Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Эти способы управления дают возможность поддерживать культуру в условиях нелимитированного роста, когда скорость прироста биомассы определяется лишь собственной генетически обусловленной способностью популяции к размножению. При этом достигаются очень высокие скорости, которые особенно важны при изучении микроэволюционных процессов. Например, бактерии могут размножаться в турбидостате со скоростью, соответствующей средней продолжительности поколения, — около 5 мин.
Для поддержания культуры в области нелимитированного роста требуются внешние регуляторы. В случае лимитирования роста внешним фактором, например, недостатком субстрата, стационарный режим работы культиватора устанавливается путем саморегуляции. Это имеет место в природных проточных системах и в наиболее распространенном типе непрерывных культиваторов — хемоснате, где задается скорость разбавления культуры, или скорость протока. Наиболее устойчиво работает хемостат в пределах скорости пропжа, малой по сравнению с максимальной удельной скоростью роста культуры.
В области сравнимых значений этих величин система становится неустойчивой: малые колебания скорости протока могут приводить к заметным изменениям концентрации биомассы и даже к вымыванию культуры из культиватора. Теория хемостата впервые была разработана Моно [61 и Гербертом 131 и с той поры постоянно совершенствуется. Однако основы ее остались незыблемыми. На них мы и сосредоточим свое внимание. Модель Моно При непрерывном перемешивании можно считать весь объем культиватора однородно заполненным, а концентрации субстрата и клеток в каждой точке культиватора — одинаковыми, и описывать поведение этих концентраций во времени с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений: лх — = /с (5)х — Р(х), гй г(5 — = Р5 — ад(5)х — Р5, (11.8) г(г Ф5)= ".
,и 5 К +5 МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ 247 уо Р х= —, у= —, у,= — о, 7 =1,п„, Р= — Р. = К.' = К.' '= К.' " и. Штрихи у новых переменных опустим. В новых переменных система имеет вид о(х — = Н(у) — Рх, о(г — = -Л(у)х+ Р(у — у), пу оп (11.9) а(у)= ' . 1+у Найдем стационарные концентрации биомассы н субстрата. Подставим выраже- ние для скорости роста.п(у) в первое и второе уравнения (11.9).
Приравняем пра- вые части уравнений нулю: ( — — Р)х =О, у 1+у (11.10) — х+Р(у — у) =О. 1+ у Система алгебраических уравнений (11.10) имеет два решения, следовательно. система дифференциапьных уравнений (11.9) имеет два стационарных состояния х,=О, у,=у,; (11.11) Р х2 уо 1 — Р Р 1 — Р (11.12) Здесь 5 — концентрация субстрата, х — концентрация клеток в культиваторе, 5о — концентрация субстрата, поступившего в культиватор, Р— скорость протока (разбавления) культуры, сг ' — «экономический коэффициент», показывающий, какая часть поглощенного субстрата идет на приращение биомассы. Поясним смысл членов, входящих в правые части уравнений (11.8).
В первом уравнении:,и(3)х — прирост биомассы за счет поглощения субстрата, (-Рх)— отток биомассы из культиватора. Во втором уравнении: ( — ср(5)х) — количество субстрата, поглощенного клетками культуры, Р5о — приток субстрата в культиватор, ( — Р5) — отток неиспользованного субстрата из культиватора. Скорость роста биомассы предполагается зависящей только от концентрации субстрата в соответствии с формулой Моно (третье уравнение).
Исследуем тип стационарных режимов и переходных процессов в культиваторе, используя методы, изученные в лекциях 3-5. Введем безразмерные концентрации, время и скорость протока ЛЕКЦИЯ 11 Р< У' =Р. 1+ уо (11.13) Граничное значение скорости протока называется скоростью вымывания. В раз- мерном виде величина скорости вымывания равна 55 8О 5 0 (11.14) При скоростях протока, больших Ре, прирост биомассы не может компенсировать ее отток и культура полностью вымывается из культиватора. Определим характер устойчивости стационарных состояний системы, используя метод линеаризации системы в окрестности стационарного состояния, рассмотренный в лекции 4. Характеристический определитель системы (11.9) имеет вид х (1+ У)' р(у)-Р-Л (11.15) — г (1+ -)г Исследуем характер устойчивости режима вымывания — особой точки с коорди- натами (11.11).
В этом случае Р(уо) = = Ро 1+у, (11.1б) и характеристическое уравнениепринимает вид ! Р,— Р— Л О =О. -Р, — Р— 2 (11.17) Корни характеристического уравнения (11.17) (11.18) действительны и имеют различные знаки при Р < Ре, т. е. при скоростях раз- бавления, меньших скоростей вымывания. При этом точка 1 (О, ус) неустойчи- ва — седло.
Примем во внимание, что безразмерная концентрация клеток х имеет смысл только при значениях х > О, а безразмерная концентрация субстрата у ограничена сверху значением ус = .>51К вЂ” концентрацией притекающего субстрата. Легко видеть, что ненулевое стационарное значение биомассы (11.12) имеет смысл только в случае, когда безразмерная скорость протока Р меньше определенной величины: МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ Если же 1) > 1)о, то оба корня отрицательны и особая точка (1) является устойчивым узлом.
Этот режим называется режимом вымывания. Концентрация субстрата в культиваторе равна при этом концентрации поступающего субстрата эо, а концентрация биомассы равна нулю. Если в такой культиватор заложить «затравку», микроорганизмы будут вымыты из культиватора, не успев размножиться. Для особой точки (2) с координатами (11.12) корни характеристического уравнения (11.15) равны (11.19) Напомним, что это ненулевое по биомассе состояние равновесия существует в положительном квадранте фазовой плоскости лишь при значениях скорости разбавления 1) < 1)о.
Так как О,= ' <1, 1+ Уо все три сомножителя, входящие в выражение для Яз в (11.19), положительны. Следовательно, Яз < О и точка (2) — устойчивый узел. Это и есть рабочее состояние проточного культиватора. Фазовые портреты системы для двух значений скоростей протока О < 1)о и Р > )'.)о приведены на рис.
11.4 (а,б). Особая точка (1) с координатами х= О, у =ус соответствует режиму вымывания, точка (2) — рабочему режиму непрерывного культиватора. Уо Уо Рнс. 11.4. Фазовые портреты системы (11.9): а) Р < Ро, стационарный режим работы, б) Р > Во, режим вымывания. ЛЕКЦИЯ 11 250 Уравнение изоклины горизонтальных касательных получим, приравняв правую часть второго уравнения (11.9) нулю: Р(у, — у)(1+ у) х= у Изоклины вертикапьных касательных на рисунках 11.4: ось к = 0 и прямая Р у= 1 — Р (11.21) В случае, когда Р < Рс, главные изоклины (11.20) и (11.21) пересекаются в положительном квадранте и точка их пересечения является устойчивым узлом, а точка пересечения кривой (9.20) с осью к = 0 — седлом (рис.11.4 а) В случае Р > Рд главные изоклины (11.20) и (11.21) пересекаются вне положительного квадранта и устойчивым узлом будет особая точка (11.! 1), соответствующая режиму вымывания (рис.
11.4б). Рассмотренная модель является упрощенной и для описания реальных процессов требует дополнений. Например, при больших концентрациях субстрат может оказывать ингибирующее действие, и тогда формулу для скорости роста следует записывать в виде п(~) = и.~ К +Я+АЯ' (11.22) ,п(~) = р э (К +о)+(К.+Р) (11.23) здесь Р— концентрация субстрата, Кр — константа продукгного ингибирования.
Формула (11.23) известна как формула Моно-Иерусалимского. Исследование модели, учитывающей ингибирующее действие продукт~ показывает, что значение скорости вымывания в такой системе совпадает с величиной Рс, полученной выше для модели Моно (11ЛЗ). В то же время ингибирую- где А — константа субстратного ингибирования. В системе, где существует такая зависимость скорости роста от субстрата, возможны триггерные режимы — наличие двух устойчивых стационарных состояний и зависимость стационарных значений концентраций субстрата и биомассы от начальных условий (от величины затравки и начальной концентрации биомассы). На скорость роста биомассы может оказывать влияние концентрация продуктов метаболизма в среде, окружающей клетку.
Тогда к двум уравнениям, описывающим динамику концентрации биомассы и субстрата в непрерывном процессе культивирования, следует добавить третье уравнение, выражающее динамику концентрации продуктов метаболизма Р. При этом скорость роста биомассы будет зависеть как от концентрации субстрата, так и от концентрации продукта. Наиболее известную формулу такой зависимости предложил Иерусалимский: МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОБНЫХ ПОПУЛЯЦИЙ 251 щее влияние продукта ведет к значительному уменьшению стационарных кон- центраций биомассы. Микроэволюционные процессы в микробных популяциях Ж = р(Я)х — Ох, пг Ых„ —" = — Вх„, 411 НЮ вЂ” = В(߄— о) — ад(о)х, пг (11.24) х +х„=х.
Здесь х — концентрация живых клеток, х„— концентрация неживых клеток, х — общая концентрация клеток в популяции, о — концентрация лимитирующего субстрата. Функция,и(о), характеризующая зависимость скорости роста живых клеток от концентрации лимитирующего субстрата„может быть представлена в форме Моно или в виде более сложной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
