момент времени гп состояние системы определяется вектором хй, а в момент ~ — вектором х(О = Та,ха, где Та, — оператор эволюции на интервале Ьз = ( — йп.
Если в фазовом пространстве существуют два множества У н т. ~ У, такие, что для любого начального состояния хае У при й-е или при ~-+- начиная с определенного момента времени х(О н Ь, то тогда Ь называют предельным множеством динамической системы. Таким образом, под действием оператора эволюции все точки системы в пределе переходят в точки предельного множества. 214 ЛЕКЦИЯ 10 Если все точки множества У будут принадлежать ь при 1 †+ , то ь— притягивающее предельное множество, или аттрактор.
Тогда У вЂ” бассейн притяжения аттрактора (подобно бассейну реки — территории, с которой она собирает свои волы). Если все точки множества У будут принадлежать Е при г -+ —, то Ь вЂ” отталкивающее предельное множество, или репеллер. Если множество У состоит из двух подмножеств У = И" н И'", причем точки, принадлежащие И', стремятся к Е в прямом времени, а точки, принадлежащие )У", стремятся к ь в обратном времени, тогда ь называется седловым предельным множеством (или седлом). Множества И" и И'" — устойчивое и неустойчивое многообразия седла. При инверсии времени (такую возможность предоставляют большинспю современных математических пакетов для визуального решения дифференциальных уравнений) атгракторы системы становятся репеллерами, репеллеры — атгракторами, а у седел меняются ролями устойчивое и неустойчивое многообразия.
Мы знакомы с простейшими предельными множествами динамической системы — состояниями равновесия (лекция 4). Устойчивый узел и устойчивый фокус являются атгракторами, неустойчивый узел и неустойчивый фокус— репеллерами. Точка типа центр, которую мы рассматривали в простейшей вольтерровской системе «хищник — жертва» (лекция 5) не является ни аттрактором, ни репеллером, ни седлом, так как не существует множества точек, стремящихся к центру в прямом или обратном времени. Это особый случай предельного множества, для которого У = Ь.
Такая особая точка является негрубой. Предельное множество в виде замкнутой кривой также может быть атграктором — устойчивый предельный цикл, репеллером — неустойчивый (см. лекцию 8). Седловые предельные циклы существуют лишь в фазовом пространстве размерности Ф>3.
Таким же образом подразделяются тороидальные предельные множества, соответствующие квазипернодическим колебаниям с двумя несоизмеримыми частотами. Седловые торы существуют в пространстве Ф > 4. Все перечисленные предельные множества представляют собой простые в геометрическом смысле множества — точка, кривая, поверхность — целой размерности (О, 1, 2). Их называют регуллрньими.
Отметим, что с увеличением размерности фазового пространства старые типы предельных множеств, присущие пространствам малой размерности, сохраняются и появляются новые. В системах с размерностью фазового пространства 1ч > 3 возможны установившиеся изменения переменных, не являющиеся ни периодическими, ни квази- периодическими.
Таким хаотическим изменениям переменных соответствуют атгракторы, представляющие собой геометрически сложные множества дробной размерности, названные хаотическими апипракторами. Пример одной из клас- ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС. МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ 215 сических систем. демонстрирующих детерминированный хаос, представляет система Ресслера: х= — (х+ у), у=х+ау, (10.3) с = а+ с(х — ф ). Траектории системы (10.3) напоминают клубок спутанных ниток (рис.
10.3). Рис. 10.3. Вид проекций фазовой траектории на странном ат|ракторе в системе Ресслера (Козз1ег, 1976). Линейный анализ устойчивости траекторий Линейный анализ устойчивости траекторий проводится подобно тому, как мы проводили линейный анализ устойчивости стационарных состояний. Поскольку мы анализируем малое возмущение. можно линеаризовать оператор эволюции в окрестности исследуемой траектории н провести линейный анализ ее устойчивости.
Рассмотрим автономную динамическую систему х= Р(х,а), где х — вектор переменных, а — вектор параметров, Р— вектор-функция с компонентами Я. Нас интересует устойчивость решения х~(1). Введем малое возмущение у = х(0 — х (О. Для него можно записать: о у = Р'(х' + у) — г'(х'). Раскладывая Г(х +у) в ряд Тейлора в окрестности х и учитывая малость о о возмущения, получим линеаризованное уравнение относительно у: у=А(1)у, где А — матрица линеаризации системы с элементами дГ,. а„= — ', 7',к =1,2,...,Ф.
дх„ ЛЕКЦИЯ 1О 216 Матрица А характеризуется собственными векторами е; и собственными значениями р;. Ае; = реь 1 = 1, 2, ..., )з. Собственные числа являются корнями характеристического уравнения е(ет(А — рЕ) =О, где Š— единичная матрица. Начальное возмущение, заданное в момент времени г вдоль 1-го собственного вектора, с течением времени будет меняться в соответствии с эволюцией этого вектора: у'(т) = у' (тв) ехр р,, (т — тв). (10.4) Будет отклонение уменьшаться или нарастать, определяется значением действительной части рн Элементы матрицы А со временем могут меняться.
Соответственно меняются ее собственные векторы и собственные значения, в том числе может меняться знак действительной части р,. Поэтому, вообще говоря, (10.4) выполняется только в пределе при (т- тв) — О. Для общей характеристики устойчивости траектории по отношению к возмущению вдоль 1-го собственного вектора используют величину, называемую характеристическим показателем Ляпунова: А,.= 1пп — )п ~(у'(т)~~.
о Здесь у '(т) — возмущение вдоль 1-го собственного вектора в момент времени т, соответствующее малому начальному возмущению у (т ). Для Ф-мерной задачи устойчивость траектории характеризуется набором Ф ляпуновских характеристических показателей. Они связаны с собственными значениями матрицы линеаризации соотношением А, = 1пп — ~Ке р,, (т')й'.
а ь Таким образом, ляпуновский показатель — это усредненное вдоль исследуемой траектории значение действительной части собственного значения р, матрицы линеаризации. Устойчивость траектории по Ляпунову означает, что произвольное начальное возмущение у(т*) в среднем вдоль траектории не возрастает. Для этого необходимо и достаточно, чтобы спектр ляпуновских показателей А не содержал положительных показателей.
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС. МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКИХ СООБЩЕСТВ 217 Рис, 10.4. Сценарий удвоения периода для итерации логистического отображения х„„= гх„(1-х,) в зависимости от значения параметра г (а) и соответствующие значения показателя Ляпунова (б); г, — бифуркационное значение возникновения двухточечного цикла г, — бифуркационное значение возникновения четырехточечного цикла, г„— значение г, при котором возникает режим детерминированного хаоса. ЛЕКЦИЯ Ю 218 На рис. 10.4 приведены значения итераций логистического отображения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
