Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2011 (1123215), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Брюсселятор содержит простейшую реализацию кубической нелинейности посредством химической реакции Хотя тримолекулярная стадия в химической кинетике не столь распространена, как бимолекулярные процессы, выражения для скорости ряда биохимических реакций в определенных случаях можно свести к кубическому виду. В качестве примера приведем следующую последовательность ферментативных реакций: ЕХУ+ Х вЂ” у ЕХгУ Здесь предполагается, что фермент Е имеет по крайней мере три каталитических центра, способных одновременно фиксировать две молекулы Х и одну молекулу У. Если образующиеся комплексы распадаются с достаточно большой скоростью, а ферменты присутствуют в небольших количествах, легко показать, что всю последовательность реакций можно свести к одной стадии, дающей нелинейный член типа Х У в выражении для скорости реакции. Брюсселятор представляет собой следующую схему гипотетических химических реакций: КОЛЕБАНИЯ В БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 173 Именно система (8.6) и представляет собой классическую модель брюсселятор.
Модель (8.6) имеет одну особую точку с координатами В У= А (8.7) х=А, Исследуем стационарное решение (8.7) на устойчивость по методу Ляпунова. Введем переменные, характеризующие отклонения от особой точки: Б=х — х, г) = у — у. Линеаризованная система имеет вид 1)~+ А2~7 г(г — = — ВБ — А г). пг) з с(г Характеристическое уравнение —  — А' — Л) или А,~ + (А + 1 — В)4 + А = О имеет корни: (Аз+! В)+ (Ать( Ц)2 4А2 2 2 (8.8) Напомним, что особая точка является устойчивой, если действительные части корней характеристического уравнения отрицательны. Из выражения (8.8) видно, что при В < 1 + А особая точка (8.7) устойчива.
Если же В > 1 + А, особая точка становится неустойчивой и у системы (8.6) появляется устойчивый предельный цикл. Значение В = 1+ А~ является бифуркационным. Если величина В лишь немного превосходит бифуркационный порог, автоколебания в сис- ЛЕКЦИЯ 8 174 теме носят квазигармонический характер. Таким образом, брюсселятор при вы- полнении условия В>1+А (8.9) является автоколебательной системой. Фазовый портрет брюсселятора при раз- ных значениях параметров изображен на рис. 8.9.
Рис. 8.9. Фазовый портрет системы брюсселятор прн В > 1+ А (а) и В < 1+ А (6). Модель брюсселятор послужила «локальным элементом» для распределенных моделей, где рассматривается поведение системы как во времени, так и в пространстве. При этом изучаются одномерные системы (реакция в длинной узкой трубке), двумерные (реакция на поверхности), и трехмерные системы (реакция в обьеме). Распределенный брюсселятор мы рассмотрим в лекции 16. Колебания в гликолизе Классическим примером колебательной биохимической реакции является гликолиз. В процессе гликолиза осуществляется распад глюкозы и других сахаров при этом соединения, содержащие шесть молекул углерода, превращаются в трикарбоновые кислоты, включающие три молекулы углерода. За счет избытка свободной энергии в процессе гликолиза на одну молекулу шестиуглеродного сахара образуются две молекулы АТФ.
Основную роль в генерации наблюдаемых КОЛЕБАНИЯ В БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 175 Активация ]Гл ] — [Ф6Ф] — ~ФДФ]— (х) (у) Рис. 8.10. Упрощенная схема началь- ных реакций гликолиза. На схеме 1Гл] — глюкоза, Ф6Ф вЂ” фрукгозо-6-фосфат — субстрат ключевой реакции, ФДФ вЂ” продукт зтой реакции, который является субстратом в следующей стадии. Обе реакции катализируются ферментами.
В безразмерных переменных система описывающих реакции уравнений может быть записана в виде с1х х у — = )с — у с(с (К +х) (К,+у) с(у х у у с(с (К +х) (К +у) (К',+у) Здесь зависимости скоростей реакций от переменных записаны в форме зависимости Михаэлиса — Ментен (6.14). Если выполняются условия К » х, К„» у, можно произвести замену переменных: сх)сК',, ххК', с, 1с х= ~, у=у К К „(В-lс) К К,(д-й) кк' Опустив пприхи у новых переменных, получим систему в безразмерном виде: дх — =1 — ху, с1г (8.10) где колебаний концентраций компонентов реакции (фрукгозо-б-фосфата, фруктозо- 1,6-фосфата и восстановленного НАД+ (иикотинаминадениндинуклеотид)) играет ключевой фермент гликолитического пути — фосфофруктокиназа (ФФК).
Упро- щенная схема реакций представлена на рис. 8.10. У Рис. 8.11 а, б. Модель гликолиза (8.10). Кинетика изменений концентраций фруктозо-6-фосфата (х) и фрукгозодифосфата (у) (справа) и фазовый портрет системы (слева) при разных значениях параметров системы: а — бесколебагельный процесс (узея на фазовой плоскости), а= 0.25, г= 1, б — затухающие колебания (усгойчивый фокус на фазовой плоскости), а= 0.25, г = 0.2. Кинетика изменений переменных и фазовые портреты системы (8.10) при разных значениях параметров представлены на рис.
8.11. Интересно, что колебательные реакции в системе гликолиза были сначала предсказаны на математической модели (Н1881пз, 1954) и лишь после этого зарегистрированы экспериментально с помощью метода дифференциальной спектрофотометрии в лаборатории Б. Чанов (1964).
КОЛЕБАНИЯ В БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 177 У У Рис. 8.11 в,г. Модель гликолиза (8.10). Кинетика изменений концентраций фруатозо-6-фосфата (х) и фруктозодифосфата (у) (справа) и фазовый портрет системы (слева) при разных значениях параметров системы: в — колебания с постоянной амплитудой и фазой (предельный цикл на фазоаой плоскости), а= 6, г = 0.24, релаксационные колебания с постоянной амплитудой и фазой (предельный цикл почти треугольной формы на фазовой плоскости), и= 8, г = 0.5. Внутрнклеточные колебания кальция Во многих типах живых клеток наблюдаются колебания внутриклеточной концентрации кальция, период которых может варьировать от 0.5 до 10 минут. Простейшая схема процессов, приводящих к гормонально обусловленным колебаниям кальция, основой которых служит кальций индуцированный выход кальция из клетки, приведена на рис.
8.12. Такие колебания впервые наблюда- ЛЕКЦИЯ 8 178 лись Эндо с соавторами [4) на клетках скелетных мышц, Фабиато [5) на клетках саркоплазматического регикулума сердца быка, а позднее и многими другими исследователями. Рис. 8.12. Схема процессов, приводящих к внутриклеточным колебаниям кальция [2). 1Р5 — рецептор. стимулирующий колебания. Схема и модель процессов предложена и описана в [2, 3). Рассматриваются приток и отток кальция в клетку через плазматическую мембрану (констаиты скоростей у1 и у2 соответственно); гормонально активируемое освобождение кальциЯ из пУла (скоРость Уз); активный тРанспоРт цитозольного кальциЯ в пУл (у4); освобождение кальция из пула, активируемое цитозольным кальцием (у5); свободный отток кальция из пула в цитозоль (уб).
Модель состоит из двух дифференциальных уравнений: 42О! 1 2 + У5 У4 + У5 + Уб, 6(г (8.11) 42О2 4 5 6' 44Г 5 2 1 2 2 1 4 4 1 5 44 22 ' !б )4652' 05 1 (8.12) Здесь 51 — концентрация кальция в цитозоле, 52 — концентрация кальция в гормонально-чувствительном пуле. Выражения для величин скоростей были предложены в [10): КОЛЕБАНИЯ В БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 179 м одель предсказывает колебания концентрации кальция во времени, по фо- ф Р- ме близкие к экспериментальным (рис. 8.13). В дальнейшем были разработаны более подробные модели, в частности, учитывающие роль различных состояний 1Рз-рецептора, регулирующего приток кальция в систему 1Ц.
На рис. 8.14 представлены полученные в этой работе область концентрации 1ри в которой возникают колебательные изменения [Са '], и форма самих колебаний. Роль кальция в регуляции клеточных процессов в последние годы активно исследуется, и появляются все новые, более совершенные модели. го,о 15,0 ю,о 05 5,0 О,о 50 100 150 200 250 300 время Геев,1 10,0 я хм 5,0 Ю 0,0 250 ЗОО 150 200 !00 50 Рис.
8.13. Модель виутриклеточных колебаний кальция. Кинетика концентрации Сам при разных значениях параметров: а — А, =1, в =1.4, б — Е =1, вв = 3 121. О ' ' в ' в ЛЕКЦИЯ 8 180 0.45 0.35 О 0.25 г 0.15 0.05 ' 0.00 0.02 0.40 0.60 [1РД 0.50 0.40 0.50 о 0.20 опо 0.00 0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 ерекк (сек) Рис. 8.! 4. Колебания в модели (8.11 — 8.12) [Н: а — бифуркациоиная диаграмма, показывающая области существования устойчивого стационарного состояния (сплошная линия) и незатухающих колебаний (область, ограниченная пунктиром). Пунктирная линна показывает значения концентрации Саз в точке неустойчивого стационарного состояния и амплитуду колебаний; б — колебания [Саы), полученные на модели при [1Рз) =05дМ. В современной литературе по математической биологии рассмотрены сотни автоколебательиых систем на разных уровнях организации живой природы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
